北师大版数学九年级上册 1.3 矩形的性质与判定 三阶训练

北师大版数学九年级上册1.3矩形的性质与判定三阶训练一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，点E为BC中点，点F为AE中点，DE=4，DF=A．10 B．4 C．23 D．192．如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点D在EF上，延长AD交BC于N，BD⊥AN，AB=6，BC=8，则DF=（）A．2 B．32 C．1 D．3．如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，AF平分∠CAB交BC于点F，点E是CD上一点，连接AE、EF，的值为（)若∠EAF=45°，AB=4，BC=3，则AEDEA．5 B．53 C．52 4．如图，在△ABC中，点D在AC上，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE=CD.小明思考后得出以下结论：①若D是AC的中点，则∠BDC=3∠ABD；②当E为AB中点时，△ABC是等边三角形；则下列说法正确的是()A．①②都正确 B．①②都错误C．①正确②错误 D．①错误②正确5．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，若∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（)。A．23 B．22 C．336．如图，已知四边形纸片ABCD，E，F，G，H是四条边上的中点，连结EG，分别过点H，F作HI⊥EG于点I，FJ⊥EG于点J，沿EG，HI，FJ将四边形纸片ABCD剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片ILMN(①沿BD方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转180°)．若EJ=5cm，JG=2cm，FJ=3cm，则四边形ILMN的周长是（）A．24cm B．26cm C．22+25cm 7．如图，矩形OABC中，点O0,0,AC=4,BO与x轴正半轴的夹角为45°．若矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第2026秒时，矩形的对角线交点A．2,−2 B．−2,0 C．0,2 8．如图，▱ABCD的对角线交于点O，M，N分别是边AD，BC的中点，连接AN，CM．下列结论：①四边形ANCM是平行四边形；②若AB=AC，则四边形ANCM是矩形；③若AB⊥AC，则四边形ANCM是菱形；④若AB⊥AC，AB=6，∠ABC=60°，则S四边形ANCMA．①② B．①②③ C．①④ D．①②③④二、填空题9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，AE=6，∠AEB=60°，则EF的值为.10．如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB，DC，AD边上，BE=2CF,FM分别交对角线BD、线段DE于点G，H，且H是DE的中点．若CF=2,∠ABD=30°，则11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0,2，点B的坐标为3,0，连接AB．若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A'BO'12．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC沿射线BC方向平移至△A'B'C'，将点B绕点A逆时针旋转90°得到点D，连接DA'，DC'，在平移过程中，|A'D-C'D|的最大值为。三、解答题13．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB=3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM=CN，试探究线段MN长度的最小值．【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．【问题解决】如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：AM=MP；（2）∠CAP的大小为度，线段MN长度的最小值为________．【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN．钢丝绳MN长度的最小值为多少米．14．如图，直线l1:y=−12x+b（1）点A坐标为(________，________)．（2）在直线BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以O、B、E、F（3）若点P为直线l1上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、O、B四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的Q

答案解析部分1．【答案】D【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：延长DF交CB的延长线于点G，设CE=x，则BC=2x，

∵ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC=2x，

∴∠ADG=∠G，∠DAF=∠GEA，

又∵点F是AE的中点，

∴AF=FE，

∴△ADF≌△EGF，

∴GE=AD=BC=2x，DG=2DF=36，

∴CG=3x，

在Rt△GDC和Rt△DEC中，DC2=DG2-GC2=DE2-CE2，即DC2=(36)2-(3x)2=42-x2，

解得x=192，

∴BC=2x=19，

故答案为：D.

【分析】延长DF交CB的延长线于点G，设CE=x，则BC=2x，根据矩形的性质，利用AAS得到△ADF≌△EGF，即可得到GE=AD=BC=2x，DG=2DF=36，再在Rt△GDC和Rt△DEC中，根据勾股定理得到DC2=DG2-GC2=DE2．【答案】C【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵BD⟂AN,∴∠ADB=9∵E是AB的中点，∴ED是斜边AB上的中线，∵AB=6,∴ED=∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线.∴EF=∵BC=8,∴EF=4.∴DF=EF−ED=4−3=1.故选：C.【分析】根据直角三角形斜边上的中线求得ED的长度，由三角形中位线定理求得EF的长度，根据线段的和差解答即可.3．【答案】A【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念【解析】【解答】解：如图

