直线的方程（第一课时）-2026-2027学年高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修第一册

人教B版(2019)选择性必修第一册2.2.2直线的方程（第一课时）第二章平面解析几何学习目标结合具体实例，理解直线的方程和方程的直线的概念，体现逻辑推理能力（重点）会求直线的点斜式方程和斜截式方程，体现数学计算能力（重难点）新课导入爬山、走斜坡的时候，会直观感受到坡面有的平缓、有的陡峭.在平面直角坐标系中，直线的陡峭程度我们用斜率来表示，那么如果我只知道一条直线的斜率，能不能唯一确定这条直线？如果既知道直线的斜率，又知道这条直线经过的一个固定点，此时能不能唯一确定一条直线？新课学习尝试与发现：设l1，l2是平面直角坐标系中的直线，分别判断满足下列条件的l1，l2是否唯一.如果唯一，作出相应的直线，并思考直线上任意一点的坐标(x，y)应满足什么条件.(1)已知l1的斜率不存在；满足条件(1)的直线l1有无数条.(2)已知l1的斜率不存在且l1过点A(-2，1).满足条件(2)的直线l1是唯一的，如图所示.新课学习满足条件(3)的直线l2，只要倾斜角为60°即可，因此l2也有无数条.满足条件(4)的直线l2是唯一的，如图所示.新课学习容易验证，B(1,2)的坐标也能使上式成立，因此直线l2上的点都使得上式成立；新课学习思考一下：通过尝试与发现的4个条件得到的直线方程，你可以得到什么结论？新课学习直线的方程的概念一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解，而且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x,y)=0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x,y)=0的直线.“直线l”也可说成“直线F(x,y)=0”，并且记作l：F(x,y)=0.新课学习思考一下：根据上面的定义，如何判定一个点是否在直线上？新课学习点斜式方程在平面直角坐标系中，已知P0(x0,y0)是直线l上一点：1.如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=x0.y−y0=k(x−x0)，而且P0(x0,y0)的坐标也能使上式成立.新课学习点斜式方程新课学习点斜式方程直线的点斜式方程还可以用方向向量来得到：如果已知P0(x0,y0)是直线l上一点，而且l的斜率为k，则直线的一个方向向量为a=(1,k)；y−y0=k(x−x0).新课学习例1：已知直线l经过点P，且l的斜率为k，分别根据下列条件求直线l的方程：(1)P(0,3)，k=2；根据已知可得直线l的点斜式方程为y−3=2×(x−0)，化简得y=2x+3.新课学习例1：已知直线l经过点P，且l的斜率为k，分别根据下列条件求直线l的方程：(2)P(1,0)，k=-3.根据已知可得直线l的点斜式方程为y−0=(−3)×(x−1)，化简得y=−3x+3.例1说明，在直线的点斜式方程中，如果已知的点是坐标轴上的点，则点斜式方程可以方便地化为y=kx+b

的形式.新课学习直线的截距的定义一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0,b)，则称l在y轴上的截距为b

.一条直线在y轴上的截距简称为截距.新课学习斜截式方程的定义已知直线的斜率为k，截距为b，则意味着这条直线过点(0,b)，从而可知直线的方程为y−b=k(x−0)，化简可得y=kx+b.方程y=kx+b由直线的斜率和截距确定，因此通常称为直线的斜截式方程.新课学习思考一下：根据斜截式方程和两点，如何求出直线的斜率和截距？从直线的斜截式方程y=kx+b，可以方便地看出直线的斜率k和截距b.事实上，此时若(x1,y1)，(x2,y2)是直线上两个不同的点，则第二式减去第一式可得y2−y1=k(x2−x1)，因此当x2−x1≠0时有从而k就是直线的斜率.在方程y=kx+b中，令x=0得y=b，因此直线与y轴的交点为(0,b)，这就是说，b为直线的截距（即直线在y轴上的截距）.新课学习注意：平面直角坐标系中的直线方程，要么写成x=x0的形式，要么写成y=kx+b的形式，正因为如此，在求直线的方程时，如果直线的斜率存在，最后总将直线的方程写成斜截式的形式.新课学习想一想：直线的斜截式方程与一次函数有什么联系与区别？斜截式方程一次函数关系Oxy(0，b)lOxy(0，b)y=kx+b直线方程：y=kx+b函数解析式：y=kx+bb：截距b：函数与y

轴的交点的纵坐标新课学习例2：已知直线l经过点P(−2,3)，且l的倾斜角为45∘，求直线l的方程，并求直线l的截距.因为直线l的斜率k=tan45∘=1，所以可知直线l的方程为y−3=1×[x−(−2)]