条件概率教学设计

7.1.1基于核心素养下的条件概率教学设计

一、教学内容及素养分析

1.教学内容解析

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布》的第一课时，条件

概率的学习同时对古典概型计算方法进行了巩固.条件概率研究的是有条件限制下的事件发生的概率，这个附加

条件的形式可归结为“已知某事件发生了”，条件概率是先从现实生活中抽象出概率模型，然后推导出它的计算

公式，进而再去计算与条件概率有关的概率问题，是培养学生数学运算、数学建模等核心素养的良好载体.

2.核心素养分析

本节课的教学任务是从现实情境中抽象出条件概率的概念，进而落实数学抽象、数学建模等核心素养.借助

“古典概型”的概率计算公式，推导条件概率计算公式，提升学生逻辑推理的核心素养，通过典例分析和练习，

进一步增强学生的数学运算、数学建模、逻辑推理等核心素养.

3.学情分析及教学诊断

（1）学生学情分析

学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对古典概型概率模型已经有所了解.条件概率是学生接触到的又

一个全新的概率模型.在数学思维方面，学生已经具备一定的随机性思维，能够理解随机现象.但是条件概率定义

比较抽象，学生较难理解与判断，难以形成数学建模并进行相应的计算困难.

（2）教学问题诊断

“条件概率”内容比较抽象，学生难以理解，遇到具体问题时，学生常因分不清是P（8|A）还是P（A8）

而导致出错.基于此，在本节的教学中，应特别注意对于条件概率概念的生成，借助图示形象直观地展现条件概

率概念的生成过程.

三、教学目标设置

基于对教学内容的分析，学生学情诊断，以及木节课在数学核心素养培养中的作用，确立木节课的教学目标如卜.：

1.通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义.（提升数学抽象的核心素养）

2.掌握简单的条件概率的计算问题.（提升数学运算的核心素养）

3.掌握条件概率的性质并能解决复杂的条件概率.（增强逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养）

教学重点：条件概率定义的理解，条件概率公式的推导和简单应用.

教学难点：条件概率定义的辨析，正确理解条件概率计算公式和性质，灵活运用公式和性质解决复杂的问题.

四、教学过程设计

【问题探究】

问题1某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表7.17所示.

团员非团员合计

男生16925

女生14620

合计301545

在班级里随机选择一人做代表，

(1)选到男生的概率是多大？

(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？

师生活动:小组讨论交流，回答以下几个问题.

(1)问题1(1)样本空间。包含的基本事件总数？事件8={选到男生}包含的基本事件总数？

(2)问题1(2)事件A={选到团员}包含的基本事件总数？事件={选到团员的同时选到男生}包含的

基本事件总数？

学生回答：样本空间。包含45个等可能的样本点，即九(C)=45,〃(A)=30,〃仍)=25,〃(AB)=16

教师追问：对于问题2(2),选到的是男生是在选到的是团员的条件下发生的，那么此时，样本空间还是。吗？

不是的话，什么是样本空间呢？

问即2假定生男孩女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭，那么

(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？

(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？

师生活动:小组讨论交流，回答以下几个问题.

(1)问题2(1)样本空间Q包含的基本事件有哪些？

(2)问题2(2)事件A家庭中有女孩包含了哪些基本事件？事件B家庭中两个小孩都是女孩包含了哪些基本事

件？

学生回答：样本空间。包含4个等可能的样本点，Q={bb,bg,gb,gg},A={bg,gb,gg},3={gg}

教师追问：对于问题2(2),两个小孩都是女孩是在选择的家庭有女孩的条件下发生的，那么此时，样本空间还

是。吗?不是的话，什么是样本空间呢？

设计意图：通过对具体情境的分析，在旧知识的基础上提出新问题，引起学生认知冲突，调动学生的积极性，引

导学生深入思考.问题1和问题2都设置了两个小问以及教师追问，第二问是在第一问的基础上多了一个限制条

件，让学生对比发现两个小问的M划与联系，用缩小样本空间解决条件概率,形成条件概率的初步认识.

问题3：上述两个问题中的第二问所求的概率与我们之前所学的概率一样吗？如果不一样，那不同之处在哪里呢？

请大家以小组为单位讨论下.

