初中数学九年级《利用函数性质解面积最值问题》专题复习教学设计

初中数学九年级《利用函数性质解面积最值问题》专题复习教学设计

一、课标解读与考情分析

【重要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第四学段（7-9年级）对函数部分提出了明确要求：能用二次函数表达式，借助图像描述并解决实际问题，体会二次函数模型的意义和函数思想。对于几何图形，要求能计算基本图形的面积，并能运用图形运动、相似等知识解决复杂图形中的度量问题。将函数与面积结合，正是对上述核心素养“会用数学的思维思考现实世界”、“会用数学的语言表达现实世界”的综合考查。这类问题通常作为压轴题出现，旨在考查学生的数形结合思想、转化思想、模型思想以及综合分析问题的能力。

【高频考点】【非常重要】陕西中考近五年压轴题中，二次函数背景下求面积最值、面积倍数关系、面积等分线等问题是绝对的考查热点。命题往往以抛物线为背景，融合三角形、四边形等几何元素，通过点的运动或图形变换，探究图形面积的变化规律与最值情况。本专题聚焦“利用函数性质解决面积问题”，正是紧扣这一核心命题方向，通过系统探究，帮助学生突破难点，掌握通性通法。

二、教学目标与核心素养

1.知识与技能目标：【基础】学生能熟练写出三角形、四边形面积公式；能根据已知条件，建立几何图形面积与变量之间的函数关系式；掌握利用二次函数顶点坐标、增减性求面积最值的基本方法。

2.过程与方法目标：【重要】通过由浅入深的问题探究，引导学生经历“分析图形—确定变量—建立模型—求解验证”的完整过程，体会并掌握“铅垂法”、“切线法”、“平移法”等解决函数背景下面积问题的常用策略，深化数形结合与转化思想。

3.情感态度与价值观目标：在解决具有挑战性的综合题过程中，培养学生不畏困难、严谨求实的科学态度，提升几何直观和数学运算的自信，感受数学模型的简洁美与逻辑的严密性。

三、教学重难点

1.教学重点：【非常重要】利用点的坐标表示相关线段长度，进而构建面积与自变量的函数关系模型；运用二次函数性质（顶点坐标、增减性）确定面积的最值。

2.教学难点：【难点】在复杂几何图形中，灵活选择合适的方法（如铅垂法、割补法）来表示图形的面积；当自变量取值范围受到几何约束时，正确求解最值。

四、教学实施过程（核心环节）

（一）唤醒经验，引入课题

【基础】教师引导学生回顾：求三角形面积的基本公式（S=1/2×底×高）。追问：当三角形的一边与坐标轴平行或重合时，如何求面积？当三角形的三边均不与坐标轴平行时，我们有什么好办法来简化计算？引导学生回忆“割补法”或“铅垂法”（宽高公式）。

【重要】教师明确：在中考压轴题中，平面直角坐标系内的三角形面积问题，最常用的方法就是“铅垂法”，即S△=1/2×水平宽×铅垂高。这个公式为我们提供了将几何面积转化为代数运算的桥梁。本节课我们将以此为工具，深入研究如何利用函数性质解决动态图形中的面积问题。

（二）典例精析，提炼方法

模块一：单动点与定图形面积最值（铅垂法的应用）

【非常重要】【高频考点】

例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D。点P是直线BC上方抛物线上的一个动点。求△BCP面积的最大值，并求出此时点P的坐标。

教学步骤：

1.图形分析：【基础】师生共同确定A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)。点P在抛物线上运动，三角形BCP的底BC是定长，但高随点P的运动而变化。直接利用底乘高较为困难，因为高线不易直接表达。

2.策略选择：【重要】引入“铅垂法”。将三角形BCP的面积拆解。过点P作PQ⊥x轴，交BC于点Q。则S△BCP=S△PCQ+S△PBQ=1/2·PQ·(x_Q-x_C)+1/2·PQ·(x_B-x_Q)=1/2·PQ·(x_B-x_C)。其中，(x_B-x_C)即为△BCP的“水平宽”，PQ即为“铅垂高”。

