2.3有理数的乘除运算（1）-北师大版数学七上同步分层训练

.3有理数的乘除运算（1）-北师大版数学七上同步分层训练一、基础训练1．下列四个算式中，正确的是（）A．−2×0=−2 B．0−−8=8 C．−42．若a+3+b−2=0A．1 B．−1 C．−6 D．93．已知五个有理数中至少有一个是正数，若这五个有理数的积是负数，那么这五个数中，负数的个数是（）A．1 B．1或3 C．2或4 D．54．对于有理数a，b，定义新运算：a◎b=4ab，则3◎−4A．12 B．−48 C．−12 D．485．下列各式，积是正数的是（）A．0×−3×4×−9C．2×5×−7 D．6．有理数的乘法法则：两数相乘，同号得，得负，并把相乘.任何数同0相乘，都得.7．在数-6、1、-3、5、-2中任取两个数相乘，其中最大的积是，最小的积是．8．计算：（1）（+4）×（－5）；（2）（－0.125）×（－8）；（3）（－213）×（－3（4）0×（－13.52）；（5）（－3.25）×（+2139．计算（1）15+(−（2）(−10．计算：（1）12+（﹣17）﹣（﹣23）（2）12二、巩固提升11．已知ab≠0，试求aaA．3 B．−3 C．3或−1 D．3或−3或−112．如果两个有理数x，y满足x+y>0，且xy<0，那么下列说法正确的是（）A．x，y都是正数B．x，y都是负数C．x，y中一个正数一个负数，且正数的绝对值较大D．x，y中一个正数一个负数，且负数的绝对值较大13．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a>-b B．|a|>|b| C．a+b>0 D．ab>014．下列说法中正确的有()①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③互为相反数的两数相乘，积一定为负；④两个有理数的积的绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积．A．1个 B．2个C．3个 D．4个15．若对于自然数a，b，c，d，定义abcd表示运算ad−bc，则16．数学运算其妙无穷，小明在学习有理数时发现，存在两个有理数之和等于这两个有理数之积，如32+3=317．如果实数a、b满足ab＜0且a+b＞0．则实数a、b的符号为（）A．a>0，B．a<0，b<0且C．a>0，b<0且D．a<0，b>0且18．已知a、b为有理数，且a<0，ab<0，a+b<0，则下列结论：①b（a+b）>0；②a>19．计算：（1）(−40)−(−28)−(−19)+(−24)（2）−0（3）4（4）(−20．小明坚持跑步锻炼身体，他以30分钟为基准，将连续七天的跑步时间（单位：分钟）记录如下：12，－9，11，－7，13，15，－5（超过30分钟的部分记为“＋”．不足30分钟的部分记为“－”）（1）跑步时间最长的一天比最短的一天多跑几分钟？（2）若小明跑步的平均速度为每分钟0.15千米，请你计算这七天他共跑了多少千米？三、能力应用21．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=s×t(s，t是正整数，且s≤t)，如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F(n)=pq.例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F(18)=36=1222．下列说法正确的序号是．①已知a，b，c是非零的有理数，且abcabc=−1时，则aa②已知a，b，c是有理数，且a+b+c=0，abc<0时，则b+ca+a+c③已知x≤4时，那么x+3−x−4的最大值为7，最小值为④若a=b且a−b=23⑤如果定义a,b=a+ba>b0a=bb−aa<b，当ab<0，a+b<023．探究规律，完成相关题目：小明说：“我定义了一种新的运算，叫Δ（加乘）运算；”然后他写出了一些按照Δ（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：+5Δ+2=+7；−1−2Δ+3=−5；−30Δ+8=8；0Δ−8小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的Δ（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？（1）观察以上式子，类比计算：①−4Δ−6=；②（2）−2Δ0（3）若2−aΔb−4=0

答案解析部分1．【答案】B【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则【解析】【解答】解：A、−2×0=0B、0−−8C、−4×D、−3−3=−6，原计算错误，不符合题意．故答案为：B．

【分析】根据0乘任何数结果为0；，异号两数相乘确定积的符号，绝对值再相乘。有理数减法法则计算，进行判断选项是否正确.2．【答案】C【知识点】有理数的乘法法则；绝对值的非负性【解析】【解答】解：∵a+3+∴a+3=0，b−2=0．∴a=−3，b=2；∴ab=−3×2=−6，故答案为：C．

【分析】先利用非负数之和为0的性质求出a=−3，b=2，再将其代入ab计算即可.3．【答案】B【知识点】有理数的乘法法则【解析】【解答】解：∵其中至少有一个正数的5个有理数的积是负数，∴这五个因数中负因数的个数肯定为奇数，即1或3个．故答案为：B．

