2027届新高考数学热点精准复习　导数概念及其意义、导数运算

2027届新高考数学热点精准复习导数概念及其意义、导数运算强基础•固本增分知识梳理

提示

函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率是指其图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.

f'(x0)

2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率k0,即k0=

.

微思考已知函数y=f(x),给定一个点P(x0,y0),那么f'(x0)就是曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率吗?f'(x0)提示

不一定,如果点P在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就是曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率,如果点P不在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就不是曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率.3.导数的运算(1)基本初等函数的导数公式原函数导数f(x)=c(c为常数)f'(x)=

f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f'(x)=

f(x)=sinxf'(x)=

f(x)=cosxf'(x)=

f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=exf'(x)=

f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=lnxf'(x)=

0αxα-1cos

x-sin

xaxln

aex

f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)cf'(x)

y'u·u'x连线高考1.函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(

)A.y=-2x-1 B.y=-2x+1C.y=2x-3 D.y=2x+1B解析

f'(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知函数图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.2.若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=

.

ln2

研考点•精准突破考点一导数的概念

B

C

C

考点二导数的运算

BCD

A

B

(2)(2026·江苏徐州开学考试)已知函数f(x)=x3f'(1)-4lnx-12,则f(3)=

.

42-4ln3

考点三导数的几何意义(多考向探究预测)考向1

导数与函数图象例3(1)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,且f'(x)是f(x)的导函数,则(

)A.f'(-1)=f'(-2)<0<f'(1)<f'(2)B.f'(2)<f'(1)<0<f'(-1)=f'(-2)C.0>f'(2)>f'(1)>f'(-1)=f'(-2)D.f'(2)<f'(1)<0<f'(-2)<f'(-1)B解析

f'(-2),f'(-1),f'(1),f'(2)分别表示曲线y=f(x)在x=-2,x=-1,x=1,x=2处切线的斜率,结合图象可知,当x<0时,f'(x)是一个大于0的常数,当x>0时,f'(x)小于0且随着x的增大而减小,所以f'(2)<f'(1)<0<f'(-1)=f'(-2).故选B.(2)曲线y=f(x)在点P(-1,f(-1))处的切线l如图所示,则f'(-1)+f(-1)=

.

-2

[对点训练3]右图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是(

)D解析

由题目中导函数的图象可知两函数的图象在x0处的切线斜率相等,故选D.考向2

求切线方程例4(1)(2026·江苏南京、盐城期末调研)函数f(x)=x2+lnx的图象在点(1,1)处的切线的斜率为

.

3

(2)(2025·全国1,12)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=

.

4

[对点训练4](1)曲线y=ex-3x的切线中与直线x-2y=0垂直的切线方程为(

)A.2x+y+1=0 B.2x-y+1=0C.2x+y-1=0 D.2x-y-1=0C

(2)直线y=ax-e与曲线C:y=xlnx相切,则a=

.

2解析

设切点坐标为(t,tln

t),由于y'=ln

x+1,所以切线的斜率为k=ln

t+1,所以曲线在(t,tln

t)处的切线方程为y=(ln

t+1)(x-t)+tln

t,即y=(ln

t+1)x-t,所以t=e,a=ln

t+1=ln

e+1=2.考向3

求参数的值或取值范围例5若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是

.

(-∞,-4)∪(0,+∞)

变式探