2024年河南省开封市中考数学二模试卷及答案

2024年河南省开封市中考数学二模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的。1．（3分）下列各数中，与|﹣2|相加等于0的数是（）A．2 B．﹣2 C．12 D．2．（3分）如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（）A． B． C． D．3．（3分）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量仅有0.000000076克，数据0.000000076用科学记数法表示为（）A．0.76×10﹣7 B．7.6×10﹣7 C．7.6×10﹣8 D．76×10﹣94．（3分）将一副三角尺如图摆放，点D在AC上，延长EA交CB的延长线于点F，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠C＝30°，∠E＝45°，则∠F的度数是（）A．10° B．15° C．20° D．25°5．（3分）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝﹣x﹣1与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象相交于点（1，﹣2），则不等式﹣x﹣1＜mx+n的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．6．（3分）如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，修路的方法有（）A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种7．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣28．（3分）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，点A(3a，a)是反比例函数y=kx的图象与⊙A．y=2x B．y=23x 10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝5cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度运动（当点Q运动到点B时，点P，Q同时停止运动）．在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（）A．152cm2 B．92c二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）北京冬季里某一天的气温为﹣3℃～3℃，﹣3℃的含义是．12．（3分）不等式组1-2x≥-3x+22＞-113．（3分）某校“综合与实践”小组为了解全校2400名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，绘制了如图所示的统计图：（只能单选，每项含最小值，不含最大值）您平均每周阅读课外书的时间大约是A.8小时及以上B.6～8小时C.4～6小时D.0～4小时估计该校2400名学生中，平均每周阅读课外书时间在“6小时及以上”的人数为．14．（3分）我国古代算书《四元玉鉴》记载“二果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱”其大意是：现有九百九十九文钱，共买甜果和苦果一千个．已知九个甜果十一文钱，七个苦果四文钱，请问甜果和苦果各买多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？设甜果买x个，苦果买y个，则可列方程组为．15．（3分）如图所示，在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，AB＝16，EF是△ABC的中位线，D是边AB上一点，AD＝2，P是线段DB上的一个动点，连接EP，DF相交于点O．若△DOP是直角三角形，则OE的长是．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（9分）化简：(x解：原式＝[x(x-1)(x+1)(x-1)+解：原式=xx+1•x（1）甲同学解法的依据是，乙同学解法的依据是；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．17．（9分）2024年3月25日，是第29个全国中小学生安全教育日，为切实增强同学们的安全防范意识和避险能力，保障学生安全，提高学生面临突发安全事件自救自护应变能力，某校在3月份开展了一系列的安全知识讲座以及相应的安全演练，为了解学生对“安全知识”的掌握情况．学校分别从八年级和九年级随机抽取各40名学生进行测试，并收集了这些学生的测试成绩，整理和分析，研究过程中的部分信息如下：信息一：安全知识测试题共10道题目，每题10分；信息二：九年级成绩的频数分布直方图如下：信息三：八年级平均成绩的计算过程如下：60×3+70×17+80×3+90×9+100×83+17+3+9+8信息四：如表所示统计量平均数中位数众数方差九年级82.580n118.75八年级80.5m70174.75根据以上信息，解答下列问题：（1）m＝，n＝；（2）你认为哪个年级的成绩更加稳定？请说明理由；（3）在本次测试中，九年级甲同学和八年级乙同学的成绩均为80分，你认为两人在各自年级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由．（4）学校安排七年级主办一期安全知识宣传板报，要求从A．交通安全，B．食品安全，C．消防安全，D．网络与信息安全，E．心理健康与安全中选择两个主题，请用列表或画树状图的方法求七年级选择D和E的概率．18．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是BC的中点，连接AD．