【分析】利用有理数乘法的计算方法（若负数的个数为奇数则结果为负数；若负数的个数为偶数则结果为正数；若有一个数为0，则结果为0）分析求解即可.4．【答案】B【知识点】有理数的乘法法则【解析】【解答】解：∵a◎b=4ab，∴3◎−4故选：B．【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，根据新定义计算法则，结合有理数的乘法运算法则，进行计算求值，即可得到答案.5．【答案】B【知识点】有理数的乘法法则【解析】【解答】解：A、0乘以任意数积为0，不符合题意；B、两负一正，积为正，符合题意；C、一负两正，积为负，不符合题意；D、三负，积为负，不符合题意；故选：B．【分析】本题考查了有理数的乘法，根据两个有理数的符号相同，即都是正数或都是负数，那么它们的乘积为正数。如果两个有理数的符号不同，即一个是正数，另一个是负数，那么它们的乘积为负数；任何数与零相乘得零：如果在有理数乘法中有一个乘数为零，据此计算，即可得到答案.6．【答案】正；异号；绝对值；0【知识点】有理数的乘法法则【解析】【解答】有理数乘法法则内容．【分析】有理数乘法法则内容．7．【答案】18；-30【知识点】有理数的乘法法则【解析】【解答】解：由题意可知，当-6×（-3）=18时，积最大当-6×5=-30时，积最小故答案为：18；-30【分析】最大的积，当两数同号时积为正．当两数异号时积为负，即可解决最大积和最小积的问题8．【答案】（1）-20，（2）1，（3）1，（4）0，（5），（6）5.76【知识点】有理数的乘法法则【解析】【解答】（1）原式=-20；（2）原式=-18×（-8=1）；（3）原式-73×（-37【分析】①再有理数的乘法运算中，如含有带分数，把带分数化为假分数；如含有小数通常把小数化成分数，便于计算；一般直接进行计算．②任何数与0相乘都得0．9．【答案】（1）解：15+(−=15−=0；（2）解：(−=1【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的乘法法则【解析】【分析】（1）先转化为省略括号的和的形式，然后利用加法的交换律和结合律进先计算即可；

（2）利用几个不是0的有理数的乘法法则进行计算即可.10．【答案】（1）解：原式=12﹣17+23=18（2）解：原式=12×23×94=﹣4【知识点】有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则【解析】【分析】（1）根据有理数的加减法则进行计算即可。

（2）先将带分数化成假分数，再利用有理数的乘法法则进行计算即可。11．【答案】C【知识点】有理数的乘法法则；化简含绝对值有理数【解析】【解答】解：①当a>0、b>0，则ab>0，原式=1+1+1=3，②当a>0、b<0，则ab<0，原式=−1+−1③当a<0、b>0，则ab<0，原式=−1+1−1=−1，④当a<0、b<0，则ab>0，原式=−1−1+1=−1，故答案为：C．【分析】分别求出当a>0、b>0，时aa+bb+abab的值为3，同理分别求当a>0、b<0，当a<0、b>012．【答案】C【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则【解析】【解答】解：∵xy<0，∴x和y异号，即一个为正数，一个为负数，故选项A、B错误，∵x+y>0，且一个正数一个负数，∴正数的绝对值大于负数的绝对值，故选项C正确，选项D错误．故答案为：C．

【分析】利用x+y>0，且xy<0，可得一个为正数，一个为负数且正数的绝对值大于负数的绝对值，再逐项分析判断即可.13．【答案】B【知识点】有理数的乘法法则；有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-数轴比较法；有理数的加法法则【解析】【解答】解：A：由数轴知a＜0，-b＜0，且|a|>|b|，根据绝对值大的反而小，即可得出a＜-b，故而得出A不正确；

B：根据a，b在数轴上所对应点的位置可得出|a|>|b|，故而B正确；

C：根据a＜0，b＞0，且|a|>|b|，可得出a+b＜0，即可得出C不正确；

D：根据a＜0，b＞0，可得出ab＜0，故而得出D不正确。故答案为：B.【分析】根据数轴可得出a，b的正负号，以及a，b绝对值的大小，然后再根据相反数的意义，有理数加法法则，有理数乘法法则，逐项进行判断，即可得出答案。14．【答案】B【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘法法则【解析】【分析】根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，以及利用互为相反数和绝对值的性质，分别判断得出即可．

