模型21瓜豆原理之直线型

大招瓜豆原理之直线型

僦］模型介绍

运动轨迹为直线

问题1:如图，P是直线BC上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时，Q点轨迹

是？

C

解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线.

理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ,所以QN始

终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线.

问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ,且NPCQ为定值，当点P在直线AB上

运动,Q的运动轨迹是？

解析:当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时,P、Q轨迹是同一种图形，且PPkQQi

理由：易知ACPPi也ZXCPPi，则/CPP产CQQi，故可知Q点轨迹为一条直线.

模型总结

旧条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量.

的结论：①主:动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；

②主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角

③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长;

例题精讲

【例1].如图，在平面直角坐标系中，A(-3,0),点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x

正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边AABP,点B在y轴上运动时，求OP的最小值.

解：求OP最小值需先作出P点轨迹，根据4ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点

轨迹也是直线.

取两特殊时刻：(1)当点B与点。重合时，作出P点位置Pi：(2)当点B在x轴上方且AB与x

轴夹角为60。时，作出P点位置内.连接PiPz，即为P点轨迹.

根据NABP=60。，可知：RA与y轴夹角为60。，作OPJ_£2，所得OP长度即为最小值，0P?

=0A=3,所以。P=弓.

乙i

》变式训练

【变式1T】.如图，Z^AP。是等腰直角三角形，ZPAQ=90°,当点尸在线段8c上运动时，画出点。的

运动轨迹.

解：如图，直线。尸即为所求.

【变式1-2].如图，等边△ABC中，4B=8C=AC=6,点M是BC边上的高A。所在直线上的点，以8M

为边作等边△BMN,连接ON,则QN的最小值为旦.

~2~

♦：XABC和△8A/N是等边三隹形，

工AB=BC,BM=BN,NABC=NM8N=60°,

・•・/ABM=/CBN,

VAD±BC,

ZBAD=ZCAD=30°,BD=CD=3,

在△?13M和△(?加门"

fAB=BC

NABM=/CBN，

IBM=BN

:.△ABM/4CBN(SAS),

：.AM=CN,NBAD=NBCN=30°,

.•.点N在与BC成30度的射线CN上运动，

:.当DNLCN时,DN有最小值，

■:DNLCN,N8CN=30°,

,DN=』CD=S,

22

故答案为:

2

【变式1-3].如图，已知点A(-3,0),B(0,3),C(-1,4),动点P在线段A8上，点P、C、M按

逆时针顺序排列，且NCPM=90°,CP=MP,当点尸从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为6.

解：•・•点A(・3,0),B(0,3),

：.AB=3^2，

VC(-1,4),动点尸在线段AB上，NCPM=90°,CP=MP,

...空工2,。为主动点，M为从动点，。为定点，

CM2

由“瓜豆原理”得产运动路径CAB)与M运动路径之比等于空,

CM

・••点M运动的路径长为亚=6,

2

故答案为：6.

【例2】.如图，边长为5的等边三角形A8C中，M是高C”所在直线上的一个动点，连接M8,将线段8M

浇点4逆时针旋转60°得到8N,连接"N.则在点例运动过程中，线段MV长度的最小值是（)

5

C.2D.

2

解：如图，取BC的中点G,连接MG,

•・•旋转角为60°,

；・NMBH+NHBN=60°,

又：NMBH+NMBC=NA8C=60°,

・•・ZHBN=/GBM,

:CH是等边△48C的对称轴，

2

:.HB=BG,

又・・・MB旋转到BN,

:・BM=BN,

在3G和△NB”中，

(BG=BH

NMBG:/NBH，

IMB=NB

：.4MBGW4NBH(SAS),

：.MG=NH,

根据垂线段最短，MG_LC”时，MG最短，即”N最短,

此时・・・/8CH=』X60°=30°,CG=—y4fi=—X5=—,

2222

1R

.\A/G=—CG=—.

24

:.HN=3,故选：A.

4

》变式训练

【变式27].如图，等边△ABC的边长为4,点。是边AC上的一动点,连接8。，以8。为斜边向上作等

接RtZXBQE,连接AE,则AE的最小值为（）

272-1

解：如图，过点8作4c于〃点，作射线

:△ABC是等边三角形，BH1AC,

：.AH=2=CH,

•；/BED=/BHD=90°,

・••点B,点。，点”，点E四点共圆，

:・NBHE=NBDE=45°,

:.点七在NAHB的角平分线上运动，

・•・当人时，人石的长度有最小值，

•・・NA"£=45°,

：,AH=y[2AE=2,

JAE的最小值为45，故选：B.

