2025-2026学年宁夏银川市永宁中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年宁夏银川市永宁中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知复数z满足（1-2i）z=3+i,则|z|=（）A.1 B. C.2 D.2.已知向量，满足，，则=（）A. B. C. D.3.如图，在△ABC中，，设，，则（）A.

B.

C.

D.4.如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（）

A. B. C. D.5.在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8名同学的第一个解答题的得分，得分为：10，5，7，8，7，10，4，2，这组数据的第75百分位数是（）A.6.5 B.8 C.8.5 D.96.已知m,n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（）A.若α⊥β，m∥α，则m∥β B.若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ

C.若m∥α，n∥α，则m∥n D.若m⊥α，m⊥β，则α∥β7.已知一个正方体的各个顶点都在球面上，若球的体积为，则这个正方体的棱长是（）A. B. C. D.8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为B1C1中点，则异面直线BA1与CE所成角的余弦值为（）A.

B.

C.

D.

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（）A.至少一个红球；都是白球 B.恰有一个红球；恰有一个白球

C.至少有一个红球；至多有一个白球 D.至多一个红球；都是红球10.已知平面向量，，则下列说法正确的有（）A.

B.与的夹角为90°

C.在方向上的投影向量为（0，0）

D.若向量满足，则=（5，0）11.某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为172和12.抽取了女生30人，其平均数和方差分别为162和24.由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差s2分别是（）A. B.=167 C.s2=43.2 D.s2=45.2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某中学高一年级有1100人，高二年级有1000人，高三年级有900人.现用分层随机抽样方法从三个年级中抽取150人，则抽取的高一年级学生的人数比抽取得高三年级学生人数多

人.13.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，若二面角C-AB-C1的大小为60°，则棱CC1的长为

.

14.紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点B，C，D，点B作为测量基点，设大厦主体的最高点为A（AB与水平面垂直），在点C和点D处测得点A处的仰角分别为60°和45°，测得∠DBC=30°，CD=225米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为

米（精确到整数位）（）.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量，.

（1）求与夹角的余弦值；

（2）若，求k.16.(本小题15分)

2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识，某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分为5组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中a的值及100名学生这次竞赛成绩的众数；

（2）估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数.17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=2BC，PA=AD=AB=2，E为PD的中点.

（1）求棱锥P-ABCD的体积；

（2）求证：EC∥平面PAB.18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若acosB+bcosA=2ccosA.

（1）求A的大小；

（2）若a=7，b+c=13，求△ABC的面积.19.(本小题17分)

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点.

（1）求证：DE⊥平面PCB；

（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；

（3）求直线PA与平面PBD所成角的大小.

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】BC

11.【答案】AC

12.【答案】10

13.【答案】3

14.【答案】389

15.【答案】

16.【答案】0.01；85

中位数为78，平均数为76.5

17.【答案】2

证明：如图，取PA中点F，连接EF，BF，

又E为PD中点，所以EF平行且等于AD的一半，

又BC平行且等于AD的一半，

所以EF平行且等于BC，

所以四边形BCEF为平行四边形，

所以EC∥FB，又EC⊄平面PAB，FB⊂平面PAB，

所以EC∥平面PAB

18.【答案】；

．

19.【答案】证明：因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥CD，

又PD⊥平面ABCD，BC，CD⊂平面ABCD，

所以PD⊥BC，PD⊥CD，

因为PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PDC．，

所以BC⊥平面PDC，又DE⊂平面PDC，

所以BC⊥DE，

在Rt△PDC中，因为E为PC中点，则DE⊥PC，

因为PC∩BC=C，PC，BC⊂平面PCB，

所以D