初中数学九年级上册圆（基础篇）知识清单

初中数学九年级上册圆（基础篇）知识清单一、圆的定义与基本概念（一）圆的定义（【核心概念】【基础】）在平面内，把线段OP绕着端点O旋转一周，端点P运动所形成的图形叫做圆。其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合。这里定点是圆心，定长是半径长。确定一个圆需要两个要素：圆心和半径。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。（二）圆的表示方法以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。（三）圆的有关概念（【重要基础】）1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。如线段AC。2、直径：经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最长的弦。3、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作“AB̂”，读作“弧AB”。4、半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。5、优弧与劣弧：大于半圆的弧叫做优弧（通常用三个点表示，如“ACB̂”）；小于半圆的弧叫做劣弧（通常用两个点表示，如“AB̂”）。6、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。半径相等的两个圆是等圆。同圆或等圆的半径相等。7、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧不仅长度相等，所对的圆心角也相等。8、同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。（四）点与圆的位置关系（【高频考点】）设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为OP=d，则有：1、点P在圆内⇔d<r；2、点P在圆上⇔d=r；3、点P在圆外⇔d>r。这是圆这部分知识中最基础的定量分析工具，几乎所有与圆相关的动态问题或存在性问题，最终都会回归到半径与距离的数量关系比较上。判断点与圆的位置关系，是后续学习直线与圆、圆与圆位置关系的基础。二、圆的对称性（一）圆是中心对称图形（【重要性质】）1、中心对称：圆是中心对称图形，对称中心是圆心。2、圆心角、弧、弦之间的关系定理（【重中之重】【高频考点】）：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。3、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。★特别提醒：定理及推论成立的前提条件是“在同圆或等圆中”。若无此前提，结论不一定成立。例如，两个半径不同的圆中，相等的圆心角所对的弧长是不相等的。4、圆心角度数：圆心角的度数等于它所对弧的度数。（二）圆是轴对称图形（【重要性质】）1、轴对称：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。也就是说，圆有无数条对称轴。2、垂径定理（【重中之重】【高频考点】【难点】）：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。3、垂径定理的几何语言描述：如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点M。则有：（1）AM=BM（点M是弦AB的中点）；（2）AĈ=BĈ（直径CD平分弦AB所对的优弧）；（3）AD̂=BD̂（直径CD平分弦AB所对的劣弧）。4、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。▲易错点：推论中，被平分的弦“不是直径”，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直。5、垂径定理的应用模型：垂径定理是解决圆中有关弦长、半径、弦心距、拱高（弓形高）等问题的最重要工具。其基本图形由半径（R）、弦长的一半（a/2）、弦心距（d）构成一个直角三角形，满足勾股定理：R²=(a/2)²+d²其中，弦心距是指圆心到弦的距离。弓形高（弧的中点到弦的距离）h=Rd（对于劣弧）或h=R+d（对于优弧）。6、常考题型：（1）已知半径、弦长，求弦心距或弓形高；（2）已知半径、弦心距，求弦长；（3）已知弦长、弓形高，求半径；（4）在实际问题中（如圆弧形拱桥、输油管道截面）建立数学模型，利用垂径定理和勾股定理求解未知量。【解题步骤】解决垂径定理相关问题的一般步骤：（1）作辅助线：过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦的一个端点（即作半径）；（2）构造直角三角形：由半径、半弦长、弦心距构成直角三角形；（3）设未知数，根据勾股定理列方程求解。三、确定圆的条件（一）确定一个圆的条件（【基础】）1、已知圆心和半径可以确定一个圆。2、不在同一直线上的三个点可以确定一个圆。（二）三角形的外接圆（【重要概念】【高频考点】）1、定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。这个三角形叫做圆的内接三角形。2、外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。