2024年河南省洛阳市中考数学二模试卷及答案

2024年河南省洛阳市中考数学二模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。1．（3分）下列各数中最大的数是（）A．﹣5 B．0 C．﹣1 D．52．（3分）榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（）A． B． C． D．3．（3分）2024年清明节假期，洛阳地铁客流刷新历史最高纪录，4月5日地铁日客运量54.32万人次，创历史新高．数据“54.32万”用科学记数法表示为（）A．54.32×104 B．5.432×104 C．5.432×105 D．5.432×1064．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝35°，则∠3的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°5．（3分）下列计算，结果正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．（3a）2＝9a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．a6÷a2＝a36．（3分）不等式组x-2＜33x+1≥2xA．x＜5 B．1≤x＜5 C．﹣1≤x＜5 D．x≤﹣17．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m＞3 C．m≤3 D．m＜38．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则ACBDA．12 B．22 C．329．（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）A．x240=x+12150 C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12）10．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD=2，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t（s），正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，图象如图2所示，则线段ABA．6 B．8 C．32 D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若式子x-5x有意义，则x的取值范围是12．（3分）计算a2a+1-a+113．（3分）某班准备从《歌唱祖国》《我的祖国》《走进新时代》《十送红军》四首歌曲中选择两首进行排练，参加即将举办的“建国七十五周年”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是．14．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，若∠ACD＝120°，CD＝23，则图中阴影部分的面积为.（结果用含π的式子表示）．15．（3分）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．将边AB绕点A逆时针旋转得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F（旋转角为α，0°＜α＜180°），当点F、E、D三点共线时，线段BF的长为．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（10分）（1）计算：|-3|+(-2024)（2）化简：（2a﹣b）（2a+b）﹣a（a﹣3b）．17．（9分）我市某校为了解九年级学生体育备考情况，对全校九年级240名男生进行了体育测试，并随机抽取甲、乙两个班（两班男生人数相同）各10名男生的跳绳测试成绩并整理、描述、分析．【收集数据】甲、乙两班10名男生的跳绳成绩（单位：次）如下：甲：135149198150160123155160137186乙：100132133146146152164173197210【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量．统计量班级平均数中位数众数甲155.3152.5b乙155.3a146根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a＝，b＝；（2）综合上表中的统计量，你认为哪一个班的男生成绩较好，并说明理由；（3）洛阳市2024年中招体育考试九年级终结性评价评分标准规定：跳绳男子满分标准为150次，估计该校本次测试成绩满分的男生人数．18．（9分）已知：点P是⊙O外一点．（1）尺规作图：如图，以OP为直径作⊙O交⊙O于E，F两点，连接OP，PE，PF；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，求证：PE，PF是⊙O的切线；（3）在（1）（2）的条件下，若点D在⊙O上（点D不与E，F两点重合），且∠EPF＝50°，则∠EDF的度数为．19．（9分）如图，菱形OABC的边OC在x轴正半轴上，点A的坐标（3，4），反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过BC的中点（1）求k的值；（2）AB的垂直平分线交反比例函数y=kx(x＞0)的图象于点E，连接AE、OE20．（9分）近年来我市大力实施河渠综合治理，水域治理效果显著，不仅有效改善了小环境，提升城市的防洪能力，同时也提升了群众生活的幸福指数和城市美丽指数．为了满足市民健康和休闲的需要，我市某区在一条东西走向的小河AB的两侧开辟了两条健康步道，如图所示，小河北岸的步道由三个半圆形组成．