2026年人教版新九年级数学 第16讲 图形的旋转（暑假9上预习讲义）

第16讲图形的旋转内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1判断生活中的旋转现象题型2根据旋转的性质求解题型3找旋转中心、旋转角、对应点题型4求绕某点旋转90°点的坐标题型5求绕原点旋转一定角度的点的坐标题型6几何图形中的旋转综合问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航旋转、旋转中心、旋转角、三要素、对应点、性质、全等、作图。1.理解旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点O转动一个角度），掌握旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角）。2.掌握旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。3.能按要求作出简单平面图形旋转后的图形（如线段、三角形等）。4.经历观察、操作、猜想、验证等过程，体会图形变换思想，发展空间观念。学习重点:旋转的定义和三要素，旋转的基本性质，按要求作出旋转后的图形。学习难点:理解旋转前后图形的对应关系（对应点、对应线段、对应角），以及利用旋转性质解决几何问题（如证明线段相等、角相等）。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01旋转的概念及性质（1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换.点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角；图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点.（2）旋转三要素：=1\*GB3①旋转方向；=2\*GB3②旋转中心；=3\*GB3③旋转角度注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上.旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.【易错提醒】旋转概念性质易错警示：旋转三要素（旋转中心、方向、角度）。性质：对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角。注意：旋转不改变图形形状大小，但方向可能改变。勿与平移混淆。即时即练1．（25-26八年级下·全国·课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D【分析】本题考查了旋转和平移的概念，解题的关键是熟练掌握旋转和平移的概念，能够把生活问题转化为数学问题．根据旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴做圆周运动属于旋转，逐一判断每个现象即可．【详解】∵①荡秋千是围绕固定点摆动，属于旋转；②雪橇滑动是平移运动，不属于旋转；③传送带传送物品是平移运动，不属于旋转；④雨刮器摆动是围绕固定轴旋转，属于旋转．∴属于旋转的是①和④．故选：D．2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在中，，，将绕点顺时针方向旋转得到，与相交于点，下列说法错误的是（

）A．若，则 B．C． D．连接及，则【答案】C【分析】由旋转的性质得出，，根据平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，继而求出，则可求出，可判断选项A；设，根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可得，可判断选项B；根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可判断选项C；根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可判断选项D．【详解】解：∵将绕着点顺时针方向旋转得到，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴选项A说法正确，故此选项不符合题意；设，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴选项B说法正确，故此选项不符合题意；∵，，∴，∴选项C说法错误，故此选项符合题意；如图，∵，，，∴，，∴，∴，，∴，∴，∴选项D说法正确，故此选项不符合题意．故选：C．知识点02确定旋转中心及旋转作图1.确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.2.旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.【易错提醒】旋转作图易错警示：找对应点与旋转中心连线，量角作等角。旋转中心在两对应点连线的中垂线上。作图时注意方向（顺时针/逆时针）和角度，对应线段相等。勿漏标旋转角或弄混方向。即时即练1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过旋转后得到．（1）旋转中心是点______，旋转角是______；（2）点的对应点是点______；（3）线段的对应线段是______；的对应角是______．【答案】C（或）D线段【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等．【详解】解：（1）∵经过旋转后得到，∴旋转中心是点C，旋转角是（或）；（2）点的对应点是点D；（3）线段的对应线段是线段；的对应角是．2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点．(1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是点，旋转方向是时针．旋转角（小于平角）的度数是；(2)请你求出的度数．【答案】(1)，顺，(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，旋转等知识点，掌握相关结论即可；（1）由图即可求解；（2）设与交于点，证即可；【详解】（1）解：由图可知：可以看作是由旋转得到，其旋转中心是点，旋转方向是顺时针．旋转角的度数是；（2）解：设与交于点,∵和都是等边三角形，∴，，，∴，即，∵，，，∴，∴，根据三角形的外角的性质可知，∴．题型1判断生活中的旋转现象【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）以下生活现象中，属于旋转变换的是（

