2026年沪科版新八年级数学 专题03 整式的乘法与因式分解（8重点+17种题型+复习提升）

专题03整式的乘除与因式分解内容导航考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1幂的运算幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式.1）同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是正整数）【补充】1.逆用公式：（m，n都是正整数）

2.三个或三个以上同底数幂相乘时，这一法则同样适用，如：（m，n，p都是正整数）2）幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是正整数）3）积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为正整数）4）同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为正整数，且m＞n）5）零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）.知识点2整式的乘法1）单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.2）单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即.3）多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即.知识点3乘法公式1）平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即：特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差.平方差公式的常见变化形式：①位置变化：②符号变化：2）完全平方公式完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即.特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方.完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）：知识点4整式的除法1）单项式除以单项式运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.2）多项式除以单项式运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.知识点5因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【补充说明】1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可.2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．知识点6提公因式法分解因式公因式的定义：多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式.注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式.公因式的确定：解题模板说明举例：一看系数系数为整数时，公因式的系数的绝对值是各项系数绝对值的最大公约数6,4,2的最大公约数是2,故公因式的系数是2二看字母公因式中的字母应是各项中都含有的字母式子中各项都含有a,b,所以公因式中必含字母a,b三看字母次数公因式中字母的次数是相同字母的最低次数a的最低次数是1，b的最低次数是2，所以这个多项式的公因式是提公因式法分解因式：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：.提公因式法分解因式的步骤及方法如下：解题模板说明举例：确定公因式可按照确定公因式的方法先确定系数，再确定字母，最后确定字母次数公因式是提取公因式并确定另一个因式用原多项式除以公因式所得的商就是提取公因式后剩下的另一个因式知识点7公式法分解因式定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法.逆用平方差法分解因式：速记口诀：首平方减尾平方，等于首加尾乘首减尾(首:第一项的底数；尾:第二项的底数).逆用完全平方公式分解因式：速记口诀：首平方加尾平方，2倍首尾积，加减放中央，等于首加(减)尾的平方.知识点8因式分解的步骤【题型1幂的混合运算】高妙技法计算时可能用到以下公式：1)2）3)4)5)【注意】同底数幂的运算法则只适用于同底数幂的乘除，当底数不同时要看能否化成同底数，若不能则不能用同底数幂的运算法则进行计算.1．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．2．（2025·湖北恩施·一模）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．3．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）下列运算结果等于的是（

）A． B． C． D．【题型2零指数幂与负整数幂】4．（2025年湖北省恩施州中考二模九年级数学试卷）计算：．5．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算：【题型3用科学记数法表示绝对值小于1的数】高妙技法科学记数法的表示步骤：1）确定a，将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后面即可得到a的取值.2）确定n.有以下两种方法:①根据原数的整数位数来确定n，n等于原数的整数位数减1.例如，2021是一个四位整数，用科学记数法表示为，其中n=4-1=3.②按小数点移动的位数来确定n.小数点向左移动了几位，n就等于几.6．（2025·安徽阜阳·三模）中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟9000芯片采用5纳米工艺制造，中芯国际在芯片制造技术上不断突破，已量产芯片，等于，数据0.000000014可用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．7．（2025七年级下·全国·专题练习）量子计算原型机“九章三号”，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．8．（23-24七年级下·全国·单元测试）某种液体中有害细菌的含量是个/L，某种杀菌剂一滴可以杀死个此种有害细菌，现在将这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若10滴这种杀菌剂的体积为，则杀死这些有害细菌要用多少升杀菌剂（结果用科学记数法表示）？9．（23-24七年级下·全国·课后作业）用小数表示下列各数：(1)；(2)；(3)；(4)．【题型4幂的逆用】高妙技法，，，（a≠0）.10．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）某同学在比较，的大小时，发现55，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小．解：因为，，所以，请根据上述解题思路完成下题：若，，试比较，的大小．11．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知计算：(1)的值；(2)的值；(3)之间的数量关系．12．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．(1)若，，求的值；(2)若，求的值．【题型5与幂的运算有关的新定义问题】13．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（）A．18 B．24 C．36 D．6314．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）定义一种新运算：规定．若，则的值为．15．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）定义新运算：，(1)求的值．(2)若，求m的值．【题型6整式的四则运算及化简问题】高妙技法运算顺序:先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.16．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．17．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）计算：(1)；(2)；(3)先化简，再求值：其中；(4)先化简，再求值：其中，．18．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）（1）化简：（2）先化简，再求值：，其中，，．19．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含项，求的值．【题型7与整式乘法有关的不含/无关型问题】高妙技法若整式加减运算结果“不含某项”或整体的值“与某个字母的值无关”，实质是去括号，合并同类项后，令该项的系数为0，从而求出待定字母的值.20．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）若的结果中不含和项，求的值：21．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，且的值与无关，求的值．【题型8（x+p）（x+q）型多项式乘法】高妙技法22．（23-24七年级下·全国·单元测试）在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题计算下列各式：①；②．解：①原式；②原式．(1)观察上式，比较它们的计算结果，并填空：________．(2)用你发现的规律直接写出下列各式运算结果．①________；

