热点9-1 计数原理综合10大题型（解析版）-高考数学备考复习重点资料归纳

热点9-1计数原理综合10大题型

排列组合问题往往以实际问题为背景，考杳排列数、组合数、分类分步计数原理,

难度基本稳定在中等。二项式定理问题是高考的热门考点，主要考直二项展开式

的通项，二项式系数和及各项系数和等问题，从近几年来看，围绕二项展开式的

通项公式命题，考查某一项或考查某一项的系数较多。

一、排列组合常见问题的解题策略

1、特殊优先法：优先安排特殊元素或特殊位置；

2、相邻捆绑法：相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的

内部排列；

3、不相邻插空法：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面

元素排列的空档中；

4、定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；

5、定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可；

6、间接法：正面分类太多从反面入手；

7、直接法：分排问题直排处理；

8、重排求幕法：可以重复的排列问题实际以元素为研究对象，元素不受位置限

制，可以逐一安排各个元素；

9、多排问题直排法：元素分为多排的排列问题,可以看出一排问题,再分段研

究；

10、分组分配

(1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题；

(2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，

有机组元素个数相同，则分组后除以加;③完全非均匀分组，只要分

组即可；

(3)分配：①相同元素的分配问题,常用〃挡板法〃；②不同元素的

分配问题，分步乘法计数原理，先分组后分配；③有限制条件的分配

问题，采用分类求解；

11、相同元素隔板法：将〃个相同的元素分成“7份,每份至少一个元素/

可以用机块隔板插入〃个元素排成一排的"1个空隙中，所有分法

数为C；；：-,

二、求二项展开式的特定项的常用方法

1、对于常数项，隐含条件是字母的指数为(X即0次项)；

2、对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的

项•解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于

整数集，再根据数的整除性来求解；

3、对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,

求解方式与求有理项一致.

热点题型解W

题型1两种计数原理题型6最短路径问题

题型2涂色问题题型7二项展开式的特定项求解

题型3排序问题题型8二项式系数与项的系数最值

题型4排数问题题型9系数和问题

题型5分组分配问题题型10杨辉三角形

【题型1两种计数原理】

【例1】（2023•江苏连云港•统考模拟预测）现要从A,B,C,D,E这5人中选

出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则

安排的方法有（）

A.56种B.64种C.72种D.96种

【答案】D

【解析】由题意可知：根据A是否入选进行分类：

若A入选：则先给A从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有C；=3种，

再给剩下三个岗位安排人有A：=4x3x2=24种,共有3x24=72种方法；

若A不入选：则4个人4个岗位全排有A：=4x3x2x1=24种方法，

所以共有72+24=96种不同的安排方法，故选：D.

【变式1-1]（2023•福建漳州・统考二模）2022年10月22日，中国共产党第二十

次全国代表大会胜利闭幕.某班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联

欢晚会，原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个教师节目，

如果将这两个教师节目插入到原节目单中，则这两个教师节目相邻的概率为

（）

A1R1n-

A-6B-L7CQ-3U7

【答案】D

【解析】由题意可知，先将第一个教师节目插入到原节目单中，有6种插入法，

再将第二个教师节目插入到这6个节目中，有7种插入法，

故将这两个教师节目插入到原节目单中，共有6d42（种）情况，

其中这两个教师节目恰好相邻的情况有2x6=12（种），所以所求概率为

导家故选：D.

【变式1-2]（2023.甘肃兰州•校考模拟预测）某单位拟安排6位员工在今年6月

9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天,若6位员工中的甲不值9日，

乙不值11日，则不同的安排方法共有（）

A.30种B.36种C.42种D.48种

【答案】C

【解析】若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有C；种

选法，

9日、1（）日有CC；种安排方法，共有C；C；C；=24（种）安排方法；

若甲在10日值班，乙在9日值班，

余下的4人有WCG种安排方法，共有12种安排方法；

若甲、乙都在10日值班，则共有C：C；=6（种）安排方法.