3.建立函数模型：

a.求直线BC的解析式：由B(3，0)，C(0，3)，得直线BC：y=-x+3。

b.表示点坐标：设P(m，-m²+2m+3)(0<m<3)，则Q(m，-m+3)。

c.表示铅垂高：PQ=y_P-y_Q=(-m²+2m+3)-(-m+3)=-m²+3m。

d.表示面积：S△BCP=1/2×(x_B-x_C)×PQ=1/2×(3-0)×(-m²+3m)=3/2(-m²+3m)。

4.利用函数性质求解：【非常重要】

得到二次函数S=-3/2m²+9/2m(0<m<3)。这是一个开口向下的二次函数，顶点处取得最大值。

当m=-b/(2a)=-(9/2)/(2×(-3/2))=3/2时，S有最大值。

最大值为S_max=3/2×[-(3/2)²+3×(3/2)]=3/2×(-9/4+9/2)=3/2×(9/4)=27/8。

此时点P坐标为(3/2，-9/4+3+3)=(3/2，15/4)。

5.归纳小结：【重要】对于抛物线上一动点构成三角形面积问题，当三角形的一边固定，且该边不平行于坐标轴时，“铅垂法”是行之有效的通法。关键在于找准“水平宽”和用点的纵坐标差表示出“铅垂高”。将面积表示为动点横坐标的二次函数后，利用顶点坐标公式或配方法求最值。

模块二：双动点与面积倍数关系（含参函数与几何约束）

【难点】【热点】

例2：在例1的抛物线背景下，点E是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），EF∥y轴，交抛物线于点F。是否存在点E，使得以E、F、C为顶点的三角形面积是△ABC面积的1/8？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由。

教学步骤：

1.问题转化：【重要】先计算△ABC的面积。S△ABC=1/2×AB×OC=1/2×4×3=6。其1/8为3/4。

以E、F、C为顶点的三角形，即△CEF。观察图形，CE是△CEF的一边，由于EF∥y轴，故△CEF可以看作是“水平宽”为C、E两点横坐标之差的三角形，但“铅垂高”如何选取？教师引导学生思考：过点C作CG⊥x轴，交EF的延长线？但此处更直接的方法，是将△CEF视为以EF为底，以C到EF的水平距离为高的三角形。由于C、F、E的横坐标相同？不对，C、E、F横坐标不同。C(0，3)，E在BC上，F在抛物线上。EF是竖直的线段，C到EF的“水平距离”即为E的横坐标减去0，即x_E。但三角形顶点是C，底边是EF，那么EF上的高就是点C到直线EF的距离，而EF是竖直线，所以这个距离就是|横坐标差|=x_E。但EF的长度并不是y_F-y_E？这里要重新审视三角形的构造。

2.修正模型：【非常重要】教师应引导学生重新构图。三角形CEF的三个顶点为C(0，3)，E(m，-m+3)，F(m，-m²+2m+3)。此时，边EF是竖直的，长度为|y_F-y_E|=(-m²+2m+3)-(-m+3)=-m²+3m。点C(0，3)到直线EF（即直线x=m）的距离，就是|m-0|=m。所以，以EF为底，则三角形CEF的面积S△CEF=1/2×EF×(C到EF的距离)=1/2×(-m²+3m)×m=1/2m(-m²+3m)=-1/2m³+3/2m²。

注意：这个表达式是一个关于m的三次函数，而非二次函数！

3.反思与调整：【难点】这里出现了三次函数，学生可能产生困惑。教师应及时引导：我们目前所学能直接求最值的是二次函数。那么，是不是我们的思路出了问题？或者这个三角形不能这样拆解？能否将其转化为我们熟悉的“铅垂法”模型？思考：在△CEF中，固定哪两个点作“铅垂”的底？

引导学生观察：我们可以过点E或F作水平线，或者考虑将△CEF与已知的△BCP模型建立联系。实际上，S△CEF也可以看作是S△CFB或S△CEB的一部分。但更简便的方法：我们能否将C、E、F三点的角色转化，使得“水平宽”和“铅垂高”都方便表示？重新审视：以C、E两点作为三角形的两个顶点，过第三个顶点F作铅垂线交CE于某点？但C、E连线是斜线BC的一部分，交点坐标不好求。这种方法复杂了。

4.另辟蹊径——直接列方程：【重要】既然题目是求是否存在点使面积为定值，我们可以直接建立关于m的方程。根据S△CEF=1/2×|x_C-x_E|×|y_F-y_E|？这个公式成立吗？这相当于以C、E的水平距离为底，但高是|y_F-y_E|，这样构成的三角形顶点是F吗？不，这样构成的是以线段CE为底，点F到CE的竖直距离为高的三角形，但点F到CE的竖直距离不是EF。所以公式S=1/2×水平宽×铅垂高必须对应“水平宽”是指三角形三个顶点横坐标的最大最小值之差，“铅垂高”是指中间那个点到底边（由另外两个点连线）的铅垂线段的长度。在这个三角形中，三个顶点横坐标分别为0，m，m，最大值为m，最小值为0，水平宽为m。谁是中间的那个点？按横坐标排序，C在最左，E和F在最右（横坐标相同）。这种情况比较特殊，中间那个点应该是哪个？如果是两个点横坐标相同，那么“铅垂高”应该是这两个相同横坐标的点（E和F）到由剩下那个点（C）和某个虚拟点构成的直线？其实，“铅垂高”的定义是：过中间横坐标的点作竖直线，与另外两点所在直线相交，两点间的距离。但这里E和F横坐标相同，且都是最大横坐标，谁是中间点？这时，C是唯一横坐标最小的点，所以我们可以将三角形面积用另一种形式表示：过点C作竖直线（即y轴），与EF的延长线交于点H(0，y_E)。此时，H与C同在y轴上，CH=|y_C-y_E|=3-(-m+3)=m。而三角形可以看作是以CH为公共底边的两个三角形△CHE和△CHF的面积和或差？但H、E、F共线。S△CEF=1/2×CH×(x_E-x_C)=1/2×m×m。不对，这样得到的是直角三角形CHE的面积。差了一个三角形CFH？思路有些混乱。

5.教师规范解法：为了避免这种混淆，我们回归最根本的“割补法”或“铅垂法”的通用形式。对于任意三个点，总可以这样操作：

a.找到三点横坐标的最大值和最小值，作差，得到“水平宽”L。

b.过横坐标居中的那个点作铅垂线，与另两点所在直线交于一点。

在本题中，三点的横坐标为：x_C=0，x_E=m，x_F=m。因为0<m<3，所以横坐标的排序为：0(最小)，m(最大)和m(最大)。这种情况下，居中的点应该是横坐标为m的点，但有两个点。我们需要选择其中一个作为“过该点作铅垂线的点”，将三角形分割。不妨过E作铅垂线，则需找到F和C所在直线（即CF）的方程，并求其与铅垂线x=m的交点E'。但F和C的连线，点C(0，3)，F(m，-m²+2m+3)，直线CF的解析式可以通过两点式求得。然后求交点E'，并求E'E的长度。这个过程计算量较大。

6.简化模型——直接利用已有线段：其实，观察图形可知，EF本身就是铅垂线。那么，S△CEF可以看作是S△CBF与S△EBF的差。即S△CEF=S△CBF-S△EBF。S△CBF可以用我们熟悉的“水平宽（B、C横坐标差）×铅垂高（F到BC的竖直距离）”来求，但注意这里的铅垂高是什么？F到BC的竖直距离，就是过F作x轴垂线交BC于Q的距离，即PQ。但这里E也在BC上，S△EBF同样可以用类似方法，以E为点作铅垂线？这样又把E卷进来了，未能简化。

7.最清晰解法——回归坐标公式：【重要】任何三角形的面积都可以用坐标的绝对值表示。可以直接用点坐标的行列式公式：S=1/2|x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)|。代入C(0，3)，E(m，-m+3)，F(m，-m²+2m+3)。则

S=1/2|0×[(-m+3)-(-m²+2m+3)]+m×[(-m²+2m+3)-3]+m×[3-(-m+3)]|

=1/2|0+m×(-m²+2m)+m×(m)|

=1/2|-m³+2m²+m²|

=1/2|-m³+3m²|

因为0<m<3，所以-m³+3m²=m²(3-m)>0，所以S=1/2(-m³+3m²)。

这样就得到了和之前以EF为底同样的结果S=-1/2m³+3/2m²。这是一个三次函数。

8.列方程求解：根据题意，S=3/4。所以-1/2m³+3/2m²=3/4，两边乘以4得：-2m³+6m²=3，即2m³-6m²+3=0。这是一个一元三次方程，解起来困难。这提示我们，题目可能设计的数据使得方程有简单的解。尝试m=1，代入2-6+3=-1≠0；m=1/2，2×1/8-6×1/4+3=0.25-1.5+3=1.75≠0。无简单有理根。因此，该问题可能不存在这样的E点？但我们需要说明理由。实际上，这是一个三次函数，我们可以研究它的值域。令f(m)=-1/2m³+3/2m²(0<m<3)。求导f'(m)=-3/2m²+3m=3m(1-m/2)。令f'(m)=0得m=0或m=2。在(0，2)上f'>0，f递增；在(2，3)上f'<0，f递减。所以m=2时取极大值f(2)=-1/2×8+3/2×4=-4+6=2。f(0)=0，f(3)=-27/2+27/2=0。所以f(m)的值域是(0，2]。而3/4=0.75在这个范围内，因此应该存在两个解。但解三次方程非初中要求。此时，教师需要向学生说明，题目设计通常会规避三次方程。所以，在初中阶段，解决此类问题时，应通过几何变换（如构造相似三角形、利用平行线等积变换）将面积关系转化为线段关系，从而建立二次函数模型。例如，本题可能不是单纯求倍数，而是通过作平行线，使三角形变成等底等高的形状，将问题转化为求线段长。这个例题旨在让学生明白，当表达式不是二次时，要反思几何构造是否最优，或者题目意图是否为考查其他知识。

9.教学小结：【难点】在遇到双动点或多动点时，选择合适的底边和表示方法至关重要。如果直接得到高次函数，要思考是否可以通过几何变换（如利用平行线进行等积变形，将三角形转化为等底等高的形式）来简化表达式，使其成为二次函数。例如，若EF是某条定直线的平行线，则可构造相似三角形，将面积关系转化为比例关系。

模块三：含参最值与取值范围讨论（几何约束下的函数最值）

【非常重要】【热点】

例3：在例1的抛物线中，点M是线段OB上的一个动点（不与O、B重合），MN∥y轴，交抛物线于点N，交BC于点Q。设M的横坐标为t。

(1)求△BNQ的面积S与t的函数关系式，并写出t的取值范围。

(2)求S的最大值。

教学步骤：

1.图形分析：【基础】M在OB上运动，0<t<3。MN垂直x轴，与BC交于Q，与抛物线交于N。△BNQ的顶点为B、N、Q。B(3，0)，N(t，-t²+2t+3)，Q(t，-t+3)。

2.表示三角形面积：【重要】观察△BNQ，边BQ和边NQ是容易表示的。但如何计算面积？由于MN是竖直线，BQ是斜线。我们可以考虑以NQ为底，以B到直线NQ的距离为高。NQ=y_N-y_Q=(-t²+2t+3)-(-t+3)=-t²+3t。直线NQ就是竖直线x=t，所以B点到直线NQ的距离为|3-t|=3-t。因此，S△BNQ=1/2×NQ×(3-t)=1/2×(-t²+3t)×(3-t)。

3.化简函数式：【基础】S=1/2(-t²+3t)(3-t)=1/2[-t²(3-t)+3t(3-t)]=1/2[-3t²+t³+9t-3t²]=1/2(t³-6t²+9t)。又得到一个三次函数！这似乎不是我们预期的二次函数。为什么？

4.反思与调整：【重要】让学生思考：选择的底和高导致了三次函数。有没有别的划分方法？可以将△BNQ分割成两个三角形：△BQM和△NQM？但Q、M都在x=t上，M在x轴上，M(t，0)。△BQM中，以QM为底，高为B到x=t的距离？QM=y_Q-y_M=-t+3，B到x=t的距离为3-t。S△BQM=1/2×(-t+3)×(3-t)=1/2(3-t)²。△NQM中，以QM为底，高为N到QM的距离，但N、Q、M共线，所以△NQM不存在，或者面积为0。不对，N和Q都在x=t上，M也在x=t上，三点共线，无法构成三角形。所以△BNQ不能这样分割。

5.再换思路：以BQ为底，过N作BQ的垂线。BQ的解析式已知为y=-x+3，即x+y-3=0。点N(t，-t²+2t+3)到直线BQ的距离为d=|t+(-t²+2t+3)-3|/√2=|-t²+3t|/√2=(t²-3t)/√2（因为0<t<3，t²-3t<0，绝对值后是-t²+3t）。BQ的长度=√[(3-0)²+(0-3)²]=3√2。所以S=1/2×BQ×d=1/2×3√2×(-t²+3t)/√2=3/2(-t²+3t)。Bingo！这是一个二次函数！

6.辨析与提炼：【非常重要】为什么用点到直线距离公式就能得到二次函数？因为d的表达式中，分母的√2恰好与BQ长度中的√2约掉了。这提示我们，在处理三角形面积时，如果三角形的某条边是斜线，但该边所在的直线方程形式简单，点到该直线的距离公式虽然涉及根号，但若与边长中的根号能相约，则会简化计算。但点到直线距离公式涉及根号和绝对值，对初中生而言，一般仅当直线的斜率为±1时，距离可化为简单的纵坐标差或横坐标差（如BQ的斜率为-1，则点N到BQ的竖直距离（或水平距离）的某种组合可以表示为|y_N-(-x_N+3)|/√2，但最终还是与BQ中的√2约去）。更常用的方法是“铅垂法”的推广：以BQ作为“底”，但我们需要找到“铅垂高”。这个“铅垂高”并不是竖直线段，而是“横平竖直”的投影。实际上，我们刚才的推导相当于用了一次“宽高公式”的变形。在直线BQ的斜率为±1时，点到直线的距离可以表示为|y_N-y_Q|/√2，而BQ的长度是3√2，相乘后得到3|y_N-y_Q|。而|y_N-y_Q|恰好就是NQ。所以S=3/2NQ。而NQ=-t²+3t。所以S=3/2(-t²+3t)。这个结论非常简洁。我们发现，当底边所在直线斜率为±1时，三角形面积可以表示为“常数×铅垂线段（动点到底边在竖直方向上的投影的线段）”。

7.最值求解：【基础】此时S=-3/2t²+9/2t，其中0<t<3。这是开口向下的二次函数，顶点t=-b/(2a)=-(9/2)/(2×(-3/2))=3/2，在定义域内。S_max=3/2×[-(3/2)²+3×(3/2)]=27/8。

8.方法升华：【重要】通过此题，我们总结出解决函数背景下面积问题的通用思路：首先，明确三角形（或多边形）的顶点是哪些点，哪些是定点，哪些是动点。其次，选择恰当的底边和对应的高。选择的原则是，底边长度和高度的表达式应尽可能简单，最好是动点横坐标的一次函数或二次函数，从而保证面积表达式为二次函数。当直接表达导致高次时，要积极联想几何变换（如等积变形、构造相似）或巧用坐标公式（如利用直线斜率为±1的特性化简）来降次。归根结底，是“坐标几何”的思想：用代数方法解决几何问题。

（三）变式训练，巩固提升

【基础】变式1：将例1中的“三角形BCP”改为“四边形ABPC的面积最大值”。引导学生分析，不规则四边形面积通常通过连接对角线（如连接AC、BP等）转化为两个三角形面积的和。连接CP，则S_ABPC=S_△ABC+S_△BCP，S_△ABC是定值，问题转化为求S_△BCP的最大值。

【重要】变式2：将例1中的“点P是抛物线上一点”改为“点P是直线BC下方抛物线上一动点”，求△BCP面积最大值。此时P在下方，铅垂高PQ=y_Q-y_P，表达式变为正，但函数形式一致。

【难点】变式3：若点P是平面内一点，使得以P、B、C为顶点的三角形面积等于定值，求点P的轨迹。引导学生认识到，到定线段BC距离等于定长的点的轨迹是平行于BC的两条直线。进而转化为求直线与抛物线的交点问题。

【非常重要】变式4：如图，抛物线不变，点D是抛物线顶点，连接AD、BD。点P是线段AB上一动点，过点P作PE∥AD，交BD于点E。求△PBE面积的最大值。此题综合考查了相似三角形与二次函数。