师生活动:小组内交流讨论，得出结论.事件B发生在“事件八已发生”这个附加条件下的概率通常情况下与没

有这个附加条件的概率是不同的.初步归纳出条件概率的定义，并能用自己的语言加以描述.教师在学生回答的

基础上，进一步精炼语言，对于上述这种已知事件A发生的条件下，求另一件事件8发生的概率，就称为条件

概率，记为尸（回人）.

设计意图：抽象出条件概率的概念，并初步理解条件概率的含义，掌握获得数学概念的一般方法，培养学生的数

学抽象的核心素养.

问题4：结合以上的分析过程，我们一起来探究一下，条件概率该如何计算，它是否存在计算公式呢？

师生活动：教师引导学生从数的角度诠释：对于古典概型，局限于已发生的事件A的范围来考察天发生的事件8

发生的概率，就相当于考察枳事件包含的基本事件数在事件A包含的基本事件数中所占的比例，因此

P（B|A）=从黑.分子、分母同时除以样本空间包含的事件总数〃（C）,所以

尸喇二始二坐L半冬

〃（4）n（A）尸（A）

设计意图：从数学推理的角度深入理解条件概率的概念，进行知识迁移.借助“古典概型”的概率计算方法，将

知识技能化，导出用缩小样本空间解决条件概率的计算问题.掌握推理方法，体会从特殊到一般的思维方式，培

养学生逻辑推理的核心素养.

问题5：能否借助韦恩图说明条件概率？如何计算条件概率？

师生活动：教师引导学生用整个矩形（面积为1）来表示样本空间。（随机试验的所有可能结果），用矩形内任

意封闭曲线围成的图形表示事件，把图形的面积理解为相应事件发生的概率，若圈A、3的面积分别表示事件

A、8发生的概率产缶）、P（B）,则阴影部分的面积表示事件A、8同时发生的概率P（A8）.根据条件概率的定

义，就是局限于已发生的事件A的范围来考察未发生的事件B发生的概率，就相当于考察阴影部分的面积在圈A

的面积中所占的比例，所以「期）=需・

设计意图：从形的角度深入理解条件概率的概念，增强学生运用儿何直观和空间想象思考问题的意识，培养学生

的直观想象素养.

问题6：在问题1和问题2中，都有尽可㈤工68）.一般地，。（平）与P⑻不一定相等.如果P（8|A）与P⑻

相等，那么事件4与5应满足什么条件?

师生活动：直观上看，当事件A与4相互独立时，事件A发生与否不影响事件8发生的概率，这等价于

P（B|A）=P（。成立.当事件A与B相互独立时，有P（4?）=P⑷P（8）成立.

所以，网郎4）=粤孚=。（平,）=尸⑻.

5，P（A）P⑷'，

反之，亦然.

问题7：对于任意两个事件A与B,如果已知P（A）与P（.A）,如何计算尸（A3）呢?

师生活动：•.•P（8|A）="^.,.H45）=NA）P（@A）

尸⑷

设计意图：建立方程思想，知二求一，条件概率公式的逆向运算.

问题8：条件概率缩小了样本空间，那么它是否同样具有概率的性质？

师生活动：类比概率性质，得出条件概率的性质.

概率性质条件概率性质

Q为必然事件P（Q）=IP(Q|A)=I

B、。为互斥事件P（BUC）=P（B）+P（C）P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)

8、豆为对立事件吨)=1-尸⑻而A）=l一网平）

设计意图：类比概率性质，概括条件概率的性质，并能用性质简化条件概率的运算，提升学生班的数学运算的核

心素养.在运用条件概率解决生活中的实际问题时，培养学生的数据分析和数学建模的核心素养，提高学生运用

数学知识分析和解决问题的能力.

【典例分析】

题型一求条件概率

【例1】在5道试题中有3道代数题和2道几何体，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求

（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.

解：设事件A="第1次抽到代数题”，事件4="第2次抽到几何题”，

所以P（A）=1,P（AB）弋,

3

则P⑻所瑞哼

5

【变式训练1】现在有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放可地依次抽取2

个节目，求：

（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；

（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；

（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第二次抽到舞蹈节目的概率.