∵四边形ABCD是矩形

∴∠D=∠DAB=90°

∵AB=4，BC=3

∴AC=AB2+BC2=5

∵∠EAF=45°

∴∠2+∠3=45°，∠1+∠4=45°

∵AF平分∠CAB

∴∠3=∠4

∴∠1=∠2

作EG⊥AC于点G

设DE=x，则CE=4-x

∴ED=EG=x

∵∠D=∠EGA=90°，AE=AE

∴Rt△AED≌Rt△AEG

∴AG=AD=3

∴CG=5-3=2

在Rt△CEG中，EG2+CG2=CE2

∴x2+22=(4-x)2

解得：x=故答案为：A【分析】根据矩形性质可得∠D=∠DAB=90°，根据勾股定理可得AC，根据角之间的关系，结合角平分线定义可得∠1=∠2，作EG⊥AC于点G，设DE=x，则CE=4-x，ED=EG=x，根据全等三角形判定定理可得Rt△AED≌Rt△AEG，则AG=AD=3，根据边之间的关系可得CG，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据勾股定理可得AE，再根据边之间的关系即可求出答案.4．【答案】C【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角【解析】【解答】解：①如图，连接DE，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∵D是AC的中点，∴DE=1∴∠AED=∠A，∵BE=CD，∴BE=DE，∴∠ABD=∠BDE，∴∠AED=∠ABD+∠BDE=2∠ABD，∴∠A=2∠ABD，∴∠BDC=∠ABD+∠A=3∠ABD，故①正确；②∵E为AB中点时，CE⊥AB，∴CE是AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形，由题意，无法证明△ABC是等边三角形，故②错误；综上，①正确②错误；故选：C．【分析】连接DE，根据斜边中线定理得到DE=12AC=AD=CD，得到∠AED=∠A，由BE=CD得到BE=DE，得到∠ABD=∠BDE，再利用三角形外角的性质即可判断①；根据垂直平分线的性质得到AC=BC，则△ABC5．【答案】A【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵AF=BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，∴DF为三角形ABC的中位线，∴DE∥BC,DF=又∠ADF=90°，∴∠C=∠ADF=90°，又BE⊥DE，DE⊥AC，∴∠CDE=∠E=90°，∴四边形BCDE为矩形，∵BC=2,∴DF=在Rt△ADF中，∠A=30°，AF=BF=BC=2，∴AD=∴CD=AD=则矩形BCDE的面积，S=CD⋅BC=2故答案为：A.【分析】根据三角形的中位线定理得到DF∥CB，DF=16．【答案】B【知识点】矩形的判定与性质；平移的性质；旋转的性质；利用整式的加减运算化简求值【解析】【解答】解：如图，由题可知FJ=PM=PL=3cm，JG=GL=2cm，MQ=EJ=5cm，设JI=xcm，则NQ=EI=EJ−JI=5−x∴NQ=EI=5−x∴矩形周长为=MN+ML+LI+NI=5−x+5+6+4+x+6=26cm．故选：B．【分析】由旋转和平移的性质可得FJ=PM=PL，JG=JL，MQ=EJ，∠M=∠N=∠NIL=90°，则四边形ILMN是矩形，此时可设JI=x，则NQ=EI=5−x，ML=6、LI=4+x、NI=ML=6，再利用整式的加减运算求出周长即可．7．【答案】D【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，∴OB=AC=4，OD=BD=2，∵每秒旋转45°，8次一个循环，2026÷8=253⋅⋅⋅⋅⋅2，∴此时点D与第2次的点D的坐标相同，如图所示：过点D'作D'E⊥x∴OE=D∴点D的坐标为−2【分析】首先先确定矩形对角线交点D到原点O的距离，结合题目条件，矩形每秒绕原点旋转45°，旋转一周为360°，因此每旋转8次，图形会回到初始位置，形成一个循环。计算可得2026÷8=253⋅⋅⋅⋅⋅2，说明经过2026秒后，点D的位置和旋转2秒后点D的位置一致，且此时点D位于第二象限的对角线上，据此即可求出对应坐标.8．【答案】B【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；等腰三角形的性质-三线合一【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD=BC，AD∥BC

