等腰三角形基础练习题

等腰三角形基础练习题在平面几何的世界里，等腰三角形无疑是一个基础而重要的角色。它特殊的性质不仅为我们解决许多几何问题提供了便捷的思路，也是进一步学习更复杂图形的基石。要真正掌握等腰三角形，除了理解其定义和性质外，适量的练习是必不可少的。下面，我们就通过一系列基础练习题，来巩固和深化对等腰三角形的认识。一、核心概念回顾在开始练习之前，让我们简要回顾一下等腰三角形的核心定义与性质，这是解决所有相关问题的基础：*定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。*性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。*性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。*判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。二、基础练习题（一）填空题1.等腰三角形的一个底角是35°，则它的顶角是______度。2.等腰三角形的顶角是100°，则它的一个底角是______度。3.若等腰三角形的两边长分别为4和5，则它的周长是______。4.等腰三角形的周长为18，其中一边长为4，则另外两边的长分别为______和______。5.在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，若BD=3cm，则BC=______cm。（二）选择题1.下列说法中，正确的是（）A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B.有一个角是60°的等腰三角形不一定是等边三角形C.等腰三角形的底角一定是锐角D.等腰三角形的腰长一定大于底边长2.等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数是（）A.80°B.20°C.80°或20°D.50°3.已知等腰三角形的腰长为a，底边长为b，且2a>b，其周长为（）A.2a+bB.a+2bC.2a或a+bD.无法确定（三）解答题1.已知：在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各内角的度数。2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。（*此处应有示意图：一个等腰三角形ABC，AB=AC，D为底边BC中点，DE垂直AB于E，DF垂直AC于F*）3.已知：在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。求证：DE∥BC。三、参考答案与提示（一）填空题1.110°（提示：三角形内角和为180°，顶角=180°-2×底角）2.40°（提示：底角=(180°-顶角)/2）3.13或14（提示：分两种情况，腰为4底为5，或腰为5底为4，均满足三角形三边关系）4.7和7（提示：若4为腰，则底为10，此时4+4<10，不满足三边关系，故4只能为底边）5.6（提示：根据“三线合一”，AD也是底边BC上的中线，所以BC=2BD）（二）选择题1.C（提示：A选项应强调“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”互相重合；B选项有一个角是60°的等腰三角形一定是等边三角形；D选项等腰三角形的腰长不一定大于底边长，例如两腰为3，底边为4）2.C（提示：外角为100°，则其相邻的内角为80°。若80°为底角，则顶角为20°；若80°为顶角，则底角为50°，均成立）3.A（提示：周长为两腰长加底边长，即2a+b）（三）解答题1.解：设∠A=x。∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x。∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x。∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x。∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，解得x=36°。∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°。2.证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC（等腰三角形“三线合一”）。∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。3.证明：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED（等边对等角）。在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，∴∠ADE=(180°-∠A)/2。在△ABC中，∠B=∠C，∴∠B=(180°-∠A)/2。∴∠ADE=∠B。∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）。四、总结与建议等腰三角形的题目万变不离其宗，核心在于对“等边对等角”、“等角对等边”以及“三线合一”这几条性质和判定定理的灵活运用。在解题时，要注意以下几点：1.仔细审题：明确题目给出的已知条件，特别是边相等或角相等的信息。2.数形结合：画图是解决几何问题的重要辅助手段，通过图形可以更直观地发现边角关系。3.分类讨论：当题目中涉及等腰三角形的边或角不明确时，要考虑是否存在多种情况，例如已知边可能是腰也可能是底边，已知角可能是顶角也可能是底角