2027届新高考数学热点精准复习排列与组合

2027届新高考数学热点精准复习排列与组合【课标要求】

1.进一步理解排列、组合的概念，了解计数原理的思想，熟练掌握排列、组合计算公式.2.提升综合应用排列组合的知识解决一些简单应用问题的思维能力和分类讨论的数学思想.【知识要点】

按照一定的顺序排成一列所有排列

n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)一个排列n!

1

并成一组所有组合

=

1

【基础检测】概念辨析

××√×√教材改编2.[选择性必修3p26T9]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(

)A.144

B.120 C.72 D.24D

3.[选择性必修3p38T3(2)]某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、化学、外语这五门课安排在星期三上午，数学必须比化学先上，则不同的排法有(

)A.60种

B.30种

C.120种 D.24种A

4.[选择性必修3p27T13]某校开设A类选修课3门，B类选修课4门.一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为

.

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ABD

考点1排列应用问题例1

(1)(2025·河北·三模)小李买了新手机后下载了A，B，C，D四个APP，已知手机桌面上每排可以放4个APP，现要将它们放成两排，且A和B放在同一排，则不同的排列方式有(

)A.288种

B.336种

C.384种

D.672种D

(2)有3名男生，4名女生，全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有

种排法.

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(3)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为(

)A.2301

B.2304 C.2305 D.2310A

[小结]排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在:某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题，在分析时，主要按照“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插空法”.对于直接考虑较困难的问题，可以采用间接法.1.从甲、乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲、乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有

种.

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对应训练2.今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有(

)A.18种

B.24种

C.32种

D.64种A

3.从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的3位偶数，这样的数有(

)A.24个

B.30个

C.36个

D.60个B

考点2组合应用问题例2

(1)现有红色、黄色、蓝色的小球各4个，每个小球上都标有不同的编号.从中任取3个小球，这3个小球颜色不全相同，且至少有一个红色小球的不同取法有(

)A.160种 B.220种 C.256种 D.472种A

(2)第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5个表演项目.现有三个场地A，B，C分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能A，B两地承办，且各自承办其中一项.5个表演项目分别由A，B，C三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有(

)A.150种 B.300种 C.720种 D.1008种B

[小结]组合问题常有以下两类题型变化:(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.4.两个三口之家(父母+小孩)共6人去旅游，在某打车平台预约了两辆不同的新能源汽车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为(

)A.48 B.50

C.98

D.68A

对应训练5.四面体的顶点和各棱的中点共10个点.在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为(

)A.141 B.144

C.150 D.155A

考点3排列组合的综合问题角度1.相邻、相间问题例3有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.(1)全体排成一行，其中男生必须排在一起;(2)全体排成一行，男、女相间;(3)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人.(1)全体排成一行，其中男生必须排在一起;

(2)全体排成一行，男、女相间;

(3)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人.

[小结]相邻与不相邻问题的解决方法(1)“相邻”问题:元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列.(2)“不相邻”问题:元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.角度2.定序问题例4有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有

种.

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[小结]对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.角度3.分组、分配问题例5按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式?(1)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本;(2)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本;(1)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本;

(2)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本;

[小结]这是一个分组、分配问题，解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数;还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.6.(2025·山西临汾·模拟预测)8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，则不同的排列方式共有(

)A.1152种

B.1728种

C.2304种

D.2880种C

对应训练7.已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为(

)A.150 B.240

C.390

D.144