∴AM∥NC

∵M，N分别是边AD，BC的中点

∴AM=MD=12AD，NC=BN=12BC

∴AM=NC

∴四边形ANCM是平行四边形，①正确

②∵AB=AC，N为BC的中点

∴AN为等腰三角形ABC底边上的中线

∴AN⊥BC

∴∠ANC=90°

由①可得，四边形ANCM是平行四边形

∴四边形ANCM为矩形，②正确

③∵AB⊥AC，N为BC的中点

∴AN=12BC=NC

∴四边形ANCM为菱形，③正确

④过点A作BC的垂线，垂足为E

∵∴BC=2AB=8

∴AC=BC2−AB2=43

∵S△ABC=12BC·AE=1【分析】根据平行四边形判定定理及性质可判断①；根据等腰三角形三线合一性质可得∠ANC=90°，再根据矩形判定定理可判断②；根据直线角三角形斜边上的中线性质可得AN=12BC=NC，再根据菱形判定定理可判断③9．【答案】6【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：设AC、EF交于点O，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∵∠AEB=60°，∴∠FAE=60°，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO,∴∠AOF=∠COE=90°，∵AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO，在△AOF和△COE中，∠FAO=∠ECOAO=CO∴△AOF≌△COE(∴OF=OE，∵AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形，∴AF=AE，∵∠FAE=60°，∴△AEF是等边三角形，∵AE=6，∴EF=AE=6．故答案为：6.

【分析】设AC、EF交于点O，根据矩形的性质，利用ASA得到△AOF≌△COE，即可得到OE=OF，得到四边形AECF是菱形，进而可得△AEF是等边三角形，即可得到EF长解答即可．10．【答案】2【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS【解析】【解答】已知CF=2，BE=2CF，

∴BE=4.

过H作HN∥AB，交AD于N.

∵H为DE中点，

∴HN是△ADE的中位线，

∴HN=12AE，DN=AN.

∵HN∥DC，

可证△HNM≌△FDM(AAS)，

∴HN=DF.

设矩形AD=y，在Rt△ABD中，∠ABD=30∘，

∴BD=2y，AB=3y.

AE=AB−BE=3y−4，DF=DC−CF=AB−CF=3y−2.

∵HN=12AE=DF，列方程：

12(3y−4)=3y−2；

32y−2=3y−2；

y=23.

∴AD=23，AB=3×23=6.

AE=6−4=2，

DF=6−2=4.

以D为原点，DC为x轴，DA为y轴：

D(0，0)，A(0，23)，B(6，23)，C(6，0)，

E在AB上：E(2，23)，F在DC上：F(4，0).

H是DE中点，由中点坐标公式：

H0+22，0+232，即H(1，3).