②________；③________；

④________．【题型9与多项式乘法有关的规律探究问题】23．（24-25七年级下·全国·单元测试）观察下列各式：；；；…(1)根据以上规律，_______．(2)由此归纳出一般规律_______（其中n为正整数）．(3)根据以上规律计算：．24．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）【课本再现】我国南宋数学家杨辉在他年的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”．如图，此图揭示了（为非负整数）、展开式的项数及各项系数的一些相关规律．如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到以下等式：，它只有一项，系数为；，它有两项，系数分别为，；，它有三项，系数分别为，，；，它有四项，系数分别为，，，；请你根据以上信息解答下列问题：【探索发现】你能根据以上数表得到的展开式吗?并利用多项式乘法法则验证你的结果是否正确；【拓展探究】的展开式共有______项，系数和为______；【实践应用】请你利用以上规律计算：【题型10已知完全平方式求参数】高妙技法首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方.25．（24-25七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个整式的平方，则m的值是．26．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果关于的整式是完全平方式，那么．【题型11通过对完全平方式变形求值】27．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，求的值．28．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值．29．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)30．（24-25七年级上·上海·期中）（1）已知，，可得：，（2）已知，，求的值．【题型12乘法公式与几何图形】31．（24-25七年级上·上海·期中）（1）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出之间的等量关系：_______（2）若，则_______．（3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．32．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图3，现有三种类型的卡片：1号卡片：边长为的正方形卡片；2号卡片：边长为的正方形卡片；3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中．(1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____．(2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____．(3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长．(4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5．情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为；情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为．如果，求2号卡片的边长．33．（23-24七年级下·广东河源·期中）综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）；(2)【应用】利用“平方差公式”计算：；(3)【拓展】计算：．【题型13选用合适的方法分解因式】高妙技法34．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）将下列多项式分解因式(1)(2)(3)(4)35．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）将下列各式因式分解：(1)；(2)．【题型14因式分解在有理数简算中的应用】高妙技法在解决数的计算问题中我们可以把相同的数看作同一字母，把算式看作多项式，利用因式分解改变运算顺序以减少计算量.36．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算：(1)；(2)．37．（24-25八年级上·全国·单元测试）简便计算：(1)；(2)【题型15已知因式分解的结果求参数】38．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）完成下面各题：(1)若二次三项式可分解为，求a的值．(2)若二次三项式可分解为，求b、c的值．39．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题：问题：因式分解：解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”．(1)上述式子中，；(2)对于一元整式，必定有（）；(3)请你用“试根法”分解因式：．【题型16利用十字相乘法/分组分解法分解因式】40．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式是，得则