（1）请用无刻度的直尺和圆规，过点D作直线l垂直于直线AC（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若（1）中所作的直线l与直线AC交于点E，与AB的延长线交于点F．①判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．②若DF＝DA，DE=3，则AD的长为19．（9分）水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究：（1）试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每5min记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据．时间t/min510152025…水量y/mL173247a77…（2）探究：根据上表中的数据，请判断y=k1t（k1≠0）和y＝k2t+b（k2≠0，k2，b为常数）哪个解析式能准确的反映水量y与时间t（3）应用：①兴趣小组用100mL量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？②成年人每天大约需饮水1600mL，请估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮用天数．20．（9分）如图①所示的手机平板支架由托板，支撑板和底座构成，如图所示图②是其侧面结构示意图．已知托板长AB＝150mm，支撑板长CD＝603mm，BC＝60mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，可绕C点旋转，支撑板CD可绕点D转动．（结果精确到0.1mm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，（1）若∠DCB＝75°，∠CDE＝60°，点A到底座DE的距离是mm；（2）为了观看舒适，在（1）中的∠DCB＝75°调整成90°．再将CD绕点D顺时针旋转，恰好使点B落在直线DE上，则CD顺时针旋转的角度为°，此时点A到底座DE的距离与（1）中相比是增大了还是减小了？增大或减小了多少？21．（10分）习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书．已知每本甲种书比每本乙种书多10元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费1750元和1250元．（1）求甲、乙两种书的单价．（2）如果学校决定再次购买甲、乙两种书共100本，总费用不超过2800元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？22．（10分）根据以下素材，探索并完成任务．探究汽车刹车性能“道路千万条，安全第一条”．刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）．素材1刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始开始踩刹车到汽车完全停止，汽车所行驶的时间．刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离．素材2汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下：刹车后汽车行驶时间t（s）1234刹车后汽车行驶距离y（m）27486372素材3该兴趣小组成员发现：①刹车后汽车行驶距离y（单位：m）与行驶时间t（单位：s）之间具有函数关系y＝at2+bt（a≠0）、a、b为常数）；②刹车后汽车行驶距离y随行驶时间t的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．问题解决：请根据以上信息，完成下列任务．任务一：求y关于t的函数解析式．任务二：汽车司机发现正前方90m处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由．23．（10分）综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，李老师进行如下操作，将图①中的矩形纸片沿着对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ACB和△DEG，其中∠ACB＝∠DEG＝90°，∠A＝∠D，将△ACB和△DEG按图②所示的方式摆放，其中点B与点G重合（标记为点B），并将△DEG绕点B旋转，直线DE、AC相交于点F．初探发现：（1）如图②，猜想CF，EF数量关系是．深入探究：（2）李老师将图②中的△DEG绕点B继续旋转．①“善思”小组提出猜想：旋转过程中，当点E落在△ACB的内部，如图③，线段AF，EF，ED有一定的数量关系，请你写出他们的猜想，并说明理由．②“智慧”小组也提出：在△DEG旋转的过程中，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若给出BC＝3，AC＝4，可以求出AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．