3、外心的性质：（1）外心到三角形三个顶点的距离相等，即等于外接圆的半径（OA=OB=OC=R）。（2）锐角三角形的外心在三角形内部；（3）直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆半径R=斜边/2；（4）钝角三角形的外心在三角形外部。▲易错点：三角形的外心是各边垂直平分线的交点，而非角平分线的交点（内心才是角平分线的交点）。4、三角形外接圆半径的求法：（1）对于直角三角形，直接利用“R=斜边/2”求解。（2）对于一般三角形（非直角三角形），常利用垂径定理构造直角三角形或利用正弦定理（高中知识，但部分拓展题会涉及思路）来求。常用方法是：过圆心作边的垂线，连接顶点和圆心，构造直角三角形，结合勾股定理或三角函数求解。例如，在△ABC中，已知∠A及其对边a，则2R=a/sinA。四、圆周角（一）圆周角的定义（【基础】）顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。▲易错点：判断一个角是否为圆周角，必须同时满足两个条件：①顶点在圆上；②两边都与圆相交。顶点在圆内或圆外的角都不是圆周角。（二）圆周角定理及其推论（【重中之重】【高频考点】【难点】）1、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。2、几何语言：如图，在⊙O中，∠ACB和∠AOB分别是AB̂所对的圆周角和圆心角，则∠ACB=1/2∠AOB。3、重要推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等。（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。（3）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等。【非常重要】“直径对直角”及其逆定理“90°的圆周角对直径”是圆中证明垂直关系和寻找直径、直角三角形的最常用工具。几乎在所有的几何综合题中，看到圆和直角，就要想到构造直径；看到直径，就要想到构造直角三角形。（三）圆周角定理的应用1、求角的大小：常利用圆周角与圆心角的关系，或同弧所对的圆周角相等，将未知角转化为已知角。2、证明角相等：利用等弧所对的圆周角相等，是证明两角相等的重要途径之一。3、证明线段相等：利用圆周角相等推出弧相等，进而推出弦相等。4、证明垂直：利用直径所对的圆周角是直角来证明。5、证明四点共圆：（1）定义法：若能证明一个点到某四个点的距离相等，则这四点共圆。（2）角度法：若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆（拓展知识，常作为解题思路）。（3）同侧角法：若两个点在一条线段的同侧，且它们对该线段所张的角相等，则这两个点与线段的两个端点共圆。（四）圆内接四边形（【重要】【高频考点】）1、定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。我们主要研究圆内接四边形。2、性质定理：圆内接四边形的对角互补。3、推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角（即与它相邻的内角的对角）。4、常考题型：利用圆内接四边形的性质，将圆外的角与圆内的角联系起来，或将四边形中分散的角集中起来求解。例如，已知圆内接四边形的一个外角为75°，则与其不相邻的内角为75°。五、直线与圆的位置关系（一）直线与圆的三种位置关系（【基础】）设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：1、直线l与⊙O相离⇔d>r；2、直线l与⊙O相切⇔d=r；3、直线l与⊙O相交⇔d<r。其中，相切是研究重点，此时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。（二）切线的判定与性质（【重中之重】【高频考点】【难点】）1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。【解题步骤】证明一条直线是圆的切线，通常有两种辅助线做法：（1）连半径，证垂直：如果已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得到半径，再设法证明这条半径与直线垂直。（2）作垂直，证半径：如果不明确直线是否经过圆上一点，则过圆心作直线的垂线段，再设法证明垂线段的长等于半径。2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。3、推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。4、推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。5、切线性质的应用：当题目中已知一条切线时，最常见的辅助线是连接切点和圆心，从而得到垂直关系，为后续证明角相等或计算线段长度提供条件。（三）切线长定理（【重要】【高频考点】）1、切线长定义：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。3、几何语言：如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，则有：（1）PA=PB；（2）PO平分∠APB。4、基本图形：由两条切线、两条半径、一条连心线（PO）构成的双垂直图形和等腰三角形（△PAB是等腰三角形）。