【解答】①两负数相乘，符号变为正号；此选项错误；

②异号两数相乘，积取负号；此选项正确；

③互为相反数的两数相乘，积不一定为负可能为0，故此选项错误；

④两个有理数的积绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积，此选项正确．

故正确的有2个．

故选：B．

【点评】此题主要考查了有理数的乘法运算法则以及绝对值得性质等知识，熟练应用法则与性质是解题关键．15．【答案】−1【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则【解析】【解答】解：由题可得：∵ab∴37故答案：−1．【分析】根据新运算，结合有理数的乘法，减法即可求出答案.16．【答案】4【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则【解析】【解答】解：∵43故答案为：43【分析】本题考查了有理数的计算，有理数的加法是将两个或多个有理数相加，得到它们的和。在进行有理数加法运算时，将所有的有理数写成相同的分数形式；将分数的分子相加，分母保持不变；如果有分数的和大于1，可以化为带分数形式或者将其转化为最简分数形式；如果有理数中有正数和负数，可以将其转化为一个正数和一个负数相加的形式，即可求解.17．【答案】C【知识点】有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则【解析】【解答】解：∵ab＜0，∴a、b异号，可排除A、B项，

又∵a+b＞0，∴a、b两数中正数的绝对值大于负数的绝对值，∴C项正确，D项错误.

故答案为：C.

【分析】由ab＜0可知a、b两数不同号；再根据a+b＞0可知a、b两数中正数的绝对值大于负数的绝对值，据此选择即可.18．【答案】②③④【知识点】有理数的乘法法则；化简含绝对值有理数；有理数的加法法则【解析】【解答】解：∵a<0，∴b>0，−a>0，∴b（a+b）<0，a>b，−b<0，∴a<−b<b<−a，a−b−a+b−2故答案为：②③④．【分析】本题主要考查了绝对值的定义与运算、有理数的乘法运算法则、以及有理数的比较大小，根据a<0，ab<0，a+b<0，得到b>0，−a>0，进而求得b（a+b）19．【答案】（1）解：(−40)−(−28)−(−19)+(−24)=−40+28+19−24=−17；（2）解：−0=−0=(−0=−9+7=−2；（3）解：4==1（4）解：(−=−=20−(−15)+(−12)−(−28)=20+15−12+28=51．【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加、减混合运算；有理数的乘法法则【解析】【分析】（1）利用有理数的加减法则计算求解即可；

（2）利用有理数的加减法则计算求解即可；

（3）利用有理数的乘法法则计算求解即可；

（4）利用有理数的加减法则计算求解即可。20．【答案】（1）15−(−9)=24（分钟）答：跑得最多的一天比最少的一条多跑24分钟．（2）七天跑步总时间30×7+(12−9+11−7+13+15−5)=240（分钟）．七天跑步路程0.答：这七天小明共跑了36千米．【知识点】正数、负数的实际应用；有理数减法的实际应用；有理数乘法的实际应用【解析】【分析】（1）找出正负数中的最大值和最小值，计算差值；

（2）计算总跑步时间后，乘以速度求总距离.21．【答案】①④【知识点】有理数的乘法法则【解析】【解答】解：①∵2＝1×2，

∴F（2）＝12是正确的；

故①正确；

②∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，

∴F（24）＝46=23，

故②是错误的；

③∵27＝1×27＝3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，

∴F（27）＝13，

故③是错误的；

④∵n是一个整数的平方，

∴n能分解成两个相等的数，则F（n）＝1，

故④是正确的．

综上，正确的是①④．22．【答案】①③④⑤【知识点】有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义；化简含绝对值有理数；有理数的加法法则【解析】【解答】解：①已知a，b，c是非零的有理数，当|abc|abc=−1时，abc<0，

若a，b，c都是负数，设a<0、b<0、c<0，则若a，b，c中有一个负数，设a<0、b>0、c>0，此时|a|a+|b|b+②∵a，b，c是有理数，且a+b+c=0，∴a+b=−c，b+c=−a，a+c=−b，则b+c|a|∵abc<0，

∴a，b，c都是负数，或两正一负；当a、b、c都是负数，此时a+b+c<0，与a+b+c=0矛盾，故不存在；∴a、b、c两正一负，令a<0，b>0，c>0，则原式=−a−a+−bb③当x≤4时，分两种情况：当x≤−3时，x+3<0，x－4<0，∴|x+3|−|x−4|=−x−3−(4−x)=−7，当−3<x≤4时，x+3>0，x－4<0，|x+3|−|x−4|=x+3−4−x故x≤4时，|x+3|−|x−4|的最大值为7，最小值为−7，故说法③正确；④∵a=b，∴a=b，或a=﹣b.

∵|a−b|=23，∴a≠b，∴a=−b，不妨a=13，则则a+b−abb2+1⑤当ab<0时，a、b异号，又∵a+b<0，∴负数的绝对值大于正数的绝对值.又∵|a|>|b|，∴a<0，b>0，∴a<b，∵a，b∴{a，b}=b−a，故说法⑤正确．故答案为：①③④⑤．

【分析】①根据