经数学兴趣小组勘测，点C在点A的南偏东53°方向5千米处，点C在点B的南偏西45°方向．该小组成员小聪认为小河北岸健康步道的长度不超过10千米．请通过计算判断小聪的说法是否正确（结果精确到1千米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，π取3.14）．21．（9分）洛邑古城，被誉为“中原渡口”，截至目前景区总接待游客量突破2600万人次，日接待游客量最高突破10万人次．是集游、玩、吃、住、购于一体的综合性人文旅游观光区，近期被大数据评为“第一热门汉服打卡地”．洛邑古城内某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．若该商铺采购9件A种和6件B种共需330元；若采购5件A种和3件B种共需175元．两种饰品的售价均为每件30元；（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？（2）该商铺计划采购这两种饰品共400件进行销售，其中A种饰品的数量不少于150件，且不大于300件．实际销售时，若A种饰品的数量超过250件时，则超出部分每件降价3元销售．①求该商铺售完这两种饰品获得的利润y（元）与购进A种饰品的数量x（件）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．22．（10分）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M上，且点N的纵坐标和横坐标相等时，则称这个点为图形M的“梦之点”．（1）点G（﹣3，﹣3）是反比例函数y1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”（2）如图，已知点A，B是抛物线y=-12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接AC（3）在0＜x＜2的范围内，若二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象上至少存在一个“梦之点”，则m的取值范围是．23．（10分）【综合与实践】在一次综合实践活动课上，张老师组织学生开展“如何仅通过折纸的方法来确定特殊平行四边形纸片一边上的三等分点”的探究活动．【操作探究】“求知”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，对正方形ABCD进行了如下操作：第1步：如图1所示，先将正方形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；第2步：将BC边沿CE翻折到GC的位置；第3步：延长EG交AD于点H，则点H为AD边的三等分点．证明过程如下：连接CH，∵正方形ABCD沿CE折叠，∴∠D＝∠B＝∠CGH＝90°，①_____，又∵CH＝CH，∴△CGH≌△CDH，∴GH＝DH．由题意可知E是AB的中点，设AB＝2a，DH＝x，则AE＝BE＝EG＝a，在Rt△AEH中，可列方程：②_____，（方程不要求化简）解得：DH＝③_____，即H是AD边的三等分点．“励志”小组对矩形纸片ABCD进行了如下操作：第1步：如图2所示，先将矩形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；第2步：再将矩形纸片ABCD沿对角线BD翻折，再展开铺平，折痕为BD，沿CE翻折得折痕CE交BD于点G；第3步：过点G折叠矩形纸片ABCD，使折痕MN∥AD．【过程思考】（1）“求知”小组的证明过程中，三个空所填的内容分别是①：，②：，③：；（2）“励志”小组经过上述操作，认为点M为AB边的三等分点，请你判断“励志”小组的结论是否正确，并说明理由．【拓展提升】如图3，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，E是BD上的一个三等分点，记点D关于AE的对称点为D'，射线ED'与菱形ABCD的边交于点F，请直接写出D′F的长．

2024年河南省洛阳市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。1．（3分）下列各数中最大的数是（）A．﹣5 B．0 C．﹣1 D．5【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．【解答】解：∵﹣5＜﹣1＜0＜5∴最大的数是：5．故选：D．【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．2．（3分）榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（）A． B． C． D．【分析】直接利用俯视图即从物体的上面观察得到视图即可．【解答】解：如图所示，俯视图为：．故选：B．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确掌握观察角度是解题关键．3．（3分）2024年清明节假期，洛阳地铁客流刷新历史最高纪录，4月5日地铁日客运量54.32万人次，创历史新高．数据“54.32万”用科学记数法表示为（）A．54.32×104 B．5.432×104 C．5.432×105 D．5.432×106【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：54.32万＝543200＝5.432×105，故选：C．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．4．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝35°，则∠3的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°【分析】由平行线的性质求出∠OFB＝25°，由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝35°，由三角形外角的性质即可求出∠3的度数．