2024年河南省开封市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的。1．（3分）下列各数中，与|﹣2|相加等于0的数是（）A．2 B．﹣2 C．12 D．【分析】直接利用绝对值的性质化简，再利用有理数的加法得出答案．【解答】解：∵|﹣2|＝2，∴与|﹣2|相加等于0的数是﹣2．故选：B．【点评】此题考查了绝对值，有理数的加法，正确掌握绝对值的性质是解题关键．2．（3分）如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（）A． B． C． D．【分析】首先根据主视图确定该物体的组成有几层，然后根据左视图和俯视图确定两层的形状后即可确定该几何体的形状．【解答】解：根据主视图发现该物体有两层组成，根据左视图和俯视图确定该物体底层是长方体，第二层是圆柱，故选：C．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是结合三视图正确的判断，难度不大．3．（3分）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量仅有0.000000076克，数据0.000000076用科学记数法表示为（）A．0.76×10﹣7 B．7.6×10﹣7 C．7.6×10﹣8 D．76×10﹣9【分析】直接根据科学记数法的定义作答即可．【解答】解：0.000000076＝7.6×10﹣8，故选：C．【点评】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数．4．（3分）将一副三角尺如图摆放，点D在AC上，延长EA交CB的延长线于点F，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠C＝30°，∠E＝45°，则∠F的度数是（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】根据直角三角形互余及平角的定义即可求解．【解答】解：∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝60°，∵∠E＝45°，∠ABC＝90°，∴∠EAD＝45°，∵∠FAB+∠BAC+∠EAD＝180°，∴∠FAB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∵∠ABF＝90°，∠F+∠FAB＝90°，∴∠F＝90°﹣75°＝15°．故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理及直角三角形的性质，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．5．（3分）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝﹣x﹣1与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象相交于点（1，﹣2），则不等式﹣x﹣1＜mx+n的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论．【解答】解：由一次函数的图象可知，当x＞1时，一次函数y＝﹣x﹣1的图象在一次函数y＝mx+n的图象的下方，∴关于x的不等式﹣x﹣1＜mx+n的解集是x＞1．在数轴上表示x＞1的解集，只有选项A符合题意，故选：A．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．6．（3分）如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，修路的方法有（）A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种【分析】根据正方形的性质，过对角线的交点，作两条互相垂直的直线即可．【解答】解：∵正方形是中心对称图形，∴经过正方形的对称中心作互相垂直的两条直线，则这两条直线把草地分成的四部分面积相等，故选：D．【点评】本题考查的是中心对称，掌握正方形是中心对称图形以及中心对称图形的性质是解题的关键．7．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，根据一元二次方程根的情况，可得Δ＝4+4a＞0，解出a的取值范围，即可进行判断．【解答】解：根据题意，得Δ＝4﹣4a×（﹣1）＝4+4a＞0，解得a＞﹣1，∵a≠0，∴a的值可以为2，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．8．（3分）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（）A． B． C． D．【分析】根据函数图象可知，小聪从家出发，则图象从原点开始，在10～20分钟休息可解答．【解答】解：由题意可知：小聪某次从家出发，s米表示他离家的路程，所以C，D错误；小聪在凉亭休息10分钟，所以A正确，B错误．故选：A．【点评】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．9．（3分）如图，点A(3a，a)是反比例函数y=kx的图象与⊙A．y=2x B．y=23x 【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积14，即可求得圆的半径，再根据A在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得14πr2＝4π解得：r＝4．∵点A（3a，a）是反比例函数y=kx与⊙∴3a2＝k且(-3a∴a2＝4．∴k=3×4＝4则反比例函数的解析式是：y=4故选：D．【点评】本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝5cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度运动（当点Q运动到点B时，点P，Q同时停止运动）．在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（）A．152cm2 B．92c【分析】依据题意，先根据题意列出函数关系式，再求其最值．【解答】解：设点P的运动时间为x，四边形PABQ面积为y，则AP＝x，CQ＝2x，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，∴CA=AB2∴CP＝3﹣x，∴y=12×3×4-12×2x（3﹣x）＝（∴当x=32时，y有最小值故选：C．【点评】本题考查了二次函数的应用，列函数关系式是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）北京冬季里某一天的气温为﹣3℃～3℃，﹣3℃的含义是．