2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册+课件+第四章++章末总结

章末总结网络构建·归纳整合题型归纳·素养提升题型一指数与对数运算(1)指数与对数的运算应遵循的原则①指数式的运算:注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算.另外,若出现分式,则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的.②对数式的运算:注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,一般本着真数化简的原则进行.(2)底数相同的对数式化简的两种基本方法①“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.②“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差).C64题型二指数、对数函数的图象问题BB(3)若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(x)=loga|x+k|的大致图象是(

)B解析:(3)因为函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,a≠1)在R上是奇函数,所以f(0)=0,所以k=2,经检验,k=2满足题意,又因为f(x)为减函数,所以0<a<1,则g(x)=loga|x+2|(0<a<1),由g(-4-x)=loga|-4-x+2|=loga|x+2|=g(x),可知g(x)的图象关于直线x=-2轴对称,排除选项C,D;又g(0)=loga|0+2|=loga2<0,可知选项A错误.所以g(x)的大致图象为B.故选B.D函数图象的画法画法应用范围画法技巧基本函数法基本初等函数利用一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的有关知识,画出特殊点(线),直接根据函数的图象特征作出图象变换法与基本初等函数有关联的函数弄清所给函数与基本初等函数的关系,恰当选择平移、对称等变换方法,由基本初等函数图象变换得到函数图象描点法未知函数或较复杂的函数列表、描点、连线跟踪训练2:(1)函数y=2log4(1-x)的图象大致是(

)解析:(1)法一当x=0时,y=0,故可排除选项A,由1-x>0,得x<1,即函数的定义域为(-∞,1),排除选项B,又易知函数在其定义域上是减函数.故选C.C法二函数y=2log4(1-x)的图象可认为是由y=log4x的图象经过如下步骤变换得到的:①函数y=log4x的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,得到函数y=2log4x的图象;②把函数y=2log4x的图象关于y轴对称得到函数y=2·log4(-x)的图象;③把函数y=2log4(-x)的图象向右平移1个单位,即可得到y=2log4(1-x)的图象.故选C.B题型三比较大小问题[例3](1)(2023·天津卷)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为(

)A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>c解析:(1)由y=1.01x在R上递增,则a=1.010.5<b=1.010.6,由y=x0.5在[0,+∞)上递增,则a=1.010.5>c=0.60.5,所以b>a>c.故选D.D(2)(2022·全国甲卷)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则(

)A.a>0>b B.a>b>0C.b>a>0 D.b>0>aA(3)(2025·全国Ⅰ卷)若实数x,y,z满足2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能是(

)A.x>y>z B.x>z>yC.y>x>z D.y>z>x解析:(3)设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m.令m=2,则x=1,y=3-1=,z=5-3=,此时x>y>z,A有可能;令m=5,则x=8,y=9,z=1,此时y>x>z,C有可能;令m=8,则x=26=64,y=35=243,z=53=125,此时y>z>x,D有可能.故选B.BA(1)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.(2)比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为“小于0”“大于或等于0且小于或等于1”“大于1”三部分,再在各部分内利用函数的性质比较大小.跟踪训练3:(1)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为(

)A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<bA(2)若2a+log2a=4b+2log4b,则(

)A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b2解析:(2)法一令f(x)=2x+log2x,因为y=2x在(0,+∞)上单调递增,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=2x+log2x在(0,+∞)上单调递增.又2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b<22b+log2(2b),所以f(a)<f(2b),所以a<2b.故选B.B法二

(取特值法)由2a+log2a=4b+2log4b=4b+log2b,取b=1,得2a+log2a=4,令f(x)=2x+log2x-4,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)<0,f(2)>0,所以f(1)f(2)<0,f(x)=2x+log2x-4在(0,+∞)上存在唯一的零点,所以1<a<2,故a>2b=2,a<b2都不成立,排除A,D;取b=2,得2a+log2a=17,令g(x)=2x+log2x-17,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(3)<0,g(4)>0,所以g(3)g(4)<0,g(x)=2x+log2x-17在(0,+∞)上存在唯一的零点,所以3<a<4,故a>b2=4不成立,排除C.故选B.[例4](1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是(

)A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)题型四指数函数、对数函数的性质问题DBDBC(1)研究函数的性质要树立定义域优先的原则.(2)换元法的作用是利用整体代换,将问题转化为常见问题,本章中,常设u=logax或u=ax,转化为一元二次方程、二次函数等问题.要注意换元后的取值范围.跟踪训练4:设函数f(x)=ln(2+x)-ln(2-x),则f(x)是(

)A.奇函数,且在(0,2)上单调递增B.奇函数,且在(0,2)上单调递减C.偶函数,且在(0,2)上单调递增D.偶函数,且在(0,2)上单调递减A题型五函数的零点与方程的解C2

②当x>0时,由f(x)=0,得2x-6+lnx=0,即lnx=6-2x.如图,分别作出函数y=lnx和y=6-2x的图象.显然,由图可知,两函数图象只有一个交点,且在y轴的右侧,故当x>0时,f(x)=0只有一个解.综上,函数f(x)共有2个零点.(3,+∞)解析:(3)如图,当x≤m时,f(x)=|x|.当x>m时,f(x)=x2-2mx+4m,在(m,+∞)上为增函数.若存在实数b,使方程f(x)=b有三个不同的根,则m2-2m·m+4m<|m|.因为m>0,所以m2-3m>0,解得m>3.函数的零点及判断个数的方法(1)函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(2)确定函数零点的个数有两个基本方法:一是利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断,二是判断区间(a,b)上是否有零点,可应用f(a)·f(b)与0的关系判断.提醒:函数的零点是一个实数而非一个点,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象交点的横坐标.C(0,1)题型六函数模型的应用(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本);(2)要使工厂有盈利,求产量x的取值范围;解析:(2)①当0≤x≤5时,由-0.4x2+3.2x-2.8>0得x2-8x+7<0,解得1<x<7,所以1<x≤5.②当x>5时,由8.2-x>0,得x<8.2,所以5<x<8.2.综上,当1<x<8.2时,有y>0,即当产量x大于100台,小于820台时,能使工厂有盈利.(3)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多?解析:(3)当0≤x≤5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,当x=4时,f(x)有最大值为3.6;当x>5时,因为函数f(x)单调递减,所以f(x)<f(5)=3.2(万元).综上可得,当工厂生产400台产品时,可使盈利最多,为3.6万元.(1)建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤①对实际问题进行抽象概括,确定变量之间的主被动关系,并用x,y分别表示.②建立函数模型,将变量y表示