【解答】解：如图，∵AB∥OF，∴∠1+∠OFB＝180°，∵∠1＝155°，∴∠OFB＝25°，∵∠POF＝∠2＝35°，∴∠3＝∠POF+∠OFB＝35°+25°＝60°．故选：D．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出∠OFB的度数，由对顶角的性质得到∠POF的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．5．（3分）下列计算，结果正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．（3a）2＝9a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．a6÷a2＝a3【分析】根据完全平方公式和合并同类项及幂的乘方、积的乘方运算法则逐项分析判断即可．【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；B、（3a）2＝9a2，正确，符合题意；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故错误，不符合题意；D、a6÷a2＝a4，故错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了整式的运算，熟练掌握完全平方公式是关键．6．（3分）不等式组x-2＜33x+1≥2xA．x＜5 B．1≤x＜5 C．﹣1≤x＜5 D．x≤﹣1【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．【解答】解：x-2＜3①解不等式①，得x＜5，解不等式②，得x≥﹣1，所以不等式组的解集是﹣1≤x＜5．故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．7．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）≥0，然后解关于m的不等式即可．【解答】解：根据题意，得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）≥0，解得m≤3，故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．8．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则ACBDA．12 B．22 C．32【分析】由菱形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD=12∠【解答】解：设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD=12∠∴BO=3AO∵AOBO∴ACBD故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．9．（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）A．x240=x+12150 C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12）【分析】由慢马先行12天，可得出快马追上慢马时慢马行了（x+12）天，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马，∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天．根据题意得：240x＝150（x+12）．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．10．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD=2，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t（s），正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，图象如图2所示，则线段ABA．6 B．8 C．32 D．【分析】当点P由点B运动到点A时，S是关于t的二次函数，此时点P与点B重合．易得DP的长为6，根据勾股定理可得PC的长，也就是BC的长，可得抛物线经过的点的坐标．用顶点式表示出抛物线的解析式，把求得的点的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式．取S＝18，即可求得对应的t的值，根据点P的运动速度可得点P运动的总路程，减去BC的长即为AB的长．【解答】解：当S＝6时，DP=6∵∠C＝90°，CD=2∴CP＝2．即BC＝2．∴抛物线经过点（2，6）．∵抛物线的顶点坐标为（4，2），∴设抛物线的解析式为S＝a（t﹣4）2+2（a≠0）．∴6＝4a+2．解得：a＝1．∴s＝（t﹣4）2+2．当s＝18时，18＝（t﹣4）2+2．解得：t1＝0（不合题意，舍去），t2＝8．∵点P的运动速度为1个单位，∴点P的运动路程为8．∴AB＝8﹣2＝6．故选：A．【点评】本题考查动点问题的函数图象．根据所给的抛物线上的点的坐标判断出二次函数的解析式是解决本题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若式子x-5x有意义，则x的取值范围是【分析】根据分式的分母不为0和二次根式的被开平方数大于等于0进行求解．【解答】解：由题意得x﹣5≥0且x≠0，解得x≥5，故答案为：x≥5．【点评】本题考查了分式和二次根式定义的应用能力，掌握分式和二次根式定义是关键．