函数的应用（一）++2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修+第一册

3.4函数的应用（一）新课程标准解读核心素养1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律

的重要数学语言和工具数学抽象、数学建模2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实

问题的变化规律数学建模、数学运算目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习

必备知识梳理

随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.

下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：年份202120222023销量/万辆81830

结合以上三年的销量及人们生活的需要，2024年初，该汽车销售

公司的经理提出全年预售43万辆汽车的目标.【问题】

（1）在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用

什么方式获取直观信息？（2）你认为该目标能够实现吗？⁠

知识点

常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型

f

（

x

）＝

ax

＋

b

（

a

，

b

为常数，

a

≠0）二次函数模型

f

（

x

）＝

ax2＋

bx

＋

c

（

a

，

b

，

c

为常数，

a

≠0）分段函数模型幂函数模型

f

（

x

）＝

axα＋

b

（

a

，

b

，α为常数，

a

≠0）

1.

某公司市场营销人员的个人月收入

y

与其每月的销售量

x

呈一次函

数关系，其图象如图所示.由图中给出的信息可知，营销人员没有

销售量时的收入是（

）A.3

100元B.3

000元C.2

900元D.2

800元

2.

一个矩形的周长是40，矩形的长

y

关于宽

x

的函数解析式为

（

）A.

y

＝20－

x

（0＜

x

＜10）B.

y

＝20－2

x

（0＜

x

＜20）C.

y

＝40－

x

（0＜

x

＜10）D.

y

＝40－2

x

（0＜

x

＜20）解析：

由题意可知2

y

＋2

x

＝40，即

y

＝20－

x

，又20－

x

＞

x

，

所以0＜

x

＜10.故选A.

3.

（多选）（2024·淄博月考）一水池有两个进水口，一个出水口，

每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点，该水池

的蓄水量如图丙所示.给出以下4个论断则一定正确的是（

）A.0点到3点只进水不出水B.3点到4点不进水只出水C.3点到4点总蓄水量降低D.4点到6点不进水不出水

典型例题·精研析02课堂互动关键能力提升

题型一一次函数模型的应用【例1】

某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价

格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.

在一个月（以30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每

天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报

刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得利润最

大，每月最多可获利多少元？解：设每天从报社买进

x

（250≤

x

≤400）份报纸；每月所获利润

是

y

元，则每月售出报纸共（20

x

＋10×250）份；每月退回报社

报纸共10×（

x

－250）份.依题意得

y

＝（0.40－0.24）×（20

x

＋10×250）－（0.24－

0.08）×10（

x

－250）.即

y

＝0.16（20

x

＋2

500）－0.16（10

x

－2

500），化简得

y

＝1.6

x

＋800（250≤

x

≤400）.∵此一次函数（

y

＝

kx

＋

b

，

k

≠0）的

k

＝1.6＞0，∴

y

是一个增函数，再由250≤

x

≤400知当

x

＝400时，

y

取得最

大值，此时

y

＝1.6×400＋800＝1

440（元）.∴每天从报社买进400份报纸时所获利润最大，每月最多可获利1

440元.通性通法利用一次函数模型解决实际问题的2个注意点（1）待定系数法是求一次函数解析式的常用方法；（2）当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负

时，一次函数为减函数.【跟踪训练】

商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该

商店现推出两种优惠活动：（1）买一只茶壶赠送一只茶杯；解：设优惠活动（1），（2）按购买总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只），若购买

x

只

茶杯时总付款为

y

元，试分别建立两种优惠活动中

y

与

x

之间的

函数解析式，并指出如果该顾客需购买茶杯40只，应选择哪种

优惠活动？解：设优惠活动（2）对应的付款分别为

y1元，

y2元.由优惠活动（1）得函数解析式为

y1＝20×4＋5（

x

－4）＝5

x

＋

60（

x

≥4，

x

∈N*）.由优惠活动（2）得函数解析式为

y2＝（20×4＋5

x

）×92%＝

4.6

x

＋73.6（

x

≥4，

x

∈N*）.当该顾客购买茶杯40只时，采用优惠活动（1）应付款

y1＝

5×40＋60＝260（元）；采用优惠活动（2）应付款

y2＝

4.6×40＋73.6＝257.6（元）.由于

y2＜

y1，故应选择优惠活动

（2）.题型二二次函数模型的应用【例2】

十一长假期间，某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房

间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每

增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每

天支出20元的各种费用（人工费，消耗费用等等）.受市场调控，每

个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间每天的房价增加

x

元（

x

≥0且

x

为10的整数倍）.（1）设一天订住的房间数为

y

，直接写出

y

与

x

的函数解析式及自变

量

x

的取值范围；

（2）设宾馆一天的利润为

W

元，求

W

与

x

的函数解析式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆每天的利润最大？最大利润是多

少元？

通性通法构建函数模型解决实际问题的策略（1）“求什么”就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务，通常