【分析】根据温度的定义，联系生活，想想我们看过的天气预报，从而想到含义．【解答】解：含义是零下3℃．故答案为：零下3℃．【点评】本题考查了负数的定义，理解相反意义的量是关键．12．（3分）不等式组1-2x≥-3x+22＞-1【分析】先求出不等式组的解集，再确定正整数解，最后进行计算即可．【解答】解：1-2x≥-3①解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x＞﹣4，∴不等式组的解集为：﹣4＜x≤2，∴正整数解为1，2，即1+2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练运用不等式性质解一元一次不等式是解题的关键．13．（3分）某校“综合与实践”小组为了解全校2400名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，绘制了如图所示的统计图：（只能单选，每项含最小值，不含最大值）您平均每周阅读课外书的时间大约是A.8小时及以上B.6～8小时C.4～6小时D.0～4小时估计该校2400名学生中，平均每周阅读课外书时间在“6小时及以上”的人数为．【分析】总人数乘以样本中A、B时间段的百分比之和即可．【解答】解：估计该校2400名学生中，平均每周阅读课外书时间在“6小时及以上”的人数为2400×（32%+16%）＝1152（名），故答案为：1152名．【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．14．（3分）我国古代算书《四元玉鉴》记载“二果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱”其大意是：现有九百九十九文钱，共买甜果和苦果一千个．已知九个甜果十一文钱，七个苦果四文钱，请问甜果和苦果各买多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？设甜果买x个，苦果买y个，则可列方程组为．【分析】设甜果买x个，苦果买y个，根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，即可得出关于x，y的二元一次方程组．【解答】解：每个甜果的价格=119（文），每个苦果的价格设甜果买x个，苦果买y个，根据题意，得x+y=100011故答案为：x+y=100011【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．15．（3分）如图所示，在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，AB＝16，EF是△ABC的中位线，D是边AB上一点，AD＝2，P是线段DB上的一个动点，连接EP，DF相交于点O．若△DOP是直角三角形，则OE的长是．【分析】根据△ACB是等腰直角三角形，可得AC＝BC＝82，根据三角形的中位线定理可得CF＝BF＝42，EF=12AB＝8，EF∥AB，分两种情况：①当∠DOP＝90°时，如图1，过点F作FH⊥AB于H，根据勾股定理列方程可解答；②当∠OPD＝90°时，如图2，过点F作FH⊥AB于H，则FH＝BH＝EP＝AP＝4，证明△EFO∽△【解答】解：∵∠A＝∠B＝45°，∴AC＝BC，∠C＝90°，∴△ACB是等腰直角三角形，∵AB＝16，∴AC＝BC＝82，∵EF是△ABC的中位线，∴CF＝BF＝42，EF=12AB＝8，EF∥∴∠EFO＝∠PDO，分两种情况：①当∠DOP＝90°时，如图1，过点F作FH⊥AB于H，∴△BHF是等腰直角三角形，∴BH＝FH＝4，∵AD＝2，∴DH＝16﹣2﹣4＝10，∵tan∠EFO＝tan∠PDO，∴FHDH设OE＝2x，OF＝5x，由勾股定理得：OE2+OF2＝EF2，∴（2x）2+（5x）2＝82，∴x=8∴OE=16②当∠OPD＝90°时，如图2，过点F作FH⊥AB于H，则FH＝BH＝EP＝AP＝4，∵AD＝2，∴PD＝4﹣2＝2，∵EF∥AB，∴△EFO∽△PDO，∴EFDP=OE∴OE=16综上，OE的长为162929或故答案为：162929或【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，三角形中位线定理等知识，运用分类讨论的思想是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（9分）化简：(x解：原式＝[x(x-1)(x+1)(x-1)+解：原式=xx+1•x（1）甲同学解法的依据是，乙同学解法的依据是；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．【分析】（1）根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答；（2）若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答．【解答】解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，故答案为：②；③；（2）若选择甲同学的解法：(x＝[x(x-1)(x+1)(x-1)+=x2-x+=2x2＝2x；若选择乙同学的解法：(x=xx+1•x2=xx+1•(x+1)(x-1)x＝x﹣1+x+1＝2x．【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．17．（9分）2024年3月25日，是第29个全国中小学生安全教育日，为切实增强同学们的安全防范意识和避险能力，保障学生安全，提高学生面临突发安全事件自救自护应变能力，某校在3月份开展了一系列的安全知识讲座以及相应的安全演练，为了解学生对“安全知识”的掌握情况．