【变式2-2]如图，正方形A8CD的边长为4,E为BC上一点,且8E1,广为A8边上的一个动点，连

接EF,以后r为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为()

C.V2D.1

解：由题意可知，点厂是主动点，点G是从动点，点户在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动

将△EF8绕点E旋转60",使石尸与EG重合，得到△EHG,连接3”,得到△EF80ZiEHG

从而可知△E8H为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上,

延长HM交CD于点N.

则AEFB四△EHG,

:・HE=BE=1,NBEH=60°,ZGHE=ZFBE=90°,

为等边三角形.

•・•四边形ABC。是矩形，

AZFBE=90Q,

:・NGHE=NFBE=9()°,

:.点G在垂直于HE的直线HN上,

作CM_L”M由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，

作£P_LCM,连接8月,EH,

则四边形，EPM为矩形，

：・MP=HE=1,NHEP=90°,

・・・NPEC=30°.

VEC=RC-BE=3,

：.CP=-EC=—,

22

：.CM=MP+CP=\+—=—，

22

aCG的最小值为最.

方法二：以CE为边作等边三角形CE”，连接777,

则△CEGg/\EFH,

，CG=FH,

当时，FH+3_5

22

【变式2-3].如图，等腰Rt^A6c中，斜边AB的长为4,。为A8的中点，尸为AC边上的动点,

OQ_LOF交0C于点Q,M为FQ的中点，当点F从点A运动到点。时，点M所经过的路线长为2

解：连接OC,OM、CM,如图,

•・・M为P0的中点,

AOM=—PQ,CM=—PQ,

22

：,OM=CM,

:.点M在。。的垂直平分线上，

・••点M运动的轨迹为AABC的中位线,

...点M所经过的路线长=2八2=2.

2

故答案为2.

□实战演练

1.如图，长方形ABC。中，48=3,BC=4,E为BC上一点,且1,尸为AB边上的一个动点，连接

EF,将EF绕着点上顺时针旋转45°到EG的位置，连接尸G和CG,则CG的最小值为（）

3/2r-5

A.2B.1+芋vC.2A/2D.-

22

解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段E7,连接G7,连接。E交。6于/

•・•四边形ABC。是矩形，・・.AB=CZ)=3,NB=NBCD=90°,

•；NBET=NFEG=45°,：,NBEF=NTEG,

(EB=ET

在和△TEG中，\LBEF=々TEG,

(EF=EG

:AEBFWATEG(SAS),；.NB=/ETG=96°,

・••点G的在射线7G上运动，.••当CGJ_TG时，CG的值最小,

VBC=4,BE=\,CD=3,：,CE=CD=3,

・・・NCEO=N8ET=45°,ZTEJ=90°=ZETG=ZJGT=9Qa,

，四边形七八"是矩形，:,DE〃GT,GJ=TE=BE=1,

：.CJLDE,：.JE=JD,・,・口=如=挈・・・CG=O/+GJ=1+挈,

・・・CG的最小值为1+竽，故选：B.

2.如图，已知直线），=入+24分别交x轴和），轴于4,B两点,以4B为边作等边△ABC（4,B,C三点逆

时针B排列），。,七两点坐标分别为（-6,0）,（-1,0）,连接CD,CE,则C7HCE的最小道为（）

解：•・•点8在直线)，=依+2k上，

:・k(x+2)=0,

WO,

Ax-2=0,

・・・A(-2,0),

■:E(-1,0),D(.-6,0),

在x轴上方作等边△AOP,

•：ZCAB=ZFA0=6Q°,

JZCAB+ZBAF=ZBAF+ZFAO,

即NCAf=N8A。，

在△AOB和△AFC中，

fAB=AC

NCAF:NBAO，

IAF=AO

.•.△AO/这△"C(SAS),

AZAFC=ZAOB=W,

・••点C的轨迹为定直线CR

作点E关于直线CF的对称点£,连接CE,CE=CE,

：.CD+CE=CD+CEJ,

・•・当点。、C、E在同一条直线上时，OE=CO+CE的值最小,

c

*：AF=A0=2fN用0=60°,ZAFG=90,

3

・・・AG=4,EG=3,E£=2X34/=3,

4

即E*除,

3.如图，在RtZXABC中，N4c4=90°,4C=8,点。在8c上，且CQ=2,点。是线段AC上一个动点,

以。。为直径作O。，点Q为直径。。上方半圆的中点，连接AQ,则AQ的最小值为（)