所以总共有24+12+6=42（种）安排方法.故选：C

【变式1-3]（2022秋・江西南昌•高三校联考阶段练习）2022年9月5日，四川甘

孜州泸定县发生6.8级地震，某医院决定派遣5名医生前往3个区域参与救援,

其中男医生3名，女医生2名.要求每个区域至少要有1名男医生，则不同的派

遣法有（）

A.18B.36C.54D.72

【答案】C

【解析】3名男医生各去一个区域，有A；种去法,2名女医生有3,种去法,

共有A；.3?=54种.故选：C.

【变式1-4]（2023•山东荷泽・统考一模）为了迎接，第32届荷泽国际牡丹文化旅

游节、某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现

需要一名总负责，两名美工,三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，

则不同的分工方法种数为（）

A.9种B.11种C.15种D.30种

【答案】C

【解析】若丙是美工，则需要从甲、乙、丙之外的三人中再选一名美工，

然后从剩余四人中选三名文案，剩余一人是总负责人，共有C；C：=I2种

分工方法;

右丙不是美工I则丙XE是总负责人，

此时需从甲、乙、丙之外的三人中选两名美工，

剩余三人是文案，共有《种分工方法；

综上，共有匕+3=15种分工方法，故选：C.

【题型2涂色问题】

［例2］（2023•内蒙古校联考模拟预测）如图，这是第24届国际数学家大会会

标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区

域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5

种颜色可供选择，则怡用4种颜色的概率是（）

【答案】C

【解析】若按要求用5种颜色任意涂色：

先涂中间块，有5种选择,再涂上块，有4种选择.

再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块和右块均有3种选择；

若下块与上块涂不同颜色，则下块有3种选择，左块和右块均有2种选

贝jit有5x4x(lx3x3+3x2x2)=420不中方;去

若恰只用其中4种颜色涂色：

先在5种颜色中任选4种颜色,有G种选择.

先涂中间块，有4种选择，再涂上块，有3种选择.

再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块有2种选择,

为恰好用尽4种颜色，则右块只有1种选择；

若下块与上块涂不同颜色，则下块有2种选择，左块和右块均只有1

种选择.

则共有C；-4x3x（lx2xl+2xlxl）=240种方法,

故恰用4种颜色的概率是鲁=3•故选：C.

【变式2-1】（2022秋•四川成都.高三成都七中校考阶段练习）对如下编号为1,2,

3,4的格子涂色，有红，黑，白，灰四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色,

则在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是（）

【答案】A

【解析】由题意可知，整个事件需要分四步，按照格子标号依次涂色即可；

若在1号格子涂灰色，则2号格子还有3种选色方案，

同时3号格子也有3种选色方案，4号格子还剩2种选色方案，

即1号格子涂灰色的方案总数为3x3x2=18种;

若1号格子和4号格子同时涂灰色，

则2号格子还有3种选色方案，3号格子还有2种选方案，

即1号和4号格子同时涂灰色的方案总数为3x2=6种；

所以在1号格子涂灰色的条件下,4号格子也涂灰色的概率是

103

故选：A.

【变式2-2]（2（）23•山西|缶汾•统考一模）如图，现要对某公园的4个区域进行绿

化，有5种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜

色的花卉，共有种不同的绿化方案（用教字作答）.

【答案】180

【解析】如图：

B

AD

C

从A开始摆放花卉，A有5种颜色花卉摆放方法,

B有4种颜色花卉摆放方法，。有3种颜色花卉摆放方法；

由。区与5,C花卉颜色不一样，与A区花卉颜色可以同色也可以不

同色，

则。有3种颜色花卉摆放方法.

故共有5x4x3x3=180种涂色方法故答案为：18()

【变式2-3](2023・全国•高三专题练习)七巧板是古代劳动人民智慧的结晶如图

是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形、一个正方形和一个

平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块

两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种.

【解析】由题意，一共4种颜色，板块A需单独一色,

剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色.

