2027年高考数学一轮复习检测卷（含答案详解）

第一章几何与常用逻辑用语、不等式~第三章一元函数的导数及其应用（综合训练）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求解集合，再由集合的并集求解即可.【详解】因为，或，所以或.2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可.【详解】解不等式，得；解不等式，得，而集合真包含于集合，所以“”是“”的必要不充分条件．3．（2026·宁夏·一模）不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可．【详解】由不等式，即，则，解得，即，所以不等式的解集为．4．（2026·湖南邵阳·模拟预测）（

）A． B． C． D．2【答案】C【详解】.5．函数的图象大致为（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】根据偶函数定义判断出函数为偶函数，排除B选项，再通过对变形设，求导得出单调性，进而分析时的情况，排除C，D选项.【详解】∵，且定义域为，∴为偶函数，故排除B选项，又因为，，则恒成立，∴在上单调递增，当时，，∴当时，，且单调递增，故排除选项C、D.6．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，若，则的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】利用函数奇偶性定义可得函数为奇函数，结合其单调性可得，再利用基本不等式计算即可得解.【详解】由恒成立，故定义域为，，由在上单调递增，且在上单调递增，则在上单调递减，有，则，故函数为奇函数，则在上单调递减，则由可得，即，则，则，当且仅当时，等号成立，即的最小值为.【创新题】7．（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义一种运算，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，，，因为在上是单调递增函数，所以，即；当时，，，因为在上是单调递减函数，所以，即；综上可知，的值域为.故选项C正确.8．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】图像如图．设则．所以，，，设，则．所以在上单调递增．，．所以时，．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【新设问】9．（2026·四川成都·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（

）A．当时， B．，C．当且仅当时， D．，使得【答案】AB【分析】求直线交点坐标判断A；利用直线方程分析判断B；利用空集的定义，结合直线平行求解判断C；利用两条直线重合分析求解D.【详解】对于A，当时，则，，由，解得，因此，A正确；对于B，直线过定点，表示直线上所有的点，因此，B正确；对于C，，若，则；若，则直线与直线平行，且，于是，解得，因此当或时，，C错误；对于D，若，由选项C知，且，无解，D错误.10．（2026·重庆·三模）已知均为正实数，且，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用基本不等式,对数的运算性质以及和角的正切公式,结合正切函数的单调性逐一判断即可.【详解】对于A,因，，即,当且仅当时等号成立,则,故A错误；对于B,，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C,由A项得,则，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D,由，得，即，当时，可得，即，整理得，故D错误．11．（2026·山西忻州·模拟预测）设函数，.则下列说法正确的是（