,W：如图，连接O。，CQ,过点人作人兀LCQ交CQ的延长线于。

A

P

VPQ=DQ>

：,OQLPD,

・・・NQOQ=90°,

；•/QC£>=,NQOD=45°，

VZACB=90°,

・・・N4Cr=45°,

'：AT±CT,

AZATC=9()°,

VAC=8,

••・A7=AC・sin450=4&,

*：AQ^AT,

・・・AQ24也

・"Q的最小值为：4版,

故选：D.

4.如图，NAO8=30°,。。=4，当点C在0A上运动时，作等腰RtZXCQE,CD=DE,则。，E两点间

羽离的最小值为.

解：•・・N4OB=30°,00=4,点。在OA上运动时，CD=DE,CDLDE,

・・・C为主动点，E为从动点，。为定点，

由“瓜豆原理”，C在。4上运动，则E在垂直04的直线上运动，

当。C_LOA时，如答图：

过E作EMJ_OA于M,交。8于N,则直线MN即为E的运动轨迹，OM的长为O,E两点间距离的最

小值，

VZAOB=30°,。。=4,DCLOA,ACD=2,

,:CD=DE,:.DE=2,

•：NOCD=NCDE=90°,：,DE//OA,而EMJ_OA,

・・・NOEN=90°,/EDN=30°,工在△OEN中可得DN=孥，

・・・ON=4+竽，△OMN中可得OM=苧x（4+竽）=2+273,故答案为：2+2聒.

5.如图，在矩形人8c。中，AB=5,BC=5^3,点P在线段8C上运动（含8、。两点），连接人P,以点

4为中心，将线段/IP逆时针旋转60°至IJAQ,连接。Q,则线段。。的最小值为

D

BPC

解：如图，以A8为边向右作等边△A8R作射线/Q交4。于点£,过点。作。”_LQE于从

•・•四边形A4CD是矩形,

.•・/A8P=NR4Q=90°,

•••△A8凡Z^AP。都是等边三角形,

：.ZBAF=ZPAQ=6Q°,BA=FA,PA=QA,

：.ZBAP=ZFAQ,

在△B4P和△用Q中，

(BA=FA

NBAP=NFAQ，

IPA=QA

.'△BAPg△阳Q(SAS),

/.ZABP=ZAFQ=90°,

VZME=90°-60°=30°,

・・・NAE尸=90°-30°=60°，

yAB=AF=5,AE=/\F4-cos300=1。愿,

・••点Q在射线尸石上运动，

♦:AD=BC=5^,

：.DE=AD-AE=^^-,

3

\'DHLEF,NDEH=NAEF=60°,

・・.Q”=OE・sin60。

322

根据垂线段最短可知，当点。与“重合时，DQ的值最小，最小值为"I

6.如图，在△ABC中，NAC4=90。，点D在BC边上,8c=5,。。=2,点E是边AC所在直线上的一

动点，连接QE,将。£绕点。顺时针方向旋转60°得到。尸，连接8R则B尸的最小值为.

解：如图，以8。为边作等边三角形。连接£”，过点，作“N_L8D于M

DNB

<BC=5,CD=2,・"Q=3,

是等边三角形，HN1BD,

37

:・DN=BN=*,DB=DH,Z/7DB=60°,:・CN=g,

•・•将OE绕点。顺时针方向旋转60°得到。F,：,DE=DF,NEDF=60：

二NEDF=NHDB,:.NEDH=/FDB,

DE=

在△£)"£和△08〃中，乙EDH=乙FDB,

DH=DB

：・2DHE0丛DBF(SAS),:,EH=BF,

，当£H有最小值时，3"有最小值，

由垂线段最短可得：当E”_LAC时，EH有最小值，

此时，VEHLAC,/ACB=90°,HNLDB,

77

・•・四边形CM7E是矩形，・・・H£=CN=2故答案为：

BE4

7.如图，矩形4BCZ）中，AO=6,0c=8,点七为对角线AC上一动点，BELBF,—=于点

BF3

G,连接CG,当CG最小时，CE的长为

解：如图，过点8作BP_LAC于点P,连接PG,

BEAB4

:—=—二一，NABC=/EBF,•'.△ABCSAEBF,:・/CAB=/FEB,

BFBC3

:NAPB=NEGB=90°,:.AABPsAEBG,

_EB__1_i4C_5

ZABP=NEBG,NABE=NPBG,

PB~GB~sinz.BAC~BC~3

・•・△ABEs^PBG,・•・ZBPG=ZBAE,

却在点七的运动过程中，N8PG的大小不变且等于N8/1C,

・•・当CG_LPG时，CG最小,

…AEAB53

设此时AE=x,一=一=:・PG=^x,

PGPB35

CP5

VCGLPG,/.ZPCG=ZBPG=ABAC,/.—=

PG3

Q

代入解得CP=x,

1R

VCP=BC^inZCBP=13C*sinZBAC=拳

・•AU18.「匚32痂死左右32

••/=可，..AE=..CE=可,故答基力：—.

8.如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC_Lx轴于点M,交直线）=-X于点N.若点

P是线段ON上的一个动点，ZAPB=30°,BA±PA,则点P在线段ON上运动时，A点不变，8点随之

运动.求当点P从点O运动到点N时，点、B运动的路径长是_&_.

解：如图1所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点8为8,连接AP,ABi,BBi,

'：AOLAB\,APLABi,

:・NOAP=NB\ABi,

又・・・A8i=AO・tan30°,Abi=AP・tan300,

AABi：AO=ABi：AP,

；・/XAB\Bi^/\AOP,

・•・ZAB\Bi=ZAOP.

同理得8182s△AON,

・•・ZAB\B2=ZAOP,

・•・ZAB\Bi=ZAB]B2,

・•・点所在线段以汝上，即线段用放就是点B运动的路径（或轨迹）.

由图形2可知：为△APBi中，ZAPB\=3>0°,

.AB】i

APV3

RtZ\A&N中，NAN82=3()°,

.AB2_1

*，-AN_V3'

・AB］二AB2二i

ZPAB\=ZNAB2=90C,

・•・/必N=N8IAB2,

・•・△APNS/\AB\R2,

・1

''~PU丁一哀

•••ON的解析式为：y=-x,

•••△OMN是等腰直角三角形，

：.OM=MN=a，

:M=声,

:・B&=®,

综上所述，点8运动的路径(或轨迹)是线段阴及，其长度为

故答案为：V2.

9.如图，菱形人8c。的边长为4,N8=120°,E是BC的中点，r是对角线AC上的动点，连接EF,将

线段比绕点厂按逆时针旋转30°,G为点E对应点，连接CG,则CG的最小值为

BEC

解：如图取C。的中点K,连接尸K,KG,EK,延长KG交8C于作C"_LJK于”.

•・•四边形A3。。是菱形，/.ZFCE=ZFCK,CB=CD,AB//CD,

・・・NOC8+NB=180°,

VZ5=120°,AZDCB=60>,

•:BE=EC,CK=KD,:,CK=CE,工/XECK是等边三角形，

•；CF=CF,/FCK=/FCE,CK=CE,

・•・△尸CKg△/CE(SAS),:・FK=FE,

*：FG=FE,：,FE=FG=FK,：.ZEKG=^ZEFG=\5°,

VZCKE=60°,・・・NCKJ=45°,・••点G在直线KJ上运动，

根据垂线段最短可知，当点G与“重合时，CG的值最小，

1

在RlZ\CK”中，V^CKH=45°,NCHK=9U°,CK=^CD=2,

・・・C，=K”=&,・・・CG的最小值为企，故答案为近.

10.如图，已知△ABC为直角三角形，N4=30°,NAC5=90°,8C=4,O是直线/W上一点.以CO

为斜边作等腰直角三角形CQE，求的最小值.

解：如图，作CHJLAB于"，取CD的中点。连接OE,OH,EH,作AG1EH交EH的延长线于G.

：.OE=OH=OC=OD,

:CE,H,。四点共圆,

：,^EHC=ZEDC=45°,

AZ4HG=90°-ZEHC=45°,

.•.点石的运动轨迹是直线G“.当人乩与4G重合时，A£'的值最小,

在中，VBC=4,NCA4=30°,

：.AC=^3BC=4yj3,AH=AC・cos30°=6,

•・・AGJ_”G,

AZG=90o,

•・・NA，G=NGAH=45°,

：.AG=GH

•\AE的最小值为3近

II.如图，在等边△48C中，A8=6,BDA.AC,垂足为Q,点E为人8边上中点，点尸为直线8D上一点.当

点M为BE中点，点N在边AC上，且DN=2NC,点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点

E顺时针旋转60°得到线段EP,连接FP,当NP+2MP最小时，直接写出△。/W的面积.

解：以M为顶点，MP为一边,作NPA〃=30",ML交BD于点、G,过点P作于点儿设交

BD于点、K,如图，

Rtz^PM”中，HP二MP，.'.NP+/MP最小即NP+”P最小，此时N、P、H共线，

•・•将线段£/绕点E顺时针旋转60°得到线段EP,

・・・5在射线Q尸上运动，则点P在M尸上运动，根据“瓜豆原理”，尸为主动点，户是从动点，E为定点、,

NFE尸=60°,则F、P轨迹的夹角/QKP=NFEP=60°,

・・・NBKM=60°,

VZ/\BD=30°,.•・N8MK=90°,VZPML=30°,/.ZWL=60°,

：.^BML=ZA,：,ML//AC,：,ZHNA=\^()°-ZPHM=W,

*：BDA.AC,:・NBDC=NHNA=NPHM=90",，四边形GaNO为矩形，:.DN=GH,

•・•等边△43C中，AB=6,BDA.AC,・\。。=3,

又・：DN=2NC,，等边△ABC中，A8=6,点£为A8的中点，点M为8E中点，

・・・BM=?,BZ)=4B・siM=6Xsin6(r=375,

3

-

RtZ\8GM中，MG=QM4BG=8M・c°s3。。f

：・MH=MG+GH=《GD=BD-BG=峥,RlZ\M〃尸中，口尸=M，・(an30°=

1*X乙

:.PN=HN-HP=GD-HP=孥，:,SADPN=gpN•DN=孥.

12.如图，等边三角形ABC的边长为4,点。是直线AB上一点.将线段C。绕点。顺时针旋转60°得到

线段。E,连接8E.

（1）若点D在AB边上（不与A,8重合）请依题意补全图并证明人。=/法；

（2）连接AE,当AE的长最小时，求C。的长.

解：(1)补全图形如图1所示，AD=BE,理由如下:

•••△A8C是等边三角形，

；・AB=BC=AC,NA=N8=60°,

，：DC=DE,NCDE=60。,

•••△CQE是等边三角形，

AZACB=ZDCE=60a,CD=CE,

・•・ZACD=ZBCE,

•••△AC性△BCE(SAS),

：.AD=BE.

（2）过点4作人〃_L£B交石B延长线于点E

,?△ACDQXBCE,

：.ZCBE=ZA=6（）,）,

・•・点E的运动轨迹是直线BE,

根据垂线段最短可知：当点£与尸重合时，AE的值最小,

此时CD=CE=CF,

•；NACB=NCBE=600,

：.AC//EF,

：.AFVAC,

••・CF={AC?+AF2="+(2V§)2=2忏

:,CD=CF=2小

二

3

ADB、

图1图2

13.如图，在RtZ\ABC中，N84C=90°,AB=AC,.点。是BC边上一动点，以AD为边向右作等腰Rt

△AOE,其中ND4E=90°,AD=AE.

（1）在图①中，画出当点。从点8运动到点C的过程中，点E的运动轨迹;

（2）如图②，若43=6,点产为44的中点，连接ER求以'的最小值.

A

BDC

图①

BDC

图②

解：（1）VZ«AC=ZDAE=90°,

：.ZBAD=ZCAE,

连接CE如图,

A

在△AB。和△ACE中，

fAB=AC

ZBAD=ZCAE«

IAD=AE

・•・△•性△ACE(SAS),

NABD=NACE,

•・・N/MC=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°,

・・・NACE=45°,

?.ZBCE=90a,BPCE1BC,

・•・点E始终在过。点作BC的垂线上，

根据题意得，线段为所求作的点E的运动轨迹;

(2)由题意可知，当EF_LCE时，E尸取最小值，如图，过点尸作/M_L8c于点M,

•：AB=6,=为A5的中点,

尸=3,

•・・/B=45",

•・•ZCA/F=ZCEF=NMCE=90°，

・•・四边形CEFM为矩形,

:,EF=CM=BC~^W=A/62+62-|V2=-1V2.

."F的最小值为

14.如图，矩形4BCO中，48=4,AD=3,点E在折线BC。上运动，将4E绕点4顺时针旋转得到AF,

旋转角等于N84C,连接。尺

（1）当点石在8C上时，作尸WJ_AC,垂足为M,求证：AM=AB；

（2）当AE=3近时，求CF的长；

（3）连接。凡点后从点8运动到点。的过程中，试探究。尸的最小值.

（1）证明：如图I中，作FM_LAC,垂足为M,

•・•四边形4BC7）是矩形,

AZ«=90°,

VFA/1AC,

AZZ?=ZAMF=90°,

:NBAC=NEAF,

：.ZBAE=ZMAF,

在△A8E和△AM/中,

rZB=ZAMF

NBAE=NHAF，

AE=AF

A(AAS),

：.AB=AM；

(2)解：当点E在8c上，在RIZX44E中，A8=4,AE=3如,

二^£=VAE2-AB2=V(3V2)2-42=心

,?/XABE^/XAMF,

・"8=AM=4,FM=BE=&,

在RtZXABC中,48=4,BC=3,

A^C=7AB2+BC2=V42+32=5，

：.CM=AC-AM=5-4=1,

VZGWF=90°,

・•・CF=VCM2+FM2=V12+(V2)2=V3.

当点E在。。上时，可得

综上所述，Cb的值为e或JI5；

（3）解：当点E在8c上时，如图2中，过点。作O"_LFM于点”.

/图2

AABE且AAMF,

：.AM=AB=4,

VZAA/F=90°,

・•・点广在射线尸M上运动，当点尸与K重合时，。尸的值最G，

VZGWJ=Z/1DC=9O°,NMCJ=/ACD,

:・4CMJS4CDA,

•型.=&.=£1

"CDADAC'

-1=AL=£L

435'

：.MJ=­,CJ=­

44f

：.DJ=CD-CJ=4-±=旦,

44

•；NCMJ=NDHJ=90°,NCJM=NDJH,

:ACMJs丛DHL

.CM=£J

**DHDJ>

5

.1

4

5

・・.O/的最小值为卫.

5

当点£在线段CO上时，如图3中，将线段绕点A顺时针旋转，旋转角为N/MC,得到线段AR,连

接FR,过点。作。Q_L4R于点Q,DKUR于点K.

ZEAF=ZBACfNDAR=NBAC,

:・NDAE=NRAF,

*：AE=AF,AD=AR,

^ADE^AARF(SAS),

AZADE=ZA/?F=90°,

・•・点尸在直线A尸上运动，当点。与K重合时，。产的值最小,

•・・OQJ_AR,DKLRF,

R=/DQR=NDKR=90°,

・•・四边形QKRQ是矩形，

:・DK=QR,

419

，AQ=AQ・COSNZMC=3X3=*,

55

'：AK=AD=3,

:,DK=QR=AR-AQ=—,

5

的最小值为2,

5

55

・・・Q/的最小值为

5

解法二：当点E在BC上时，如图，将线段A。绕点A逆时针旋转,旋转角的度数=N84C,得到AT,

连接。7,ET,DF.

F

证明△OA尸经△以后，推出。尸=观，

当了E_L8C时，。尸的值最小，可得。尸的最小值为卫.

5

当点E在CQ上时，同法可得。尸的最小值为2.

5

15.问题提出:

(1)如图①，XBCE冬△kCD,请在图中找到一组相似的三角形ACABsACDE.

问题探究：

(2)如图②,点。为等腰直角三角形ABC的直角边BC上的动点,4。绕点D顺时针旋转90°得到ED,

连接8E,求NAOE与NE的关系.

(3)如图③，点。是等边三角形ABC的AC上的动点.连接。8,将。B绕点。逆时针旋转120。得到

DE,连接E4,EC,若48=2,直接写出E4+EC的最小值.

①②③

解：(1)△CABs/XCQE,

，4C=AC,CE=CD,NBCE=NACD,

;DC=CE=hZBCE+ZACE=ZACD+ZACE,

ACCD

：.ZBCA=ZECD,­=—,

CECD

・•・△CABs△COE,

故答案为：XCABs/XCDE;

(2)TA。绕点。顺时针旋转90°得到ED,

：.AD=DE,NAOE=90°,

AZE=Z£AD=45°,

/ADE=2NE；

(3)延长AC到凡使Cr=BC.

:△ABC为等边三角形，08绕点。逆时针旋转120°得到。E,

：.ZEDF=ZFCB=\20a,

EDFC,

--=---=1,

BDBC

：・4EDBS/\FCB,

：,ZDBE=ZCBF,

：・/DBC=/EBF,

也型

BC=BF,

△EBFsADBC,

NDCB=NEFB=6()°,

，点E在NAPE的边产E上运动.找C关于小的对称点C',

：・4EFC=ZEFC=30°,ZC'EF=90°,N44F=90°,C'F//AB,

・・・A,E,C'共线，且AC'_L尸C',AC最小.则四边形ABRT是矩形,

•••E4+EC最小=AC'=BF=273.

A

16.菱形ABCD的对角线交于点0.

(1)如图1,过菱形"C。的顶点A作4瓦L4C于点£,交。8于点从若NA4C=60°,四边形AECO

的面积为24禽，求菱形ABCD的边长；

(2)如图2,菱形A8C。中，过顶点斗作人尺L8C于点E,交。C延长线于点F,线段4尸交于点”，

若人。=人产，求证：OH=-BH-0C；

2

(3)如图3,菱形AAC。中，N/1AC=45°,AA=9,点尸为射线相)上一动点，连接H化将8尸绕点

B逆时针旋转60°到8Q,连接AQ,直接写出线段AQ的最小值.

(1)解：如图1中，设4。=2加.

图I

•・•四边形4BCO是菱形，

：.AB=BC=CD=AD=2nb

VZ4BC=60°，

•••△/WC是等边三角形，

*：AELCB,

:.BE=CE=m,

••AE=yJ~^>m1

丁S四边彩AECO=2X(/〃+2〃z)X^3/2?=24->/3♦

.*.m=4或・4(舍去),

，AQ=8；

（2）证明：如图2中，连接C”，在0C上取一点。使得。”=。。，连接”Q.

图2

*：ADA.AD,AD=AF,

AZADF=ZF=45°,

•・•四边形A8CQ是菱形，

/.ZABC=ZADC=45°,AD//CB,

：.AELBC,

：.ZAEB=ZAEC=90°,

•:DA=DC,

••・/OAC=NQCA=67.5°,

1・NEAC=NE3H=22.5°,

:.△BEHW/XAEC(ASA),

：.BH=AC=20C,

•・・B。垂直平分线段AC,

:・HA=HC,

：.ZHCA=ZHAC=22.5°,

,:OQ=OH,

：.NOHQ=NOQH=45°,

/OQH=NQHC+NQCH,

AZQHC=ZHCQ=22.5°,

：.QH=QC=y[20H,

设OH=m,则OQ=m,HQ=CQ=®n,

0C=m-^f2m,

OH+OC==2〃?+，

•.•亚⑦0C=⑦(W+V2w)=y[22m+2m,

2

V2

；・OH=-BH-OC；

2

(3)解：如图3中，以AB为边向下作等边△A87,连接尸7,过点7作77/_1_4。于点y在777上取一

图3

•••NPBQ=NAB7=60°,

/.NABQ=NTBP,

VBP=BQ,BA=BT,

A^ABQ^/\TBT(SAS),

：.AQ=PT,

・•・当加与7”重合时，丁尸的值最小，此时AQ的值最小.

•・•四边形A8CQ是菱形，

：.AD//CB,

・・・NB4O+NA8C=180°,

VZABC=45°,ZBAT=6()Q,

：.ZBAD=\35°