解得∴另一个因式是的值是仿照上面的方法解答下面问题：(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值；(2)若二次三项式有一个因式是，求a的值．41．（24-25八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，解答后面的问题．分解因式：观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：设进行换元：将代入原代数式，则原代数式变为，得到因式分解简化后的代数式：对进行因式分解①竖分二次项与常数项：，②交叉相乘，验中项：③横向写出两因式，得到还原变量：将还原，得到进一步分解，得到上述这种因式分解的方法称为“换元法”．(1)分解因式时，设，则原代数式化为；(2)模仿上述方法分解因式：．42．（24-25八年级下·四川达州·期中）我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等．①分组分解法：例如：；②十字相乘法：例如：由图可得：．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）；②（十字相乘法）；(2)已知a，b，c为的三边长，且，求的周长．43．（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式：根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目：(1)分解因式：；(2)分解因式：．【题型17因式分解的应用】43．（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式：根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目：(1)分解因式：；(2)分解因式：．44．（23-24八年级上·陕西西安·期末）请通过计算说明：当为任意正整数时，能被24整除．45．（24-25七年级上·上海·期中）正数，，满足，求的值．46．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．47．（24-25七年级上·上海·期中）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：(1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次．(2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．(3)分解因式（写出过程）：48．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）已知，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值；(4)求的值．提升专练1．（2025·山西·三模）2025年3月18日，从山西大学光电研究所获悉，山西大学与多家单位合作，将DNA折纸二维晶格与二维范德华材料结合，构建出独特的二维软-硬物质界面．研究团队通过优化DNA折纸结构的设计参数，成功构建了尺寸达到级别的高质量DNA折纸二维晶格．数据用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．2．（2025·河北沧州·二模）下列选项中，其中一个的计算结果和其他三个不同，则这个不同的式子是（

）A． B． C． D．3．（24-25七年级下·天津河西·期中）如图，有长方形空地，其中米，米，为了改善环境，准备修建一横一纵宽度均为1米的两条小路，其余部分为花圃．用含，的代数式表示花圃的面积为（

）

A．平方米 B．平方米C．平方米 D．平方米4．（2025·河北石家庄·一模）如图，有甲、乙、丙三种矩形纸片若干张．若用这三种纸片紧密拼接成一个面积为的矩形，则这个矩形的长和宽分别是（

）A．和 B．和 C．和 D．和5．（2025九年级下·河北·专题练习）对因式分解，珍珍的答案为：；轩轩的答案为：，下列判断正确的是（）A．两人的结果都对 B．两人的结果都不对C．只有嘉嘉的结果对 D．只有琪琪的结果对6．（24-25八年级上·山东临沂·期末）对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（

）A． B． C． D．7．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）甲同学做完四道整式乘法的题后，同桌乙同学的批改如图所示，则乙同学批改正确的是（

）练习①；②；③；④；A．第①、②题 B．第①、④题 C．第②、③题 D．第③、④题8．（2025·宁夏银川·一模）化简：．9．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算或化简：①；②；③．10．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）结合“（是正整数），即积的乘方等于乘方的积”计算：．11．（2025七年级下·全国·专题练习）如果等式恒成立，其中B，C为常数，．12．（2025七年级下·全国·专题练习）杨辉三角形是形如（这里，2，3，4……）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列：记载于1261年他所著的（详解九章算术）中．1854年：法国数学家帕斯卡也发现了这一规律，不过比杨辉迟了近四百年，杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就．如图是杨辉三角形与展开式的部分对照，请回答下列问题（1）的展开式中系数为10的项是．（2）的展开式中的系数是．13．（24-25七年级下·山东青岛·期中）计算(1)(2)(3)(4)利用乘法公式计算：(5)利用乘法公式计算：14．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）某串联电路中电流（单位：）、电阻、、（单位：）、时间（单位：）与热量（单位：）有下列关系：，如图，当，，，，时，求电流流经电阻所产生的热量．15．（2025·河北廊坊·二模）数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式：；．(1)比较M，N的大小；(2)若，证明：P不可能小于0．16．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【探索】（1）观察图1，图2，请写出之间的等量关系：_______；根据（1）的结论，若的值是_______．【应用】（2）如图3，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和．【拓展】（3）利用4张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为．若不论的长为何值时，永远为定值，求之间的数量关系．17．（24-25七年级下·江苏南京·期中）【数学模型】已知小长方形纸片的两边长分别为、，用四张这样的纸片构成如图1所示的大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而得到等式：__________．解决问题

如图2，学校生物兴趣小组打算用篱笆围成长方形生物园来饲养小兔．（1）若篱笆的长为，怎样围可使小兔的活动范围最大？试说明理由．（2）若生物园的面积为，怎样围可使用的篱笆最短？试说明理由．18．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）【观察思考】将大小形状完全相同的“”和“”按如图所示的规律依次摆放，归纳图形中的规律，解决下列问题．【规律发现】请用含的式子填空：（1）第1个图案中，“”的数量有：；第2个图案中，“”的数量有：；第3个图案中，“”的数量有：，…，第个图案中，“”的数量有：______；（2）第1个图案中，“”的数量有：；第2个图案中，“”的数量有：；第3个图案中，“”的数量有：