12．（3分）计算a2a+1-a+1【分析】通分，化成同分母的分式，然后根据同分母分式相加减的法则计算即可．【解答】解：a=a=1故答案为：1a+1【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是掌握分式的基本性质，能将分式通分和约分．13．（3分）某班准备从《歌唱祖国》《我的祖国》《走进新时代》《十送红军》四首歌曲中选择两首进行排练，参加即将举办的“建国七十五周年”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是．【分析】根据题意，画出相应的树状图，然后即可求得该班恰好选中前面两首歌曲的概率．【解答】解：设《歌唱祖国》、《我的祖国》、《走进新时代》、《十送红军》分别对应A、B、C、D，树状图如下所示，，由上可得，一共有12种等可能性，其中该班恰好选中前面两首歌曲的有2种可能性，∴该班恰好选中前面两首歌曲的概率为212故答案为：16【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．14．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，若∠ACD＝120°，CD＝23，则图中阴影部分的面积为.（结果用含π的式子表示）．【分析】由圆周角定理求得∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可解答．【解答】解：连接OC，∵过点C作⊙O的切线，∴∠DCO＝90°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACD＝120°，∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，tan∠BOC=CDOC=tan60°，CD∴23解得OC＝2，∴阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形BOC=12×故答案为：23【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，扇形的面积公式及解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键．15．（3分）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．将边AB绕点A逆时针旋转得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F（旋转角为α，0°＜α＜180°），当点F、E、D三点共线时，线段BF的长为．【分析】分为两种情况：当点E在DF上时，连接AF，可证得Rt△ABF≌Rt△AEF，从而BF＝EF，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，可利用勾股定理求得DE，然后在Rt△DCF中利用勾股定理求得BF的值；当点E在FD的延长线上时，同样方法求得结果．【解答】解：如图1，当点E在DF上时，连接AF，∵∠AEF＝∠B＝90°，AE＝AB，AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL），∴BF＝EF，设BF＝EF＝x，则CF＝5﹣x，由旋转得：AE＝AB＝3，∵EF⊥AE，∴∠AED＝∠AEF＝90°，∵AD＝5，∴DE=AD在Rt△DCF中，由勾股定理得，CF2+CD2＝DF2，∴（5﹣x）2+32＝（x+4）2，∴x＝1，∴BF＝1，如图2，当点E在FD的延长线上时，同理上可得：EF＝BF，DE＝4，设EF＝BF＝a，则DF＝a﹣4，CF＝a﹣5，∴（a﹣5）2+32＝（a﹣4）2，∴a＝9，∴BF＝9，综上所述：BF＝1或9．故答案为：1或9．【点评】本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（10分）（1）计算：|-3|+(-2024)（2）化简：（2a﹣b）（2a+b）﹣a（a﹣3b）．【分析】（1）先根据绝对值的性质，零指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；（2）先算乘法，再算加减即可．【解答】解：（1）|-3|+(-2024=3+1-3+1=11（2）（2a﹣b）（2a+b）﹣a（a﹣3b）＝4a2﹣b2﹣a2+3ab＝3a2﹣b2+3ab．【点评】本题考查的是平方差公式，实数的运算及单项式乘多项式，熟知以上知识是解题的关键．17．（9分）我市某校为了解九年级学生体育备考情况，对全校九年级240名男生进行了体育测试，并随机抽取甲、乙两个班（两班男生人数相同）各10名男生的跳绳测试成绩并整理、描述、分析．【收集数据】甲、乙两班10名男生的跳绳成绩（单位：次）如下：甲：135149198150160123155160137186乙：100132133146146152164173197210【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量．统计量班级平均数中位数众数甲155.3152.5b乙155.3a146根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a＝，b＝；（2）综合上表中的统计量，你认为哪一个班的男生成绩较好，并说明理由；（3）洛阳市2024年中招体育考试九年级终结性评价评分标准规定：跳绳男子满分标准为150次，估计该校本次测试成绩满分的男生人数．【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；（2）平均数相同，利用中位数和众数的意义比较即可；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）乙：100132133146146152164173197210，∵中间的两个数据为146和152，∴中位数a=146+152甲：123135137149150155160160186198，∵160出现的次数最多，∴众数b＝160．