常与角平分线、等腰三角形三线合一、全等三角形等知识结合考查。（四）三角形的内切圆（【重要】【高频考点】）1、定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。2、内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。3、内心的性质：（1）内心到三角形三边的距离相等，这个距离等于内切圆的半径r。（2）内心一定在三角形的内部。4、三角形内切圆半径的求法：（1）一般三角形：设三角形的面积为S，周长为C，内切圆半径为r，则有S=1/2Cr。这是一个非常重要的等面积法的应用。（2）直角三角形：设直角边为a、b，斜边为c，内切圆半径r=(a+bc)/2。5、【解题方法】涉及三角形内切圆的问题，常用两种思路：（1）面积法：利用“三角形面积=1/2×周长×内切圆半径”求解。（2）切线长定理法：利用从一点出发的切线长相等，将三角形的各边用含半径的式子表示，或建立方程求解。六、圆中的计算（一）正多边形与圆（【基础】【拓展】）1、正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形与圆的关系：把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；这个圆是这个正多边形的外接圆。过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。3、正多边形的相关概念：（1）中心：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心。（2）半径：正多边形外接圆的半径。（3）边心距：中心到正多边形一边的距离，即内切圆半径。（4）中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。正n边形的中心角=360°/n。4、正多边形的计算：通常将正多边形分割成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被分成两个全等的直角三角形（由半径、边心距、边长的一半构成），利用解直角三角形的方法进行计算。（二）弧长与扇形面积（【高频考点】）1、圆的周长：C=2πR。2、圆的面积：S=πR²。3、弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l=nπR/180▲易错点：公式中的n表示圆心角的度数，不带单位。计算时注意与半径单位的统一。4、扇形面积公式：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。（1）已知圆心角n°和半径R：S扇形=nπR²/360。（2）已知弧长l和半径R：S扇形=1/2lR。（类似于三角形的面积公式）5、弓形面积：由弦及其所对的弧所组成的图形叫做弓形。弓形面积的计算方法是：弓形面积=扇形面积±三角形面积。当弓形为劣弧弓形时，S弓形=S扇形S三角形；当弓形为优弧弓形时，S弓形=S扇形+S三角形。（三）圆锥的侧面展开图与侧面积（【高频考点】）1、圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线（l）。2、圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高（h）。3、圆锥的基本量关系：圆锥的底面半径r、高h、母线长l满足勾股定理：r²+h²=l²4、圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是一个扇形。（1）扇形的半径：等于圆锥的母线长l。（2）扇形的弧长：等于圆锥底面圆的周长C=2πr。5、圆锥的侧面积与全面积：（1）圆锥的侧面积公式：S侧=πrl。（即侧面展开扇形的面积=1/2×弧长×半径=1/2×2πr×l=πrl）（2）圆锥的全面积（或表面积）公式：S全=S侧+S底=πrl+πr²。▲【非常重要】圆锥的侧面展开图问题，关键是理解并建立“扇形的半径=圆锥母线长，扇形的弧长=圆锥底面圆周长”这两个等量关系。这是所有圆锥计算题的根本。在此基础上，可以求扇形的圆心角：设侧面展开图扇形的圆心角为n°，则由弧长公式l=nπR/180（此处R指母线长）与2πr相等，可得n=(r/l)×360°。七、圆中常见辅助线作法总结1、有关直径的问题：常作直径所对的圆周角，构造直角三角形。2、有关弦的问题：常作弦心距，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理。3、有关切线的问题：（1）已知切线，常连接切点和圆心，得到垂直。（2）要证切线，若直线过圆上一点，则“连半径，证垂直”；若不确定，则“作垂直，证半径”。4、有关三角形的外接圆问题：连接圆心与各顶点，或作边的垂直平分线找圆心。5、有关三角形的内切圆问题：连接内心与各顶点（得角平分线），或连接内心与切点（得垂直）。6、有关两圆相切的问题：常作两圆的公切线或连心线。7、有关两圆相交的问题：常作两圆的公共弦和连心线。八、考点、考向与易错点终极梳理（一）【高频考点】分布1、选择题、填空题：直接考查点与圆、直线与圆的位置关系判断；利用垂径定理求弦长、半径、弦心距；利用圆周角定理及其推论求角度；求弧长、扇形面积、圆锥侧面积。2、解答题（中等难度）：切线的判定与性质的综合应用；切线长定理的应用；圆与相似三角形、三角函数结合的计算与证明。3、解答题（压轴题）：圆与全等三角形、相似三角形、二次函数、动点问题的综合探究，常涉及分类讨论思想和数形结合思想。（二）【重要】解题方法与思想1、转化思想：将圆周