解：（1）由题意可得，节目总数6个，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，

第1次抽到舞蹈节目的概率为9=2.

63

（2）由于节目总数6个，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，

故第I次和第2次都抽到舞蹈节目的概率=

655

（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，这是还有5个节目，其中3个为舞蹈节目，2个为语言类节目，

故第二次抽到舞蹈节目的概率为？.

5

小结：三种方法求条件概率.

（1）定义法：先求尸（A）和尸（A8）,再由公式P（8|A）=半斗，求得尸（同耳;

尸（A）

⑵基本事件法：先求事件A包含的所有可能结果数〃（A）,再求事件包含的所有可能结果数疝/W）,最后由

公式P{B\A}=^^-,求得p(@A).（适用于占典概型）

（3）缩样法:即缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩余的情况，化繁为简.像本例可理解

3

成:在第1次抽到舞蹈节H后，舞蹈节目还剩3个，样本空间为5个节目，故概率为

设计意图：设置2个题目，让学生尝试用三种方法解决条件概率问题，在解题中帮助学生辨析积事件概率P（A8）

和条件概率尸（耳A）.

题型二概率的乘法公式

【例2】已知3张奖券中只有1张能中奖，甲、乙、丙同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次

序有关吗？

解：无关，

尸⑷4

P（8）=P（AB）=P（A）P（B|A）=|xi=i

JJJ

P（c）=市旗限M不）=gx；=g

【变式训练2】一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%,从这批产品中任取一件，求该产品是一等

品的概率.

解:设A表示“取出的产品为合格品”,B表示“取出的产品为一等品"，则P(B|A)=45%.

因为P(可)=4%,P(A)=l-P(A)=l-4%=96%.

所以P(8)=P(AC8)=P(A)/(阴A)=96%x45%=43.2%.

设计意图：设置2个题FI，让学生理解条件概率乘法公式，并能运用公式解决问题.

题型三条件概率的性质及应用

【例3】银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后1位数字.求:

(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；

(2)如果记得密码的最后I位是偶数，不超过2次就按对的概率.

解：解：记“第i次按对密码”为事件4a=1,2)“不超过2次就按对密码“为事件A

——1911

(I)P(A)=P(A)+P(AA,)=—+—x-=-

101095

(2)记“最后一位按偶数”为事件8

一)412

则入*3)=",|8)+。((441或=丁丁7=<

【变式训练3】在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过:

若至少能答对其中的5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过,

则他获得优秀成绩的概率.

解：设“他能答对其中的6道题”为事件A,”他能答对其中的5道题”为事件4,“他能答对其中的4道题”

为事件C,设“他考试通过”为事件。，“他考试获得优秀”为事件七.

则由题意可得且A、B、C两两互斥.

：)・；

P(D)=P(A)+P(4)+P(C)=C4+CoCo+0_12180

点.

「61501

5o]5o2io

P(AD)+P(BD)_P(A)+P(B)4313

又AQ=A,BD=B,：.P(E\D)=P(A\D)+P(B\D)=

P(D)~P(D)1218058

故答案为：—

58

设计意图：设置.2个题目，借助条件概率的性质解决条件概率下的互斥事件的并事件概率问题，简化运算，培养

学生数学运算的核心素养.

【随堂练习】

1.卜列说法止确的是()

A.P(A|3)=P(B|A)

B.P(B|A)>1

C.P(AnB)=尸(4)•尸(B|A)

D.P((AnB)|A)=P(B)

【解答】解：C

2.近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术.已知某品牌新能源汽车的车

载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为90%,充放电次数达到1000次的概率为36%.若某用户的该品牌

新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电100次的概率为()

A.0324B.036C.0.4D.0.54

【解答】解：设事件A表示“充放电次数达到800次〃，事件B表示“充放电次数达到1000次”，

贝ijP(A)=90%=().9,P(AB)=36%=0.36,

所以某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，

那么他的车能够达到充放电1000次的概率为：P(B\A)=萼粤=簪=。.4.

P(A)0.9

3.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的不再放问.己知第1次抽到A牌,

求笫2次抽到A牌的概率.

【解答】解：从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2