学校分别从八年级和九年级随机抽取各40名学生进行测试，并收集了这些学生的测试成绩，整理和分析，研究过程中的部分信息如下：信息一：安全知识测试题共10道题目，每题10分；信息二：九年级成绩的频数分布直方图如下：信息三：八年级平均成绩的计算过程如下：60×3+70×17+80×3+90×9+100×83+17+3+9+8信息四：如表所示统计量平均数中位数众数方差九年级82.580n118.75八年级80.5m70174.75根据以上信息，解答下列问题：（1）m＝，n＝；（2）你认为哪个年级的成绩更加稳定？请说明理由；（3）在本次测试中，九年级甲同学和八年级乙同学的成绩均为80分，你认为两人在各自年级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由．（4）学校安排七年级主办一期安全知识宣传板报，要求从A．交通安全，B．食品安全，C．消防安全，D．网络与信息安全，E．心理健康与安全中选择两个主题，请用列表或画树状图的方法求七年级选择D和E的概率．【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）根据方差的意义求解即可；（3）根据中位数的意义求解即可；（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，继而依据概率公式求解即可．【解答】解：（1）九年级成绩的众数n＝80分，八年级成绩的中位数m=70+80故答案为：75、80；（2）由表知，九年级成绩的方差118.75小于八年级成绩的方差174.75，所以九年级成绩更加稳定；（3）乙同学成绩更靠前，因为甲同学成绩正好等于该年级成绩的中位数，而乙同学成绩大于该年级成绩的中位数，所以乙同学成绩更靠前；（4）根据题意列表如下图所示：ABCDEA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）．B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）共有20种等可能的结果，其中七年级选择D和E的有2种结果，所以七年级选择D和E的概率为220【点评】本题考查平均数，中位数，众数，方差的确定或计算，用列表法或画树状图法求等可能事件的概率，掌握相关统计量的确定方法或计算公式，以及用列表法或画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．18．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是BC的中点，连接AD．（1）请用无刻度的直尺和圆规，过点D作直线l垂直于直线AC（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若（1）中所作的直线l与直线AC交于点E，与AB的延长线交于点F．①判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．②若DF＝DA，DE=3，则AD的长为【分析】（1）根据垂线的作图方法画图即可；（2）①连接OD交BC于点G，证明四边形CEDG是矩形得∠ODE＝90°，可证直线EF与⊙O相切；②证明∠AFD＝∠BAD＝∠CAD，结合∠ADE+∠CAD＝90°可求出∠AFD＝∠BAD＝∠CAD＝30°，∠BAC＝60°，从而∠AOD＝120°，利用锐角三角函数求出AB＝4，可得半径，然后根据弧长公式求解即可．【解答】解：（1）如图，直线l即为所求；（2）①如图，连接OD交BC于点G，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵EF⊥AC，∴∠CED＝90°．∵D是BC⌢∴OD⊥BC，∴四边形CEDG是矩形，∴∠ODE＝90°，CG=DE=3∵OD是⊙O的半径，∴直线EF与⊙O相切；②∵D是BC⌢∴∠BAD＝∠CAD．∵OD⊥BC，∴BC=2CG=23∵DF＝DA，∴∠AFD＝∠BAD，∴∠AFD＝∠BAD＝∠CAD，∴∠ADE＝∠BAC＝2∠BAD．∵∠ADE+∠CAD＝90°，∴∠AFD＝∠BAD＝∠CAD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，∴∠AOD＝120°．∵sin∠BAC=BC∴AB=23∴OA＝OB＝2，∴AD⌢的长为：120π×2【点评】本题考查了尺规作图，矩形的判定与性质，垂径定理，切线的判定，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，以及弧长公式，正确作出辅助线是解答本题的关键．19．（9分）水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究：（1）试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每5min记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据．时间t/min510152025…水量y/mL173247a77…（2）探究：根据上表中的数据，请判断y=k1t（k1≠0）和y＝k2t+b（k2≠0，k2，b为常数）哪个解析式能准确的反映水量y与时间t（3）应用：①兴趣小组用100mL量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？②成年人每天大约需饮水1600mL，请估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮用天数．【分析】（2）根据待定系数法求解；（3）①当x＝30代入计算求解；②先求出30天的水量，再用除法求解．【解答】解：（2）y＝k2t+b（k2≠0，k2，b为常数）能准确的反映水量y与时间t的函数关系，由题意得：5k解得：k2∴y＝3x+2，当x＝20时，y＝a＝62；（3）①当x＝30时，y＝92＜100，故在第30分钟量筒没有滴满；②当x＝30×24×60＝43200时，y＝3×43200+2＝129602，129602÷1600＝81……2，∴水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮用81天．【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键．