①直线FM经过H(1，3)、F(4，0)，设解析式y=k1x+b1，

代入两点：k1+b1=34k1+b1=0，

解得：k1=−33，b1=433，

∴直线FM：y=−33x+433，

②直线BD经过D(0，0)、B(6，23)，

斜率k2=3故答案为：2【分析】先根据CF的长度，求出BE，再利用“H是DE中点、M、H、F三点共线”，构造全等三角形，结合矩形性质，解含30∘的直角三角形，求出矩形AB、AD边长；建立平面直角坐标系，写出D、E、F、H的坐标，求出直线FM、直线BD的函数解析式；联立两个一次函数解析式，求得交点G的坐标；利用两点间距离公式，计算HG的长度.11．【答案】5,3【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质；旋转的性质【解析】【解答】解：过点A'作A'G⊥OB于点∴∠由旋转的性质可知：A'O'=AO，OB∴∠A∴四边形A'∴A∴A∵点A的坐标为0,2，点B的坐标为3,0，∴OA=2,OB=3，∴A'∴OG=OB+BG=3+2=5，∴点A'的坐标为5,3故答案为：5,3．【分析】本题考查图形旋转后的坐标变换，图形旋转后对应线段长度不变，可通过“作垂线构造直角三角形"，利用原坐标的线段长度求旋转后的坐标.12．【答案】13【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；平移的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS【解析】【解答】解：如图，作AG⊥BC于G，作.A'∵AB=AC=5,AG⊥BC,∴BG=CG=12∴AG=由旋转的性质得，AD=AB,∠BAD=9∴∠BAG+∠DAE=9∵DE⟂AG,∴∠DEA=∠DEG=9∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DEA=∠AGB=90°，∴∠ADE=∠BAG，∴△ADE≌△BAG(AAS)，∴AE=BG=3，∴EG=AG-AE=1，∵A'H⊥B'C"，∴∠A'HB'=90°，∴∠A'HB'=∠AGC=∠DEG=90°，∴四边形EFHG是矩形，∴FH=EG=1，由平移的性质可得，△A'B'C"≌△ABC，又∵A'H、AG分别为△A'B'C'、△ABC对应边的高，∴A'H=AG=4，C"H=CG=3，∴A'F=A'H-FH=3，∵FK=A'F=3，∴HK=FK−FH=3−1=2,∴∵DF⟂∴DF是A'K的垂直平分线，∴∴∣∴当D、K、C"共线时，∣A'D−C'【分析】作AG⊥BC于G，作AH⊥B'C'于H，作DE⊥AG于E，交A'H于F，在A'H延长线上取点K，使得FK=A'F，连接DK、C'K，利用三线合一性质和勾股定理求出AG=4，通过证明△ADE≌△BAG得到AE=BG=3，利用矩形的判定推出四边形EFHG是矩形，得到FH=EG=1，再利用平移的性质得到A'H=AG=4，C'H=CG=3，进而求出C'K的长，利用垂直平分线的性质得出A'D=DK，最后利用线段的性质即可求解.13．【答案】解：问题解决：（1）证明：过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP，∴四边形MNCP是平行四边形，∴NC=MP∵AM=NC∴AM=MP；（2）30；3方法应用：过点D、M分别作MN、ED的平行线，并交于点H，作射线AH，连接AD，∴四边形MNDH是平行四边形，∴ND=MH∵AM=ND∴AM=MH，∵四边形BCDE是矩形，∴BC∥ED,∠BCD=90°∴BC∥MH∴∠ACB=∠CMH=30°∵AM=MH∴∠MAH=15°∵AC=CD=3m,∠ACD=∠ACB+∠BCD=120°∴∠DAC=30°∴∠DAH=45°∴当DH⊥AH时，DH最小，此时MN最小，作CR⊥AD于点R，在Rt△ACR中，AC=2,∠CAR=30°∴CR=1∴AR=∴AD=2AR=2在Rt△ADH中，AD=2∴DH=AH=2∴线段MN长度的最小值为6米．【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质【解析】【解答】（2）在等边△ABC中，∠ACB=60°，∵MP∥CN∴∠PMC=∠ACB=60°∵AM=MP∴∠CAP=∠MPA=30°；当CP⊥AP时，CP最小，此时MN最小，在Rt△ACP中，AC=3,∠CAP=30°∴CP=1∴线段MN长度的最小值为32【分析】（1）过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP，先证出四边形MNCP是平行四边形，再利用平行四边形的性质及等量代换求出AM=MP即可；（2）先证出当CP⊥AP时，CP最小，此时MN最小，再结合AC=3,∠CAP=30°求出CP=1（3）过点D、M分别作MN、ED的平行线，并交于点H，作射线AH，连接AD，先证出当DH⊥AH时，DH最小，此时MN最小，作CR⊥AD于点R，求出∠DAH=45°，最后求出DH=AH=214．【答案】（1）4（2）解：将x=0代入直线l1:y=−12x+2得：y=2，

∴B0,2，

∴OB=2，

将点C2,1代入直线l2:y=kx−3得：2k−3=1，

解得：k=2，

∴直线l2的解析式为y=2x−3，

∵点E的横坐标为m，且点E在直线l1:y=−12x+2上，

∴Em,−12m+2，Fm,2m−3，

∴EF=2m−3−−12m+2=52m−5，

∵EF∥OB，

∴要使以O、B、E、F（3）解：存在，点Q坐标为−45,【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的判定；矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：（1）将点C2,1代入直线l1:y=−解得：b=2，∴直线l1的解析式为y=−将y=0代入一次函数y=−12x+2得：−12∴A4,0故答案为：4，（3）∵A4,0，OB=2∴OA=4，∴AB=O∵点P为直线l1上一点，且在Rt△AOB中，∠OBA<90°，∠AOB=90°∴分以下两种情况：①如图，以P、Q、O、B四个点构成的是矩形OPBQ，过点P作PM⊥x轴于点M，∴OP⊥BP，PQ=OB=2，∴S△AOB∴OP=OA⋅OB∴PA=O∴S△AOP∴PM=OP⋅PA∴OM=O∴P4设点Q的坐标为Qs,t∵矩形OPBQ的对角线PQ,OB互相平分，O0,0∴45+s2=0+0∴此时点Q的坐标为−4②如图，以P、Q、O、B四个点构成的是矩形OPQB，此时点P与点A重合，则OP=OA=4，∴PQ⊥OP,PQ=OB=2，