表现为求函数值；（2）“设什么”就是弄清楚这个问题中有哪些变化因素，找出变化

的根源，通常设变化的根源为自变量；（3）“列什么”就是从函数值出发逐步应用公式，用自变量与已知

量表示函数值，直至求出函数解析式；（4）“限制什么”就是指自变量应满足的限制条件，不仅要考虑自

变量是否有意义，还要考虑用自变量表示的其他所有量是否有

意义，另外还要考虑变量的实际含义，如整数解等.【跟踪训练】

某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不低于50

元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均

每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.（1）求平均每天的销售量

y

（箱）与销售单价

x

（元）之间的函数解

析式；解：

根据题意，得

y

＝90－3（

x

－50），化简得

y

＝－3

x

＋240（50≤

x

≤55，

x

∈N）.（2）求该批发商平均每天的销售利润

w

（元）与销售单价

x

（元）之

间的函数解析式；解：

因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售

量×每箱销售利润，所以

w

＝（－3

x

＋240）（

x

－40）＝－3

x2

＋360

x

－9

600（50≤

x

≤55，

x

∈N）.（3）当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大

利润是多少？解：

因为

w

＝－3

x2＋360

x

－9

600＝－3（

x

－60）2＋1

200，所以当

x

＜60时，

w

随

x

的增大而增大.又50≤

x

≤55，

x

∈N，所以当

x

＝55时，

w

有最大值，最大值为1

125.所以当每箱苹果的售价为55元时，每天可以获得最大利润，最

大利润是1

125元.题型三分段函数模型的应用

（1）求年利润

y

（万元）关于年产量

x

（台）的函数解析式；

（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利

润最大？并求出这个最大利润.

通性通法应用分段函数时的三个注意点（1）分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏（关键词：

“段”）；（2）分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集（关键

词：定义域）；（3）分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论

（关键词：值域）.【跟踪训练】

某市自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4

t时，每吨3

元，当用水量超过4

t时，超过部分每吨4元.现甲、乙两户共交水费

y

元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5

x

t，3

x

t.（1）求

y

关于

x

的函数关系式；

（2）若甲、乙两户该月共交水费40元，分别求出甲、乙两户该月的

用水量和水费.

题型四幂函数模型的应用【例4】

某家庭进行理财投资，根据市场长期收益率预测，投资债

券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收

益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分

别为0.125万元和0.5万元（如图）.（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；

（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金

能使投资获得最大收益？其最大收益是多少万元？

通性通法幂函数模型应用的求解策略（1）给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函

数关系式；（2）根据题意，直接列出相应的函数关系式.【跟踪训练】某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入

x

（万元）与药

品利润

y

（万元）存在的关系为

y

＝

xa

（

a

为常数），其中

x

不超过5

万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年

投入广告费用5万元，预计今年药品利润为

万元.解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入

y

＝

xa

中，得3

a

＝27，解得

a

＝3，故函数解析式为

y

＝

x3.所以当

x

＝5

时，

y

＝125.125

1.

一根蜡烛长20

cm，点燃后每小时燃烧5

cm，燃烧时剩下的高度

h

（cm）与燃烧时间

t

（h）的函数关系用图象表示为图中的

（

）解析：

由题意

h

＝20－5

t

，0≤

t

≤4.结合图象知应选B.

2.

随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下

降，且含氧量

y

（g/m3）与大气压强

x

（kPa）成正比例函数关系.

当

x

＝36

kPa时，

y

＝108

g/m3，则

y

与

x

的函数解析式为（

）A.

y

＝3

x

（

x

≥0）B.

y

＝3

x

解析：

由题意设

y

＝

kx

（

k

≠0），将（36，108）代入解析式

可得

k

＝3，故

y

＝3

x

，考虑到含氧量不可能为负，可知

x

≥0.

2

500

知能演练·扣课标03课后巩固核心素养落地

1.

北京某快递公司邮寄重量在1

000克以内的包裹的费用标准如下表：运送距离

x

（km）0＜

x

≤500500＜

x

≤1

0001

000＜

x

≤1

5001

500＜

x

≤2

000…邮费

y

（元）5.006.007.008.00…如果某人在北京通过该快递公司邮寄900克的包裹到距该快递公司1

300

km的某地，那么他应付的邮费是（

）A.5.00元B.6.00元C.7.00元D.8.00元12345678910111213141516

123456789101112131415162.

一定范围内，某种产品的购买量

y

与单价

x

之间满足一次函数关系.

如果购买1

000吨，则每吨800元，购买2

000吨，则每吨700元，那

么一客户购买400吨，其价格为每吨（

）A.820元B.840元C.860元D.880元解析：

设

y

＝

kx

＋

b

（

k

≠0），则1

000＝800

k

＋

b

，且2

000＝

700

k

＋

b

，解得

k

＝－10，

b

＝9

000，则

y

＝－10

x

＋9

000.解400

＝－10

x

＋9

000，得

x

＝860（元）.123456789101112131415163.

（多选）已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加

工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法正确的是（

）A