又板块BC。两两有公共边不能同色,故板块A,B,C,D必定涂不同颜色.

G

/B\/

/D/E

①当板块E与板块。同色时，

则板块£G与板块良。或板块。,8分别同色，共2种情况；

②当板块E与板块8同色时，

则板块尸只能与。同色，板块G只能与。同色，共1种情况.

又板块ABCD颜色可排列，故共（2+l）xA：=72种.故答案为：72

【变式2-4]（2023・高三课时练习）现有五种不同的颜色,要给四棱锥P-ABCD

的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点所涂颜色不能相同，一共有

_________种涂色方法.

【答案】420

【解析】五个顶点涂五种不同的颜色，有片=120（种）涂法;

五个顶点涂四种不同的颜色，其中4C同色或&D同色，有月百=24。

（种）涂法;

五种顶点涂三种不同的颜色其中4C同色且B、D同色，有E=60（种）

涂法.

综上，共有120+240+60=420（种）涂色方法.

故答案为：420

【题型3排序问题】

【例3】（2023•广东广州•统考二模）现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛

后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排

列方法共有一种.（用数字作答）

【答案】144

【解析】根据题意，分2步进行分析：

①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，有=12

种情况，

②排好后,有4个空位，在其中任选2个,安排丙、丁，有A：=12种情

况，

则有12x12=144种排法，

故答案为：144.

【变式3-1]（2023秋•宁夏石嘴山•高三石嘴山市第三中学校考期末）五声音阶是

中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、

商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相

邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为.（用数字作答）.

【答案】24

【解析】解：先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起芍A；,

然后与宫、商、角进行全排有A：,考藤IJ顺序问题，

则可排成不同的音序的种数为争=24.

故答案为：24.

【变式3-2]国龙外校第一届班主任节上，有3名高二学生给3位高二优秀班主

任献花，献花后师生共同合影，要求6人站在一排，如果要求老师与学生相间站,

那么站法有（）

A.36种B.72种C.108种D.144种

【答案】B

【解析】根据题意,分3步进行分析：

第一步，将3名学生全排列，有A；=6和排法;

第二步，将3名老师全排列，有A；=6和排法；

第三步，老师与学生相间站，有2种排法；

所以老师与学生相间站，那么站法有2xA；xA；=72种，故选：B

【变式3-3]（2023秋广东揭阳•高三统考期末）已知甲、乙两个家庭排成一列测

核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2

位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为

（）

A.288B.144C.72D.36

【答案】C

【解析】方法1：2位父亲的排队方式种数为A；,2位母亲的排队方式种数为A；,

3个小孩的排队方式种数为A；,将3个小孩当成一个整体,

放进父母的中间共有A；种排队方式，所以不同的排队方式种数为

A；A；A；A；=72.

方法2：2位父亲的排队方式种数为A；.

将3个小孩当成一个整体与2位母亲的排队方式种数为A；,

3个小孩的排队方式种数为A；,所以不同的排队方式种数为A；A；A；=72.

故选：C.

【变式3-4】（2023春・山西晋城•高三校考阶段练习）某文艺演出团从包括甲、乙、

丙在内的7名演员中选派4名参加演出，要求甲、乙、丙这3名演员中至少有1

人参加，且当这3名演员都参加时，甲和乙的演出顺序不能相邻，丙必须排在前

两位，则所选派的这4名演员不同的演出顺序有（）

A.680种B.720种C.744种D.768种

【答案】C

【解析】当甲乙丙中有1人参加时：C.C：.A：=288种顺序;

当甲乙丙中有2人参加时：.A：=432种顺序；

当甲乙丙中有3人参加时：C〉A，A；+2=24种顺序；

综上所述：共有288+432+24=744种顺序故选：C

【题型4排数问题】

［例4］（2022秋・江苏盐城・高三盐城中学校考阶段练习）用1,2,3,4,5五个

数字组成五位数，则数字2和4不相邻的概率是（）

AB.《C.|D.|

【答案】D

【解析】设事件A为2和4不相邻的情况，则其对立事件可为2和4相邻的情况；

首先135进行排序，共有A；=6种，而形成4个空，使用捆绑法，将

2,4看成整体，

则2和4相邻总共有八；C；A"48种，所有的情况共有120种।

.•.P（A）=1-P（可=1-笥故选：D.

