2025-2026学年南京高校试讲教案

2025-2026学年南京高校试讲教案设计意图本教案针对2025-2026学年南京高校本科生，结合课程《高等数学》第一章“极限与连续”内容，旨在帮助学生掌握极限的基本概念、运算法则及其在解决实际问题中的应用，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。通过实际案例分析和练习，使学生能够将理论知识与实际应用相结合，提高学习效果。核心素养目标培养学生运用数学语言表达问题的能力，提升逻辑推理和抽象思维能力。通过探究极限概念，强化数学建模和数学应用意识，使学生能够运用极限理论解决实际问题，提高解决数学问题的综合能力。教学难点与重点1.教学重点

-掌握极限的基本概念，特别是单侧极限与双侧极限的区别。

-熟悉极限的四则运算法则，能够进行基本的极限计算。

-理解并应用两个重要极限公式，如$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$和$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$。

2.教学难点

-理解极限的ε-δ定义，并能运用它来判断函数在某一点的极限是否存在。

-分析函数在一点附近的变化趋势，确定极限的运算法则何时适用。

-处理形如$\frac{0}{0}$和$\frac{\infty}{\infty}$的不定式极限问题，通过适当的代数变形或极限技巧解决。

-理解无穷小比较，能够判断无穷小量的阶和等价无穷小，这在处理复杂极限问题时尤为重要。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，包括《高等数学》教材中的极限与连续相关章节。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如极限定义的动态演示、极限计算过程的动画等。

3.教学工具：准备计算器或数学软件，以便学生在计算极限时使用。

4.教室布置：设置分组讨论区，以便学生进行小组讨论和合作学习；确保实验操作台等设施齐全，以备进行极限计算实验。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台发布《高等数学》极限与连续章节的PPT和视频，要求学生预习并理解极限的基本概念。

-设计预习问题：例如，提出“如何判断一个函数在某一点的极限存在？”等问题，引导学生思考。

-监控预习进度：通过班级微信群了解学生的预习进度，确保学生提前对极限概念有初步理解。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生阅读教材和预习资料，理解极限的定义和性质。

-思考预习问题：学生尝试解决预习问题，如利用极限定义证明已知极限。

-提交预习成果：学生将预习笔记和解决预习问题的答案提交至在线平台。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生独立完成预习任务。

-信息技术手段：利用在线平台进行资源共享和进度监控。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过实例引入极限概念，如通过计算$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$来展示极限的实际应用。

-讲解知识点：详细讲解极限的定义、运算法则和重要极限公式。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生应用极限知识解决实际问题。

-解答疑问：针对学生提出的问题，如“如何处理$\frac{0}{0}$型不定式？”进行讲解。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，跟随老师的思路理解极限的计算。

-参与课堂活动：学生在小组活动中运用极限知识解决问题。

-提问与讨论：学生积极提问，与同学讨论解决疑难问题。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过讲解帮助学生理解复杂概念。

-实践活动法：通过小组活动让学生在实践中学以致用。

-合作学习法：通过小组讨论培养学生的团队合作能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置一些计算题和应用题，巩固学生对极限的理解。

-提供拓展资源：推荐相关书籍和在线资源，如数学论坛、极限计算软件等。

-反馈作业情况：批改作业，提供反馈，指导学生改进学习方法。

学生活动：

-完成作业：独立完成作业，巩固所学知识。

-拓展学习：利用拓展资源进行深入学习，如研究极限在物理或工程中的应用。

-反思总结：回顾学习过程，总结学习心得，提出改进措施。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：通过反思帮助学生提升自我学习能力。教师随笔Xx教学资源拓展1.拓展资源

-极限的直观理解：介绍极限的直观解释，如使用微积分基本定理中的$\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$，其中$F'(x)=f(x)$，让学生理解函数图像下面积与函数极限的关系。