故答案为：149，160；（2）甲班成绩较好，∵甲、乙两班样本的平均数相同，但甲班的中位数和众数均高于乙班，所以甲班成绩较好．（3）240×11答：该校满分人数约为132人．【点评】此题考查了用样本估计总体，算术平均数，中位数，众数，解决本题的关键是掌握相关统计量的定义和意义．18．（9分）已知：点P是⊙O外一点．（1）尺规作图：如图，以OP为直径作⊙O交⊙O于E，F两点，连接OP，PE，PF；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，求证：PE，PF是⊙O的切线；（3）在（1）（2）的条件下，若点D在⊙O上（点D不与E，F两点重合），且∠EPF＝50°，则∠EDF的度数为．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）证明OE⊥PE，OF⊥PF即可；（3）分点D在优弧，劣弧上分别求解．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：连接OE，OF，∵OP是⊙O′的直径，∴∠PEO＝∠PFO＝90°，∴OE⊥PE，OF⊥PF，PE，PF是⊙O的切线；（3）解：当点D在优弧EF上时，∵∠OEP＝∠OFP＝90°，∴∠EOF+∠EPF＝180°，∵∠EPF＝50°，∴∠EOF＝130°，∴∠EDF=12∠当D′在劣弧EF上时，∠ED′F+∠EDF＝180°，∴∠ED′F＝180°﹣65°＝115°．故答案为：65°或115°．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．（9分）如图，菱形OABC的边OC在x轴正半轴上，点A的坐标（3，4），反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过BC的中点（1）求k的值；（2）AB的垂直平分线交反比例函数y=kx(x＞0)的图象于点E，连接AE、OE【分析】（1）根据点A坐标和菱形条件求出点D坐标即可得到k值；（2）先求出点E坐标，根据S△AOE＝S△AOH+S梯形AHFE﹣S△FOE代入数据计算即可．【解答】解：（1）∵A点坐标（3，4）∵四边形OABC是菱形，∴C（5，0），B（8，4），∴D(13∴k＝13．（2）∵E在AB的垂直平分线上，E点横坐标为112把x=112代入y=13∴E(11过A作AH⊥x轴于H，AB的垂直平分线交x轴于F，则S△AOE＝S△AOH+S梯形AHFE﹣S△FOE=1【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k值几何意义是关键．20．（9分）近年来我市大力实施河渠综合治理，水域治理效果显著，不仅有效改善了小环境，提升城市的防洪能力，同时也提升了群众生活的幸福指数和城市美丽指数．为了满足市民健康和休闲的需要，我市某区在一条东西走向的小河AB的两侧开辟了两条健康步道，如图所示，小河北岸的步道由三个半圆形组成．经数学兴趣小组勘测，点C在点A的南偏东53°方向5千米处，点C在点B的南偏西45°方向．该小组成员小聪认为小河北岸健康步道的长度不超过10千米．请通过计算判断小聪的说法是否正确（结果精确到1千米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，π取3.14）．【分析】过C作CD⊥AB于D，垂足为D，在Rt△ACD中，利用三角函数求出CD，AD，在Rt△BCD中，求得BD，再AB＝AD+BD，比较即可．【解答】解：小聪说法不正确，理由如下，过C作CD⊥AB于D，垂足为D，由题意得，∠CAD＝90°﹣53°＝37°，∠CBD＝45°，AC＝5千米，在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，∴CD＝AC•sin37°≈5×0.6＝3（千米），∴AD＝AC•cos37°≈5×0.8＝4（千米），在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝3千米，∴AB＝AD+BD＝7千米，∴北岸健康步道的长度为：12×73π×3∵11＞10，因此小聪的说法不正确．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．21．（9分）洛邑古城，被誉为“中原渡口”，截至目前景区总接待游客量突破2600万人次，日接待游客量最高突破10万人次．是集游、玩、吃、住、购于一体的综合性人文旅游观光区，近期被大数据评为“第一热门汉服打卡地”．洛邑古城内某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．若该商铺采购9件A种和6件B种共需330元；若采购5件A种和3件B种共需175元．两种饰品的售价均为每件30元；（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？（2）该商铺计划采购这两种饰品共400件进行销售，其中A种饰品的数量不少于150件，且不大于300件．实际销售时，若A种饰品的数量超过250件时，则超出部分每件降价3元销售．①求该商铺售完这两种饰品获得的利润y（元）与购进A种饰品的数量x（件）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．