数列的递推公式和函数特性-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.1数列的概念(第2课时)数列的递推公式和函数特性要点1数列的单调性与函数类似，我们可以定义数列的单调性．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列．特别地，各项都相等的数列叫做常数列．要点2数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用_________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．一个式子要点3

an与Sn的关系(1)把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝_________________．a1＋a2＋…＋an1．类比函数单调性的证明方法，如何判定数列的单调性？答：(1)作差比较法：①若an＋1－an>0恒成立，则数列{an}是递增数列；②若an＋1－an<0恒成立，则数列{an}是递减数列．(2)作商比较法：(3)函数法：将通项公式转化为函数的形式，通过判断函数的单调性来确定数列的单调性．2．如果已知数列{an}的前n项和Sn，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？答：确定了，理由如下：已知数列{an}的前n项和为Sn，则an与Sn之间的关系如下：当n＝1时，S1＝a1；当n≥2时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，

①Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1，

②①－②，得Sn－Sn－1＝an.此公式建立了an与前n项和Sn的等量关系，是用Sn的递推公式给出的．使用此公式求解时，要注意此公式是一个分段的形式，当n≥2时，Sn－Sn－1＝an，是一个递推公式，由它推得的an不含第一项a1，所以在求通项公式时，所得的通项公式能否包含a1，必须对其检验.课时学案题型一

数列的递推公式

例

(2)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．【解析】∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.(3)用火柴棒按下图的方法搭三角形：

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是____________．an＝2n＋1

探究1根据首项及递推公式写出数列的前几项，然后归纳、猜想其通项公式，是本节课的重点，必须熟练掌握．√至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列．而2026＝675×3＋1，故a2026＝a1＝2.【讲评】本题体现了数列的周期性．(2)已知数列{an}的递推公式为an＋1＝2an＋1，且a1＝1.试写出数列{an}的前四项，并尝试归纳出数列{an}的通项公式．【解析】a1＝1＝2－1，a2＝2×1＋1＝3＝22－1，a3＝2×3＋1＝7＝23－1，a4＝2×7＋1＝15＝24－1，由此可归纳得an＝2n－1.题型二

an与Sn的关系

例

2已知下面各数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n＋1；【解析】(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1；当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3.(2)Sn＝n2＋n.【解析】(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n.当n＝1时，a1＝S1＝12＋1＝2＝2×1，即a1满足an＝2n.∴an＝2n(n∈N*)．

探究2思考题2

(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________________．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2×3n－1.而2×31－1＝2＝a1，故数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1.2×3n－1题型三

数列的单调性及最大(小)项问题

例3已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－n(n∈N*)，判断该数列的单调性．【解析】方法一：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2>0(n∈N*)，即an＋1>an，故数列{an}是递增数列．方法二：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，

探究3判断数列是递增数列或递减数列，关键就是比较an＋1，an的大小．(2)若数列{an}为递增数列，且an＝n2＋λn(n∈N*)，则实数λ应满足什么条件？【解析】因为{an}为递增数列，所以an＋1>an.即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn.则λ>－2n－1.又n∈N*，故λ>－3.

例

9或10

探究4求数列最大(小)项的方法：(1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项．【思路分析】借助数列的单调性求解．5易知当n＞5时，an＞0，且{an}为递减数列，当n≤5时，an＜0，且{an}为递减数列，∴当n＝5时，an最小．课后巩固√A．递减数列 B．摆动数列C．递增数列 D．常数列√3．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(

)A．an＋1＝an＋n，n∈N*，n≥2B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2√解析由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，n∈N*，n≥2.4．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年树的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为________．55解析因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以前10年树的分枝数分别为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即第10年树的分枝数为55.5．若数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋10n，求数列{an}的通项公式．解析因为Sn＝－2n2＋10n，所以Sn－1＝－2(n－1)2＋10(n－1)，n≥2，所以an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋10n＋2(n－1)2－10(n－1)＝－4n＋12(n≥2)．当n＝1时，a1＝－2＋10＝8＝－4×1＋12，符合上式，所以an＝12－4n.自助餐(一)数列的周期性定义：对于数列{an}，如果存在一个正常数T，使得对任意的正整数i恒有ai＝ai＋T成立，则称数列{an}是周期为T的周期数列．√

例

A．－2

B．－1C．2 D．1(2)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则a2026等于(

)A．－2

B．－1C．1 D．2√【解析】a3＝1－a1－a2＝－2，a4＝1－a2－a3＝1，a5＝1－a3－a4＝2，…，可知{an}的周期为3.∵2026＝675×3＋1，∴a2026＝a1＝1.(2)数列{an}中，a1＝2，a2＝4，an－1an＋1＝an(n≥2)，则a2026＝(

)√(二)由数列的递推公式求通项公式√

例

A．2＋lnn

B．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnn D．1＋n＋lnna1＝2，a2－a1＝ln2，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，…，an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2)，以上各式相加得an＝2＋ln2＋(ln3－ln2)＋…＋[lnn－ln(n－1)]．所以an＝2＋lnn(n≥2)．因为a1＝2也适合上式，所以an＝2＋lnn.(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．又a1＝1，∴an＝n(n≥2)．∵a1＝1也适合上式，∴an＝n.

探究常见的递推关系类型及解题方法：(1)an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法．(2)an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)≠0且可以求积)，使用累乘法或迭代法．思考题2

(1)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋2，求{an}的通项公式．【解析】由an＋1＝an＋2，得an＋1－a