-极限的历史背景：简要介绍极限概念的起源和发展，包括古希腊的阿基米德、牛顿和莱布尼茨等人的工作，以及极限在微积分中的重要性。

-极限的数学应用：探讨极限在数学各个领域的应用，如微分、积分、级数收敛性等。

-极限在物理中的应用：介绍极限在物理学中的重要性，例如在运动学中描述速度和加速度，在热力学中分析热平衡等。

-极限在经济学中的应用：讨论极限在经济学中的角色，如边际成本、边际效用等概念。

-极限在工程学中的应用：阐述极限在工程问题解决中的作用，如设计过程中的参数优化等。

2.拓展建议

-阅读拓展：

-《微积分基本定理》及其证明，帮助学生理解积分与极限的关系。

-《微积分原理》等书籍，了解微积分的发展历程和极限理论的重要性。

-《高等数学》教材中的拓展章节，深入探讨极限在各个数学领域的应用。

-实践活动：

-通过在线微积分实验室进行极限计算的实践，如使用Python编程语言中的极限计算库。

-参与数学建模竞赛，将极限理论应用于解决实际问题。

-设计实验，通过物理实验来验证极限理论在物理学中的应用。

-讨论与分析：

-组织学生讨论极限在现实生活中的应用，如金融市场中的风险评估。

-分析极限在不同学科中的应用案例，提高学生的跨学科思维能力。

-通过小组讨论，让学生探讨极限在不同数学问题中的解决方案。

-案例研究：

-研究著名的极限问题，如“0.999...=1”的证明，加深对极限概念的理解。

-分析经济学中的极限应用案例，如消费者剩余和生产者剩余的计算。

-通过工程案例，如桥梁设计的稳定性分析，展示极限在工程中的应用。教师随笔Xx教学评价与反馈1.课堂表现：通过观察学生的参与度和回答问题的准确性，评价学生对极限概念的理解和应用能力。学生能够清晰、准确地描述极限的定义，并能运用极限运算法则进行简单的计算，则表明学生对课堂内容的掌握较好。

2.小组讨论成果展示：评估学生在小组讨论中的表现，包括参与度、沟通能力、问题解决能力和团队协作精神。通过展示小组讨论的成果，如解决特定问题的方案或对复杂极限问题的讨论，可以评价学生的综合应用能力和团队合作效果。

3.随堂测试：设计随堂测试题，包括选择题、填空题和计算题，考察学生对极限概念的理解和计算能力。测试结果可以反映学生对关键知识点的掌握程度，以及是否能够将理论知识应用于实际问题。

4.课后作业完成情况：通过批改学生的课后作业，评估学生对课堂内容的巩固程度和自主学习能力。关注学生在作业中遇到的问题，以及他们解决问题的方法和策略。

5.教师评价与反馈：针对学生在课堂上的表现和作业完成情况，教师应给予及时的反馈。对于表现优秀的学生，给予肯定和鼓励；对于遇到困难的学生，提供个别辅导和针对性的指导，帮助他们克服学习障碍。同时，教师应鼓励学生自我反思，提出改进建议，促进学生的自我提升。板书设计①极限的概念

-极限的定义：$\lim_{x\toa}f(x)=L$

-极限存在的条件：存在唯一性、有界性、保号性

-极限的符号表示：$\lim$,$\to$,$=$,$L$

②极限的运算法则

-加法法则：$\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\toa}f(x)+\lim_{x\toa}g(x)$

-减法法则：$\lim_{x\toa}[f(x)-g(x)]=\lim_{x\toa}f(x)-\lim_{x\toa}g(x)$

-乘法法则：$\lim_{x\toa}[f(x)\cdotg(x)]=\lim_{x\toa}f(x)\cdot\lim_{x\toa}g(x)$

-除法法则：$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\toa}f(x)}{\lim_{x\toa}g(x)}$，当$\lim_{x\toa}g(x)\neq0$

③重要极限公式

-$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$

-$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$

-$\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}$

④极限的求法

-极限的直接求法：直接代入求极限

-极限的夹逼求法：利用夹逼定理求极限

-极限的洛必达法则：当$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型极限时，求导后再次求极限

-极限的等价无穷小替换：利用等价无穷小替换简化极限计算教学反思与总结这节课下来，我觉得有几个地方做得还不错，但也有些地方需要改进。

首先，我觉得课堂上的互动挺不错的。学生们在讨论极限的概念和运算法则时，都很积极，提问和回答问题都很踊跃。我注意到，对于那些不太容易理解的概念，学生们通过小组讨论的方式，能够更好地掌握。这说明我在教学过程中，注重培养学生的合作学习能力和问题解决能力是有效的。

然后，我在讲解极限的求法时，通过一些实例让学生亲自计算，这样的实践教学效果很好。比如，在讲解洛必达法则时，我让学生自己尝试求一个$\frac{0}{0}$型极限，结果他们很快就找到了解题的方法。这说明，通过实际操作，学生能够更好地理解抽象的数学概念。

不过，也有一些地方我觉得做得不够好。比如，在讲解极限的定义时，我发现有几个学