【分析】（1）设A饰品每件的进价是a元，B饰品每件的进价是b元，根据题意列方程组并求解即可；（2）①根据题意，购进B种饰品的数量是（400﹣x）件，并确定x的确定范围，分别根据“当150≤x≤250时，获得的利润＝（A种饰品的售价﹣A种饰品的进价）×A种饰品的数量+（B种饰品的售价﹣B种饰品的进价）×B种饰品的数量”和“当250＜x≤300时，获得的利润＝（A种饰品的售价﹣A种饰品的进价）×250+（A种饰品的售价﹣3﹣A种饰品的进价）×A种饰品超出250件那部分的数量+（B种饰品的售价﹣B种饰品的进价）×B种饰品的数量”写出y与x之间的函数关系式即可；②根据y关于x的函数的增减性和x的取值范围，分别计算两种情况下y的最大值并比较大小，取其中较大的一个，并计算对应（400﹣x）的值即可．【解答】解：（1）设A饰品每件的进价是a元，B饰品每件的进价是b元．根据题意，得9a+6b=3305a+3b=175解得a=20b=25∴A饰品每件的进价是20元，B饰品每件的进价是25元．（2）①购进B种饰品的数量是（400﹣x）件．根据题意，得150≤x≤300．当150≤x≤250时，y＝（30﹣20）x+（30﹣25）（400﹣x）＝5x+2000；当250＜x≤300时，y＝（30﹣20）×250+（30﹣20﹣3）（x﹣250）+（30﹣25）（400﹣x）＝2x+2750；∴y=5x+2000(150≤x≤250)②当150≤x≤250时，y＝5x+2000，∵5＞0，∴y随x的增大而增大，∵150≤x≤250，∴当x＝250时，y值最大，y最大＝5×250+2000＝3250；当250＜x≤300时，y＝2x+2750，∵2＞0，∴y随x的增大而增大，∵250＜x≤300，∴当x＝300时，y值最大，y最大＝2×300+2750＝3350；∵3350＞3250，∴当购进A种饰品300件、B种饰品100件时获利最大，最大利润是3350元．【点评】本题考查一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式组的应用，根据题意写出y关于x的函数关系式、掌握一次函数的增减性和二元一次方程组、一元一次不等式组的解法是解题的关键．22．（10分）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M上，且点N的纵坐标和横坐标相等时，则称这个点为图形M的“梦之点”．（1）点G（﹣3，﹣3）是反比例函数y1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”（2）如图，已知点A，B是抛物线y=-12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接AC（3）在0＜x＜2的范围内，若二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象上至少存在一个“梦之点”，则m的取值范围是．【分析】（1）求出k＝9，令y1＝x，得x=9x，即可解得x＝3或x＝﹣3，故该函数图象上的另一个“梦之点”（2）由y=-12x2+x+92=-12（x﹣1）2+5，得抛物线的顶点C（1，5），在y=-12x2+x+92中，令y＝x得B（﹣3，﹣3），A（3，3），故AB2＝72，AC2＝8，BC2＝80，知（3）在y＝x2﹣2mx+m2+m中，令y＝x得x＝m或x＝m+1，根据0＜x＜2，即得0＜m＜2或﹣1＜m＜1，从而可得答案．【解答】解：（1）∵点G（﹣3，﹣3）是反比例函数y1∴﹣3=k解得k＝9，∴反比例函数为y1=9令y1＝x，则x=9解得x＝3或x＝﹣3，经检验，x＝3或x＝﹣3是原方程的解，∴该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是（3，3）；故答案为：（3，3）；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵y=-12x2+x+92=-∴抛物线的顶点C（1，5），在y=-12x2+x+92中，令y＝x得x=-12解得x＝3或x＝﹣3，∴B（﹣3，﹣3），A（3，3），∴AB2＝72，AC2＝8，BC2＝80，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）在y＝x2﹣2mx+m2+m中，令y＝x得x＝x2﹣2mx+m2+m，解得x＝m或x＝m+1，∴二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象的“梦之点”为（m，m）或（m+1，m+1），∵0＜x＜2，∴0＜m＜2或0＜m+1＜2，∴0＜m＜2或﹣1＜m＜1，∴当﹣1＜m＜2时，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象上至少存在一个“梦之点”；故答案为：﹣1＜m＜2．【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，反比例函数，勾股定理逆定理等知识，解题的关键是读懂题意，理解“梦之点”的定义．23．（10分）【综合与实践】在一次综合实践活动课上，张老师组织学生开展“如何仅通过折纸的方法来确定特殊平行四边形纸片一边上的三等分点”的探究活动．【操作探究】“求知”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，对正方形ABCD进行了如下操作：第1步：如图1所示，先将正方形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；第2步：将BC边沿CE翻折到GC的位置；第3步：延长EG交AD于点H，则点H为AD边的三等分点．证明过程如下：连接CH，∵正方形ABCD沿CE折叠，∴∠D＝∠B＝∠CGH＝90°，①_____，又∵CH＝CH，∴△CGH≌△CDH，∴GH＝DH．由题意可知E是AB的中点，设AB＝2a，DH＝x，则AE＝BE＝EG＝a，在Rt△AEH中，可列方程：②_____，（方程不要求化简）解得：DH＝③_____，即H是AD边的三等分点．“励志”小组对矩形纸片ABCD进行了如下操作：第1步：如图2所示，先将矩形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF