因式分解定理课件

因式分解定理中学数学中多项式因式分解不可再分无严格定义，故此处想从理论上给以研究；多项式分解问题的关键是想找到P[x]中不可再分的基本单位是什么?从而搞清楚多项式的基本结构，这里体现出人类认识客观事物的一种数学思想方法；多项式的因式分解与系数域有关.例：x4－4=(x2－2)(x2＋2)在Q上已不能再分解；x4－4=(x－2)(x＋2)(x2＋2)在R上已不能再分解；x4－4=(x－2)(x＋2)在C上已不能再分，故首先要在给定的系数域P上引入不可约多项式的概念,并搞清楚不可约多项式的一些基本性质，进而研究多项式因式分解定理，为进一步的讨论奠定基础.一问题提出定义8

p(x)∈P[x],∂p≥1,若p(x)不能表成P上两个次数＜∂p的多项式的积，则称p(x)是数域P上的不可约多项式.

一次多项式始终是不可约多项式，零多项式与零次多项式无可约，不可约的概念；

多项式是否不可约与系数域P有关；

f(x)∈P[x],c∈P且c≠0,c和cf(x)称为f(x)的平凡因式，则有如下命题成立：命题：∂f(x)≥1，f(x)在P[x]上不可约的充要条件是f(x)在P[x]上仅有平凡因式.(即f(x)在P[x]上可约的充要条件是f(x)在P[x]上除了平凡因式外，还有其它因式)。二不可约多项式的概念证明：必要性

设f(x)在P上不可约，假定f(x)在P[x]中有非平凡因式g(x)→g(x)|f(x),∂g≠0,且∂g≠∂f(否则,g(x)是非零常数或f(x)=

kg(x),k(≠0)∈P→g(x)=k-1

f(x)=cf

(x),均为平凡因式)→

f(x)=

g(x)h(x),其中0＜∂g,∂h＜∂f,这与f(x)在P上不可约矛盾→

f(x)无非平凡因式.

充分性

设f(x)在P[x]中只有平凡因式→f(x)在P[x]中不能写成两个次数低于∂f的多项式的乘积形式

→f(x)不可约.□注1：“不可约”与“互素”概念不同.前者是多项式自身属性的刻画，后者却是多项式之间的一种二元关系.

注2：提出一个问题—f,g∈P[x],随着P的的扩大，f,g的因式有可能增加，那么共因式会不会增加？（该问题的解决放在以后进行高论）.

三不可约多项式的性质问题讨论：问题—f,g∈P[x],随着P的扩大，f,g的因式有可能增加，那么公因式会不会增加？或说f,g的最大公因式是否与系数域有关？结论：f,g的公因式不会随着系数域P的扩大而改变，即f,g的最大公因式与系数域无关.分析：

f,g的公因式都是其最大公因式的因式→问题转化为：随P扩大，f,g的最大公因式会不会改变？若最大公因式与系数域无关，则公因式也就不会随系数域的扩大而改变.

最大公因式是由辗转相除法求得的，故这里问题的关键是带余除法中的商式q(x)，余式r(x)尽管唯一确定，是否与系数域无关？→事实上，设f,g∈P[x],P

P/→据带余除法定理，存在唯一的q,r∈P[x],使得f=qg+r,r=0或∂r＜∂g成立.假定另有q/,r/∈P/[x],使得f=q/g

+r/,r/=0或∂r/＜∂g成立,因q,r∈P/[x],故由唯一性得q=q/,r=r/.

若f,g∈P/[x],P

P/→据带余除法定理,存在唯一的q,r∈P/[x],使得f=qg+r,r=0或∂r＜∂g成立.假定另有q/,r/∈P[x],使得f=q/g

+r/,r/=0或∂r/＜∂g成立,由于q/,r/∈P/[x],故由唯一性得q=q/,r=r/.

以上讨论说明，带余除法中的商式，余式与系数域的改