20．（9分）如图①所示的手机平板支架由托板，支撑板和底座构成，如图所示图②是其侧面结构示意图．已知托板长AB＝150mm，支撑板长CD＝603mm，BC＝60mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，可绕C点旋转，支撑板CD可绕点D转动．（结果精确到0.1mm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，（1）若∠DCB＝75°，∠CDE＝60°，点A到底座DE的距离是mm；（2）为了观看舒适，在（1）中的∠DCB＝75°调整成90°．再将CD绕点D顺时针旋转，恰好使点B落在直线DE上，则CD顺时针旋转的角度为°，此时点A到底座DE的距离与（1）中相比是增大了还是减小了？增大或减小了多少？【分析】（1）过点C作CF⊥DE，垂足为F，过点A作AG⊥DE，交ED的延长线于点G，过点C作CH⊥AG，垂足为H，根据题意可得：CF＝GH，CH∥DE，从而可得∠DCH＝∠CDE＝60°，然后在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再利用平角定义可得∠ACH＝45°，利用线段的和差关系可得AC＝90mm，最后在Rt△ACH中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）过点A作AM⊥DE，垂足为M，在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义可得tanD=33，从而可得∠D＝30°，进而可求出CD顺时针旋转的角度，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DBC＝60°，从而在Rt△ABM中，利用锐角三角函数的定义球场【解答】解：（1）过点C作CF⊥DE，垂足为F，过点A作AG⊥DE，交ED的延长线于点G，过点C作CH⊥AG，垂足为H，由题意得：CF＝GH，CH∥DE，∴∠DCH＝∠CDE＝60°，在Rt△CDF中，∠CDE＝60°，CD＝603mm，∴CF＝CD•sin60°＝603×32∵∠DCB＝75°，∴∠ACH＝180°﹣∠DCB﹣∠DCH＝45°，∵AB＝150mm，BC＝60mm，∴AC＝AB﹣BC＝150﹣60＝90（mm），在Rt△ACH中，AH＝AC•sin45°＝90×22=452∴AG＝AH+HG＝452+90≈153.5（mm∴点A到底座DE的距离约为153.5mm，故答案为：153.5；（2）过点A作AM⊥DE，垂足为M，∵∠DCB＝90°，CD＝603mm，BC＝60mm，∴tanD=BC∴∠D＝30°，∴CD顺时针旋转的角度＝60°﹣30°＝30°，∵∠DCB＝90°，∠D＝30°，∴∠DBC＝90°﹣∠D＝60°，在Rt△ABM中，AB＝150mm，∴AM＝AB•sin60°＝150×32=753∴此时点A到底座DE的距离为753mm，∵153.5﹣753≈23.7（mm∴此时点A到底座DE的距离与（1）中相比是减小了23.7mm，故答案为：30．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21．（10分）习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书．已知每本甲种书比每本乙种书多10元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费1750元和1250元．（1）求甲、乙两种书的单价．（2）如果学校决定再次购买甲、乙两种书共100本，总费用不超过2800元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？【分析】（1）设甲种书的单价为x元，则乙种书的单价为（x﹣10）元，根据购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费1750元和1250元求解即可；（2）设该校购买了甲种书m本，则购买了乙种书（100﹣m）本，根据购买甲、乙两种书共100本，总费用不超过2800元，列不等式求解即可．【解答】解：（1）设甲种书的单价为x元，则乙种书的单价为（x﹣10）元，由题意得1750x解得x＝35，经检验，x＝35是原分式方程的解，且符合实际．∴x﹣10＝35﹣10＝25，答：甲、乙两种书的单价分别为35元、25元．（2）设该校购买了甲种书m本，则购买了乙种书（100﹣m）本，则35m+25（100﹣m）≤2800，解得：m≤30，∴该校最多购买30本甲种书．【点评】本题主要考查了分式方程及不等式的应用，读懂题意，正确找出相等关系和不等关系是解题的关键．22．（10分）根据以下素材，探索并完成任务．探究汽车刹车性能“道路千万条，安全第一条”．刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）．素材1刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始开始踩刹车到汽车完全停止，汽车所行驶的时间．刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离．素材2汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下：刹车后汽车行驶时间t（s）1234刹车后汽车行驶距离y（m）27486372素材3该兴趣小组成员发现：①刹车后汽车行驶距离y（单位：m）与行驶时间t（单位：s）之间具有函数关系y＝at2+bt（a≠0）、a、b为常数）；②刹车后汽车行驶距离y随行驶时间t的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．问题解决：请根据以上信息，完成下列任务．任务一：求y关于t的函数解析式．任务二：汽车司机发现正前方90m处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由．【分析】（1