【变式4-1】（2023•广东汕头•高三校考阶段练习）如果一个四位数的各位数字互

不相同，且各位数字之和等于10,则称此四位数为“完美四位数（如1036）,则

由数字0,1,2,3,4,5,6,7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为一.

【答案】44

【解析】若尾数为1,前三位的数字为270,或0,3,6,或045时，0放在百位或

十位上，

剩余两个数遂行全排列，故共有3C；A；=12个完美四位数，

若前三位数字为2,3,4时，则有A；=6个完美四位数；

若尾数为3,前三位的数字为。/，6,或025时,0放在百位或十位上,

剩余两个数进行全排列，故共有2C；A；8个完美四位数，

若前三位数字为124时,有A：=6个完美四位数；

若尾数为5,若前三位数字为。J4或。23时,0放在百位或十位上，

剩余两个数进行全排列，共有2C；A”8个完美四位数,

若尾数为7,若前三位数字为0J2时，0放在百位或十位上，剩余两个

数进行全排列，

有C；A；=4个完美四位数；

综上所述：共有12+6+8+6+8+4=44个完美四位数.

故答案为：44

【变式4-2](2023春・山西忻州•高三校联考开学考试)从1,2,3,0这四个数

中取三个组成没有重复数字的三位数,则这些三位数的和为.

【答案】3864

【解析】分三种情况：

(1)在所有不含()的三位数中，百位上的所有数字之和为

(l+2+3)x2=12,

十位上的所有数字之和为(1+2+3)X2=12,百个位上的所有数字之和为

(14-2+3)x2=12,

所以所有不含0的三位数的和为12x(100+10+1)=1332;

(2)在含。且0在十位上的三位数中，百位上的所有数字之和为

(14-2+3)x2=12,

个位上的所有数字之和为(1+2+3*2=12,

所以含0且0在十位上的三位数的和为12x(100+1)=1212;

(3)在含。且0在个位上的三位数中，百位上的所有数字之和为

(14-2+3)x2=12,

十位上的所有数字之和为(1+2+3*2=12,

所以含。且0在个位上的三位数的和为12x(100+10)=1320;

那么可得符合条件的这些三位数之和为1332+⑵2+1320=3864.

故答案为：3864

【变式4-3](2022.全国•高三专题练习)用0,1,2,3,4这5个数字,可以组

成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？

(1)偶数：

(2)左起第二、四位是奇数的偶数；

(3)比21034大的偶数.

【答案】(1)60个；(2)8个；(3)39个

【解析】(1)末位是()，有死=24个，

末位是2或4,有GG-—36个,

故满足条件的五位数共有24+36=60个.

(2)法一：可分两类，0是末位数,有A困=4个,

2或4是末位数，则A；A；=4个.故共在4+4=8个

法二：四位从奇数1,3中取，有A"

首位从2,4中取，有4；个：余下的排在剩下的两位，有抬个；

故共有A；A；A；=8个.

(3)法一何分五类，当末位数是0,而首位数是2时，有A困+A；=6

个；

当末位数字是0,而首位数字是3或4时，有A；A：=12个；

当末位数字是2,而首位数字是3或4时，有A；A；=12个；

当末位数字是4,而首位数字是2时，有A；+A；=3个；

当末位数字是4,而首位数字是3口寸，有8=6个.

故有(A；A；+A；)+A；A；+A；A：+A：+A；+A；=39个.

法二：不大于21034的偶数可分为三类：

万位数字为1的偶数，有A；的=18个;

万位数字为2,而千位数字是0的偶数，有4个：还有21034本身.

