辽宁省沈阳市东北育才高中2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题【含答案】

第1页/共1页东北育才高中2025-2026学年度上学期高一年级数学科期中考试试卷答题时间：120分钟满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据补集、交集的定义求解即可.【详解】由于全集，集合，所以，又因为集合，所以.故选：B.2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得结论.【详解】的否定为，故选：B3.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定单调递增区间.【详解】由在上单调递减，在上单调递增，而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为.故选：D4.“，”的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得“，”的充要条件，进而逐项判断即可.【详解】若，为真命题，则，解得，所以“，”的充要条件是，故A不正确；所以是“，”的既不充分也不必要条件，故B不正确；所以是“，”的必要不充分条件，故C正确；所以是“，”的充分不必要条件，故D不正确.故选：C.5.已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得，再计算即可得.【详解】，则，则.故选：A.6.已知定义在实数R上的函数y＝f(x)不恒为零，同时满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当x>0时，f(x)>1，那么当x<0时，一定有()A.f(x)<－1 B.－1<f(x)<0 C.f(x)>1 D.0<f(x)<1【答案】D【解析】【详解】对任意,恒有，可令可得因为当时,故所以再取可得，所以,同理得，当时,,根据已知条件得,即变形得；故选D.点睛：解抽象函数问题的一般思路都是赋值法，由自变量的任意性，结合题意给予变量特殊取值，从而解得函数性质.7.若函数且在上为减函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】要使函数在上为减函数，须满足分段函数在各段上单调递减，结合端点处需要满足的条件，列出不等式组，求解即可.【详解】当时，单调递减须满足，解得，当时，单调递减须满足，且；所以要使函数在上为减函数，须满足，即，解得，所以的取值范围是.故选：C8.已知函数则方程的解的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的关系，结合图象，可得答案.【详解】函数的图象如图所示：设，则方程即，由图象可知，与有三个交点，横坐标分别为，其中，，，方程解的个数转化为方程，，解的个数之和，由图象可知，与有一个交点，与有三个交点，与没有交点，所以方程解的个数为.故选：B.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各命题中的假命题是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AD【解析】【分析】利用特殊值法可判断AC选项；分、两种情况讨论，去绝对值，可判断B选项；解方程，可判断D选项.【详解】对于A选项，取，则，A中的命题为假命题；对于B选项，当时，；当时，.综上所述，，，B中的命题为真命题；对于C选项，取，则，C中的命题为真命题；对于D选项，若，则，D中的命题为假命题.故选：AD.10.已知实数满足，则下列选项中正确的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据给定值，利用指数运算逐项计算判断得解.【详解】由，得，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，则，C正确；对于D，，D正确.故选：BCD11.下列说法正确的是（）A.若的定义域为，则的定义域为B.关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是C.函数在区间上单调递减，则实数的取值范围D.函数的值域为【答案】ACD【解析】【分析】利用抽象函数求出定义域判断A；取验证判断B；利用二次函数单调性求出范围判断C；利用换元法求出值域判断D.【详解】对于A，的定义域为，在中，，解得，因此的定义域为，A正确；对于B，当时，不等式恒成立，B错误；对于C，由函数在区间上单调递减，得，解得，C正确；对于D，函数的定义域为，令，在上单调递减，当时，，函数的值域为，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数则_____________________.【答案】【解析】【分析】先求得，再代入求解即可.【详解】由题意可得，所以.故答案为：13.已知、为实数，且函数，是偶函数，则_____.【答案】【解析】【分析】根据定义域关于原点对称及求出参数的值.【详解】因为函数，是偶函数，所以，解得，又，即，所以，所以，解得，所以.故答案为：14.已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是_______________________.【答案】【解析】【分析】将问题转化为两个函数的最值问题，解不等式可得.【详解】因为，，使得，所以，对，，有，因为在上单调递增，所以，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，又，所以在上的最大值为，故，解.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.命题：实数满足（其中），命题：实数满足.（1）为真命题，求实数的取值范围：（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别求解出绝对值不等式和分式不等式的解集，然后取交集，由此可求结果；（2）先求出命题对应的的取值范围，然后将充分不必要条件转化为集合间的真子集关系，由此可求结果.【小问1详解】由解得，，解得或，所以若为真命题，则的取值范围是；【小问2详解】因为，，所以该不等式解集为；由（1）不等式组的解集为.因为是的充分不必要条件，所以，所以，解得，所以的取值范围是.16.已知函数，．（1）单调性的定义证明在区间上是增函数；（2）解关于的不等式：．【答案】（1）任取，且，则，因为，，则，且，，可得，则，即，所以在上单调递增.（2）【解析】【分析】（1）根据题意利用作差法结合单调性的定义分析证明；（2）根据函数单调性解不等式，注意函数的定义域.【小问1详解】略【小问2详解】由（1）知：在上单调递增，因为，可得，解得：，故不等式的解集为.17.当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元.每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前x年的总盈利额为y万元.（1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；（2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种.方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理?并说明理由.【答案】（1）；（2）方案一：总盈利额，当时，，若此时处理掉智能机器人，总盈利为万元；方案二：年平均盈利额（万元），当且仅当时，年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人，总盈利为万元.两方案总利润都是13200万元，但方案二用时更短，则方案二更合理.【解析】【分析】（1）根据销售总收入和成本，列出函数关系式即可；（2）利用二次函数的性质求出方案一的总盈利，结合基本不等式求出方案二的总盈利，然后比较，即可得到结果.【小问1详解】由题意，.【小问2详解】略18.已知函数.（1）若函数在区间上不具有单调性，求实数的取值范围；（2）若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围；（3）若对于，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）直接根据二次函数对称轴在区间内进行求解即可；（2）直接根据二次函数根的分布进行求解即可.（3）首先进行分离参数得：恒成立，然后通过均值不等式求解最小值，进而得到参数的取值范围.【小问1详解】已知函数，其对称轴为.又在区间不具有单调性，因此可得：，解得：.【小问2详解】若关于的方程有两个大于且不相等的实根，则，解得或.所以实数的取值范围是或；【小问3详解】时，恒成立，即恒成立，即恒成立，令，则恒成立，即，因为，所以，当且仅当时取到等号，所以实数的取值范围是.19.已知是定义在上的奇函数.（1）求的值，指出的单调性（单调性无需证明）；（2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值和函数的值域；（3）若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；在上单调递增；（2），；（3）存在，【解析】【分析】（1）根据题意，由，求得，得到函数的解析式，结合单调性的定义与判定方法，即可求解；（2）根据题意，得到，得出，得到，结合指数函数的性质，即可求得的值域；（3）由题意，转化为存在以为边长的三角形，即且恒成立，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，解得，当时，，函数的定义域为关于原点对称，且，满足是奇函数，又由，任取且，则，因为，可得且，所以，