）A．是偶函数 B．在处取得最小值C．方程有且仅有一个实根 D．对任意，都有【答案】ABC【详解】函数，则.由于，所以.因此.故是偶函数，A正确；求导得.当时，；当时，.所以在处取得最小值，B正确；方程.令，则，所以，即.由于，唯一解为.因此对应唯一实根，C正确；当时，，而.因此当足够大时，，D错误.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。【新设问】12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合，集合，则函数共有____个；若函数满足：，使得，则符合该条件的函数共有____个.【答案】1024570【分析】空一：函数，每个自变量有4种取值，由乘法原理得总数；空二：差值在值域中唯一对应，故值域必须同时含有和，用容斥原理得满足条件的个数.【详解】空一：函数，集合有5个元素，集合有4个元素，则每个自变量都有4种取值可能，因此总个数为空二：条件，使得.由于，差为3的唯一可能是，因此必须有某个自变量取值为9，另一个自变量取值为6，即函数值域中必须同时包含6和9.计算满足“值域同时包含6和9”的函数个数，函数总个数为，用容斥原理：函数值域中不含6：每个自变量只能取，共个；函数值域中不含9：每个自变量只能取，共个；函数值域中既不含6也不含9：只能取，共个.由容斥原理，函数值域中同时含有6和9的函数个数为.因此符合该条件的函数共有个.13．（2026·山东聊城·二模）已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________.【答案】【分析】根据偶函数的定义求得，再根据导数的几何意义求解即可.【详解】由题得，解得，可得的定义域为.又因为为偶函数，其定义域关于原点对称，所以，则，此时，满足为偶函数.当时，，则，所以，则在处的切线方程为.14．（2026·重庆·模拟预测）已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______.【答案】4【分析】由题设可得，随后讨论的取值可得，，最后由基本不等式可得答案.【详解】由得，故当时，，当时，，故，故当时，，即，故，当且仅当，即时取等号，故的最小值为4.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知，．(1)比较与的大小；(2)若，求的最小值；(3)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)49(3)【分析】（1）利用作差比较法求解判断；（2）由基本不等式结合一元二次不等式运算求解；（3）先证明函数，的单调性，利用单调性求解的范围.【详解】（1），，.（3分）（2），由，得，即，解得或（舍去），可得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为49.（8分）（3）设函数，，任取，且，则，，且，，，，即，所以函数是上的增函数.，由，，.所以的取值范围为.（13分）16．（15分）（2026·广西·模拟预测）已知，．(1)若，求不等式的解集；(2)若函数满足在上存在极大值，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由条件得到函数解析式，将不等式构造函数，利用导数分析函数单调性，即可得出结果；（2）求导，将分子构造函数，根据原函数有极大值可得新构造函数先正、再负、再正，且两根不相等，分类讨论两根关系，根据单调性进行取舍即可.【详解】（1）若，则，所以，要求，只需求，令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，故不等式的解集为.（6分）（2）由，则，记，令，则得两根为，若满足在上存在极大值，则在定义域内先正、再负、再正，且两根不相等，（8分）若，即，只有零点，所以时，，当时，，此时函数只有极小值，无极大值，舍去.（10分）若，即，则，此时函数单调递增，无极值，舍去.若，即，则当时，，递增，当时，，递减，当时，，递增，此时，是极大值点，满足题意.若，即，则当时，，递增，当时，，递减，当时，，递增，此时是极大值点，满足题意.综上，的取值范围为.（15分）17．（15分）（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数.(1)设，求的单调区间；(2)设是的极小值点，求证：.【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为(2)略【分析】（1）求出，利用导数研究函数单调性的即可；（2）由题可得，由（1）结合零点存在定理可得，令，结合二次函数的单调性即可证明结论.【详解】（1）由题可得，所以，令，解得：，令，解得：，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（6分）（2）因为是的极小值点，则，即，即，所以（8分）由于，，由于在上单调递增，所以，令，所以在上单调递减，则，即（15分）18．（17分）（2026·山东聊城·二模）已知函数.(1)当时，求的最小值；(2)若当时，恒成立，求的取值范围；(3)若关于的方程有两个不等实根，证明：.【答案】(1)(2)(3)略【分析】(1)代入后通过单调性求解.(2)通过单调性一步步对范围进行排除，最后确定的范围.(3)通过实根的性质构造新的关于的函数求证.【详解】（1）当时，，.令，得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，故在处取得最小值，.（4分）（2）当时，恒成立，即，即.令，即求在时恒成立，.（6分）①当时，恒成立，故在上单调递减，则当时，恒成立；（8分）②当时，在上单调递减，且，则在上恒成立，故在上单调递增，则成立，与题干矛盾，舍掉；（10分）③当时，恒成立，故在上单调递增，则恒成立，与题干矛盾，舍掉.综上所述，满足要求.（12分）（3）将代入，原方程化为，即，则有，两式相减，得，即，故原不等式变形为.不妨令，不等式两端同时除以，则不等式可变形为.令，则不等式可继续变形为，即证在时恒成立，故令，则恒成立，故在时单调递增，则恒成立，故命题得证.（17分）【创新题】19．（17分）（2026·福建福州·三模）设为不小于3的正整数，记有限集，若存在U的两个非空真子集A，B，满足：①；②；③A中所有元素的和与B中所有元素的和相等，则称A，B为一对平衡互补子集，并称A，B中任意一个为平衡子集．约定：不计顺序互换视为同一对，空集、全集不纳入统计，记满足条件的平衡互补子集的总对数为．(1)当时，从集合的所有非空真子集中随机抽取一个，求该子集是平衡子集的概率；(2)设，记，求证：；(3)设，从集合的所有非空真子集中，每次等可能抽取一个．独立重复抽取次，记至少一次抽到平衡子集的概率为，证明：．【答案】(1)(2)略(3)略【分析】（1）计算的总元素和，确定平衡子集的元素和为14；统计中所有和等于14的非空真子集的数量，确定平衡互补子集的对数，以及平衡子集的总个数；计算的非空真子集总数，结合古典概型概率公式求解概率；（2）当时，的总元素和为；通过分类讨论，和平衡互补子集的总对数，得到，通过不等式的缩放证得；（3）根据题意求出单次抽取到平衡子集的概率，再利用对立事件概率公式得到；构造函数，通过函数的单调性证明.【详解】（1）当时，则集合，其非空真子集个数为个；，要使，为平衡互补子集，则，中元素和都为14.由，得平衡互补子集有与，与，与，与，共4对，即平衡子集有8个.子集是平衡子集概率为.（6分）（2）当时，集合，其元素和为，为偶数，故存在平衡子集.当时，，集合，其平衡子集为与，故；当时，平衡互补