而由0,123,4组成的五位偶数有A：+C；A；C；=60个.

故满足条件的五位偶数共有60-A；A；-A；T=39个.

【变式4-4】(2022.全国•高三专题练习)由数字123,4,5组成无重复数字的五位数.

(1)一共可以组成多少个五位偶数？

(2)在组成的所有五位数中，比32145大的五位数有几个？

【答案】（1）48；（2）65

【解析】（1）先考虑个位数,从2或4中选择1个，有C；种，再考虑其余乙个

数位，即余下的4个数字进行全排列，有A：种所以一共有C；A>48

个五位偶数；

（2）若万位数是3,千位是4或5,共有=12个符合要求；

若万位数是3,干位是2,则百位须是4或5,共有GA；-4个符合

要求；

若万位数是4或5,则有CA：=48个符合要求，32154符合要求；

综上：在组成的所有五位数中,比32145大的五位数有

12+4+48+1=65个.

【题型5分组分配问题】

【例5】（2023.陕西铜川.校考一模）将4名新招聘的工人分配到A,B两个生产

车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（）

A.36种B.14种C.22种D.8种

【答案】B

【解析】将4名工人，安排到两个车间：分为其中一个车间安排1名工人，另一

车间安排3名工人和两个车间都安排两名工人，两种情况.

其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人的方案有：

两个车间都安排两名工人的方案有：空8=6.

所以，不同的安排方案有8+674.故选：B.

【变式5-1］（2023春・江苏南京・高三南京市宁海中学校考阶段练习）将5名学生

志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动,

每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方

案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【解析】根据题意，分2步进行分析：

①将5名大学生分为4组，有C；=I。种分组方法,

②将分好的4组安排参加4个项目参加志愿活动,有A：=24种情况,

则有10x24=240种分配方案;故选：C.

【变式5-2]（2023•重庆统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，

现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队

分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾''三个不同项目，每支志愿团队只能分配

到1个项目且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（）

A.36B.81C.120D.180

【答案】D

【解析】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，有C=5种不同的

选派方案，

再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个

不同项目，

有=6x6=36种不同的选派方案，

所以，根据分步乘法原理,不同的安排方案有或同=5x36=180种.故

选：D.

【变式5-3]（2023秋福建厦门.高三厦门外国语学校校考期末）长郡中学体育节

中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4

个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（）

A.5B.；C-I

【答案】A

【解析】由已知条件得

将12人任意分成3组,不同的分组方法有第G种，

3个种子选手分在同一组的方法有G雷种,

C；C；C：

A23

故3个种子选手恰好被分在同一组的概率为可能=方，故选：A.

A|-

【变式5-4］（2022秋・吉林长春・高三长春外国语学校校考期末）从今年8月开始,

南充高中教师踊跃报名志愿者参加各街道办、小区、学校的防疫工作，彰显师者

先行、师德担当的精神，防疫工作包含扫描健康码、取咽拭子、后勤协调三项工

作，现从6名教师自愿者中，选派4人担任扫描健康码、取咽拭子、后勤协调工

作，要求每项工作都有志愿者参加，不同的选派方法共有（）种

A.90B.270C.540D.1080

【答案】C

【解析】用分步乘法计数原理：

第一步，从6名教师自愿者中选派4人，不同的选派方法种类为或=15;

第二步，将选出的4人分为3组，不同的分组方法种类为£烂=6;

第三步，将分好的3组，分配到不同的3项工作，不同的分配方法种类

为A；=6.

所以，不同的选派方法种类为15x6x6=540.故选：C.

【变式5-5】（2023.全国•高三专题练习）某校安排5名同学去A,A,C,力四个

爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被

安排到A基地的排法总数为.

【答案】60

【解析】当A基地只有甲同学在时，那么总的排法是CA；=36种;

当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时那么总的排法是UA；=24

种；

则甲同学被安排到A基地的排法总数为36+24=6。种.

故答案为：60.

【题型6最短路径问题】

［例6］（山东省泰安肥城市2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题）某小

区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的走法有（）

B

A

A.6种B.8种C.9种D.10种

【答案】C

【解析】由题意，从点A到点8,共走三步,需向上走一步,向右走两步，共有

G=3种走法；

从点8到点C,共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有C；=3种

走法,

由分步计数原理，可得共有3x3=9种不同的走法.故选：C.

【变式6-1］（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2021-2022学年高一上学期入学考试

数学试题）一只小虫子欲从4点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目

的地E,这只小虫子的不同走法共有（）

A.12种B.13种C.14种D.15种

【答案】C

【解析】由题意这只小虫子的不同走法共有：ABCDE,ABCDPE,

ABCDPFE,ABPDE,

ABPE,ABPFE,APBCDE,APDE,APE,APFE,AGFBCDE,AGFPDE,AGFPE,AGFE±t]4

种，故选：C

【变式6-2］（2022秋.广东惠州.高三校考期末）如图，某城市的街区由12个全

等的矩形组成（实线表示马路），段马路由于正在维修，暂时不通，则从A

到B的最短路径有（）

B

C.25条D.26条

【答案】D

【解析】先假设是实线,

则从A到〃,向上3次，向右4次，最短路径有矗=35条，

其中经过■）的,即先从A到C,然后C到。，最后。到6的最短路径有

3x3=9条，

所以，当不通时，最短路径有35-9=26条.故选：D

【变式6-3］（上海市南洋模范中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题）有

一道路网如图所示，通过这一路网从A点出发不经过C、D点到达B点的最短

路径有___________种.

【答案】24

【解析】如图，由已知可得，应从A点，先到"点，再到尸点，最后经点G到％点

即可.

第一步:由A点到E点最短路径为4步最短路径方法种类为C1C；=4;

第二步:由E点到尸点最短路径为3步最短路径方法种类为C；.C”3;

第三步：由下点经点G到。点，最短路径为3步，最短路径方法种类为

C；.C；.C；=2.

根据分步计数原理可得，最短路径有4x3x2=24种.

【变式6-4】（2022.全国高三专题练习）方形是中国古代城市建筑最基本的形态,

它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善

于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大

正方体（由8个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从A点出发，沿着竹棍到

达8点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（）

A.48种B.60种C.72种D.90种

【答案】D

【解析】由题意可知，从A到〃最少需要6步完成,

其中有2步是横向的，2步是纵向的，2步是竖向的,

则蚂蚁选择的不同的最短路径共有C：C：C；=90种.故选：D.

【变式6-5］（上海市向明中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题）如图，

在某城市中，两地之间有整齐的6x6方格形道路网，其中A是道路网中的一

点.今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到处，其中甲每步只能向右走

或者向上走，乙每步只能向下或者向左走.

（1）求甲从M到达N处的走法总数；

（2）求甲乙两人在A相遇的方法数.

【答案】（1）924种；（2）50625种

【解析】（1）甲从加出发走到N需要走12步，向右、向上各走6步，走法总数

为/=924种.

（2）甲经过A的方法数为©『二225种，乙经过A的方法数为二225

种，

所以甲乙两人在A相遇的方法数为225x225=50625种.

【题型7二项展开式的特定项求解】

【例7］（2023.重庆渝中.高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在二项式0一已］的

展开式中，常数项为.

【答案】240

【解析】常数项为：C：（2x）4，」［=240.故答案为：240.

X/

【变式7-1】（2023春北京•高三校考阶段练习）在卜-胃的展开式中，第四项为

（）

A.160B.-160C.160/D.-160/

【答案】D

【解析】在（丁-56的展开式中,

第四项为北=盘位）［-野=（-2）七/=_］60/故选：D.

【变式7-2］（2022秋・河北唐山・高三开滦第二中学校考阶段练习的展

\xJ

开式中的常数项为（）

A.-11B.50C.-61D.61

【答案】A

［解析］=（工一》）卜一》）卜―1一山―"）卜一》），

所以展开式中的常数项为（f'CCx㈠）X（-1）3+C；C；X（T）2X（-1）=7L

故选：A.

【变式7-3】（2023秋・浙江湖州•高三安吉县高级中学校考期末）（》），）*-W的

展开式中f丁的系数是_________.

【答案】14

【解析】。-»的展开式的通项为的=弓产,（引［=0］...,7,

令一2,贝^笃=C；X5y2=21x>2,

令r=1,则4=-C"y=-7C,

故的系数是lx21+lx（-7）=14.

故答案为：14.

【变式7-4】（2023湖北•校联考模拟预测）在（x+y）5（l+4展开式中，含交，的项

的系数是______.（用数字作答）

【答案】100

【解析】。+»。+幻6中只有的展开式中才含有九

故4中的项与（1+4展开式中含.一的项相乘得到，

（1+寸展开式中父项的系数为或父,

故x4y"的项的系数为C-1（X）.

故答案为：100.

【变式7-5](2023秋河南驻马店•高三统考期末)若

7102910

x+(x-2)=«0+6/1(x-l)+tz2(x-l)+«4-t/9(x-l)+t/10(x-l)z贝！J%=,

【答案】-231

7

【解析】9+d=[(X-1)+1]+[(X-1)-1]'°,

设[(1)+1]7展开式通项为&=C；(.广，

令7-r=5=厂=2，则<=C；卜一1)'=216一1)5.

设[卜-1)-1『展开式通项为乙=%(-1/(x—I),

5

令10—r=5nr=5，则7；=C；o(-1)(x-1/=-252(x-l)\

贝弧=21-252=-231.

故答案为：-231

【题型8二项式系数与项的系数最值】

［例8］（2023秋・浙江宁波•高三期末）若二项式。+2制"6€叶）的展开式中第6

项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是（）

A.448x3B.1120x4C.1792./D.1792.?

【答案】B

【解析】"=C：（2x）5,7；=C：（2x）6,所以析"=C>2\所以C：=2C：,即

n\_2•〃！

（n-5）!5!-6!（/z-6）!，

所以6=2（〃-5）=2〃=16=〃=8,

所以二项式系数最大项为岂=C（2»=1120/.故选：B

【变式8-1】（2023春•河南新乡•高三校联考开学考试）若二项式

的展开式中只有第5项的一项式系数最大，则展开式中？项的系数为（）

A.-1120B.-1792C.1792D.1120

【答案】D

【解析】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以〃=8.

通项为“C；（2x严,白）=（：伫.（-1）”喙，

令8-$=2，得厂=4,所以展开式中一项的系数为C：2，（-»=1120.故

选：D.

【变式8-2］（2022.全国•高三专题练习）已知（«+蛾）的展开式中，第3项的系

数与倒数第3项的系数之比为《，则展开式中二项式系数最大的项为第（）

项.

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】］4+哥的展开式通项公式为（五厂信J=C72,•亨，

则第3项的系数为亡"，倒数第3项的系数为Cl.2皿，

因为第3项的系数与倒数第3项的系数之比为］,

10

02,21

所以由==高=2一,所以C>22=C：-2.2"-6,解得〃=8,

C”-216

所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，故选：C

【变式8-3］（2022•全国•高三专题练习）设（1+%）"=%+4x+…+。户"，若

卬+%+…+牝=63,则展开式中系数最大的项是（）

A.15x3B.20/C.21dD.35x3

【答案】B

【解析】因为（1+力"=%+平+…+M,所以当"=0时，可得4=1；

当x=l时，可得4+4+生+…+%=2".

又I+%+…+%=63,所以2"-63+«0-64，得〃=6,

所以（1+叶的展开式中系数最大的项为第4项，即仁丁=2。/,故选：B

【变式8-4】（2023.全国•高三专题练习）定义函数=,若

“i,〃）=32i（i为虚数单位）,贝」）1+志）’的展开式中系数最大项为（）

6

A.*2B.—x^C.I5xD.—J

484

【答案】C

【解析】由已知（"i）”=32i,两边取模，得（@"=32,所以〃=10.

二项式6+由］的展开式的通项为&产CW（土）

因为〃二1。，则唠=，产'（壶）.

解

，曰8,

JJ

因为YN：所以r=3,所以方=3《］=15*6,

故系数最大的项为15f.故选：C.

【题型9系数和问题】

【例9】（2023•全国•高三专题练习）若（2x+何=%+4%+应+5,则

（/+）一（“I+）的值为（）

A.-1B.1C.0D.2

【答案】A

【解析】令x=l得％+%+4+%=(2+百)3,

令x=—l得《)-4+%-4=(-2+6)，，

所以

2333

(4)+a2)2—(ax+)=(4+/+%+%)(%—a1+%—4)=(2+>/3)(—2+V5)=(3—4)

故选：A.

【变式9-1］（2022秋江苏常州高三校考阶段练习）（多选）已知

82

（2-x）=+a［x+a2x++a8f，则（）

A.%=2*B.%+生++/=1

C.同+同+砥|+，+|4|=/D.4+2。2+3/++8%=-8

【答案】AD

【解析】由（2-力8=%+%%+//++%/,

令x=0得"0=2*,A选项正确.

令x=l得恁+4+/++/=1,4+/++/=1-2',B选项错误.

二项式（2-”展开式的通项公式为C；.2一。=（-l）'.25CE，，

由此可知4,生，。$，%是负数，生，《，%，人为正数，

所以令4一1得―%%―%%=3',

f+/_4+4一6+4-%+%=3,-2*,

即M+EI+同+,+同=.-28,c选项错误

由（2-"8=%+41%+。2工2++仆父,

2

两边求导得-3（2-x）'=q++3avv++8（缶，，

令x=l得％+2%+3%+…+8%=-8,所以D选项正确.故选：AD

【变式9-2】（2023•云南昆明・昆明一中校考模拟预测）设

（9+］）（31-1）8=%+4*+2）+%*+2）2++/*+2-，贝（J（）

A.%=1

B.%+«1+生++ag+4()=2"

9

C.aQ-a^+a2--a9+«10=10

D.(4+%+-+4。)2-(。1+。3++«y)'=2'7xlO9

【答案】BCD

【解析】对于选项八，令x=-2得%=5x7"L所以选项人错误；

分别令4一1和工=一3得4+4+4++/=2”和%-4+,-%-为+4o=lO。，

所以选项B和选项C正确；

对于选项D,(/+%++%"-(%+%++%)，

=3+4+02++丹+%)(%-《+生--%+%)=2隈1。9,选项D正确；故：

BCD.

【变式9-3】(2023秋・湖南长沙•高三校考阶段练习)若

2

(2x-1)'°=a0+a,(x-l)+a2(x-1)++at0(x-l)'°R,则q+%++4o=.

【答案】31°-l

【解析】令x=l,则/=1；

令尤=2,则4+4+出++卬。=铲；

故4+4+…+即)=3"-L

故答案为：3*1.

【变式9-4】(2023•甘肃兰州•校考一模)若(x—l)4=%+qu+%k,则

%+%+4的值为.

【答案】8

【解析】令X=1,贝[]4+4+%+4+。4=。；

令/则斯_4+出_q+。4=16,

两式相加除以2可得《)+%+4=8.

故答案为：8

【题型10杨辉三角形】

【例10】(2022.全国•高三专题练习)“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之

-,最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《解析九章算法》一书中，

欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年，“杨辉三角”

在数学史上具有重要的地位.若将杨辉三角中的每一个数C：都换成品日，就

得到一个如下表所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形同“杨

辉三角”一样，具有很多优美的性质，比如从第。行开始每一个数均等于其“脚下”

两个数之和等.现有关于莱布尼茨三角形性质的4个描述，则其中正确个数为

()

第•行

|1

mitr