）A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降【答案】A【分析】本题是考查图形的平移、旋转的意义，掌握图形平移与旋转的区别是解题的关键．根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．由此进行判定即可．【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动，钟表指针绕中心旋转，钟摆绕悬挂点摆动，两者均属于旋转运动，故该说法正确，符合题意；B、站在电梯上的人的运动，是平移，不符合题意；C、汽车沿笔直的公路行驶，是平移，不符合题意；D、地下水位线逐年下降，不是旋转，不符合题意；故选：A．【例2】（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活中的现象是旋转的是（

）A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯【答案】B【分析】本题主要考查了旋转的定义，旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，而摩天轮的运动是围绕中心轴旋转，符合旋转的定义．【详解】解：∵旋转的定义是物体绕一个固定点或轴转动，∴选项B中摩天轮匀速转动是典型的旋转现象；选项A中汽车飞驰主要是平移运动；选项C中标枪投掷可能涉及旋转但整体以平移为主；选项D中升降电梯是垂直平移运动．故选：B．【技巧归纳】旋转现象：物体绕一个定点转动，形状大小不变。判断三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。生活中如钟表指针、风车、车轮。注意平移（直线移动）与旋转区别。物体上各点绕中心转相同角度。旋转前后对应点与中心连线夹角相等。【变式1-1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解．【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意；C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意；故选：C．【变式1-2】（25-26九年级上·江西上饶·期中）数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（

）A．钟表上的时针运动 B．火箭升空C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动【答案】A【分析】本题主要考查了旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴转动，且形状和大小不变是解题的关键．根据旋转的定义逐项判断即可．【详解】解：A．钟表时针围绕中心轴转动，属于旋转，符合题意；B．火箭升空是直线平移运动，不符合题意；C．月亮倒影是光的反射形成的像，不是物体运动，不符合题意；

D．足球滚动时接触点变化，旋转中心移动，不属于固定点旋转，不符合题意．故选A．题型2根据旋转的性质求解【例3】（25-26九年级上·四川绵阳·月考）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由题意可得，，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求，即可得的度数.【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转后得到，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故选：A.【例4】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（

）A．旋转中心是点 B．旋转角等于C． D．【答案】B【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，对选项逐一进行分析即可得出答案．【详解】解：A：因为绕着点O旋转得到，所以旋转中心是点O，该选项正确，不符合题意；B：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，旋转到，旋转角应该是或，而不是，该选项错误，符合题意；C：由于旋转不改变图形的大小和形状，与是对应边，所以，该选项正确，不符合题意；D：旋转前后的图形全等，所以，该选项正确，不符合题意；故选：B．【技巧归纳】旋转性质：对应点到旋转中心距离相等；对应点与中心连线夹角等于旋转角；图形全等。利用这些性质可求角、线段长：如对应角相等，对应边相等。常连接旋转中心与对应点构成等腰三角形，用全等或勾股求解。注意旋转方向。【变式2-1】（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可．【详解】解：∵绕A点逆时针旋转得到，∴，，，故B结论正确，不符合题意；∵，∴．∴．∴．故C结论正确，不符合题意；在中，，∴．∴．∴与不垂直．故A结论错误，符合题意；在中，，∴．∴．故D结论正确，不符合题意．故选：A．【变式2-2】（2025·天津·二模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，点恰好落在线段上，下列结论一定正确的是（

）A． B．C．平分 D．【答案】C【分析】根据旋转的性质可判断选项A；根据旋转的性质及三角形内角和定理得，可判断选项B；根据旋转的性质及等边对等角可推出，可判断选项C；根据旋转的性质及勾股定理可推出，可判断选项D．【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，∴，，，，，，故选项A不符合题意；∴，故选项B不符合题意；∵，，∴，∴，∴平分，故选项C符合题意；∵连接，点恰好落在线段上，，，∴，，∴，故选项D不符合题意．故选：C．题型3找旋转中心、旋转角、对应点【例5】（25-26九年级上·全国·期末）如图，点，，，，都在方格纸上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了旋转的性质，确定旋转角是解题的关键．由图可知，为旋转角，可利用，结合平角的定义即可得解．【详解】解：观察题图结合网格特点可知，，，即旋转角为．故选：D．【例6】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求．【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线，，的垂直平分线的交点为，旋转中心是点，故选：B．【技巧归纳】旋转中心：对应点连线的垂直平分线交点。旋转角：对应点与中心连线夹角，如∠AOA'。对应点：旋转前后重合的点。已知图形和旋转后图形，找对应点连线作垂直平分线求中心。也可利用对应点距离不变验证。口诀：连线中垂线交于一点。【变式3-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，在三角形中，，D是边上的一点，三角形经过旋转后到达三角形的位置．(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3)如果M是的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？【答案】(1)旋转中心是点A．(2)逆时针旋转了．(3)点M到了的中点处．【分析】本题主要考查的是旋转变换后图形所具有的性质，等边三角形的性质和判定，关键在于明确旋转中心，旋转角度和旋转位置．（1）观察图形，经旋转后到达的位置，可得出旋转中心；（2）观察图形，线段旋转后，对应边是就是旋转角，可得出旋转角；（3）因为旋转前后是对应边，故的中点，旋转后就是的中点．【详解】（1）解：∵经旋转后到达，它们的公共顶点为，∴旋转中心是点；（2）解：∵∴是等边三角形∴线段旋转后，对应边是就是旋转角，也是等边三角形的内角，是，∴逆时针旋转了；（3）解：旋转前后是对应边，故的中点，旋转后就是的中点，∴点转到了的中点．【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，将绕点O顺时针旋转得到，E，F分别是，的中点．(1)在这个旋转过程中，旋转中心是什么？旋转角是什么？(2)与的长有什么关系？与呢？(3)与的度数大小有什么关系？【答案】(1)旋转中心是点O，旋转角是(2)(3)【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转的定义和性质是解决问题的关键．旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角．（1）根据旋转角的定义和旋转中心的定义即可求解；（2）根据旋转的定义和线段中点的定义即可求解；（3）根据旋转的性质即可求解．【详解】（1）解：根据题意，得旋转中心是点O，旋转角是；（2）解：由旋转知：，，∵E，F分别是，的中点∴，，∴；（3）解：由旋转知：，∴，∴．题型4求绕某点旋转90°点的坐标【例7】（25-26九年级下·辽宁盘锦·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，若将绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是___________．【答案】【分析】本题考查了求绕原点旋转的点的坐标，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，过点作轴于，过点作轴于，进而证明是解题的关键．【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，∵绕坐标原点逆时针旋转至，∴，∵，∴，在和中，，∴，∵，∴，∴点的坐标为．故答案为：．【例8】（25-26九年级上·天津武清·月考）如图，将绕点O逆时针旋转得到，若，则点坐标为_______．【答案】【分析】本题考查了坐标与图形变化．利用旋转的性质得，，，，然后利用第二象限内点的坐标特征写出点坐标．【详解】解：∵，∴，，∵绕点O逆时针方向旋转，得到，∴，，，，∴点坐标为．故答案为：．【技巧归纳】绕原点旋转90°：点(a,b)顺时针变(b,-a)，逆时针变(-b,a)。绕任意点(h,k)：先平移使中心为原点，旋转后再平移回。坐标变换公式：设P(x,y)，绕O(a,b)逆时针转90°得(a-(y-b),b+(x-a))。注意象限变化。可用画图验证。【变式4-1】（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________．【答案】【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等．延长交x轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解．【详解】解：如图，延长交x轴于点E，中，令，则，令，解得，，，，，绕点顺时针方向旋转得到，，，，四边形是正方形．，，点的坐标为．故答案为：．【变式4-2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________．【答案】【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，进而可得点P的坐标．【详解】解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，则线段绕点P逆时针旋转后能与线段重合，∴点P的坐标为．故答案为：．题型5求绕原点旋转一定角度的点的坐标【例9】（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____．【答案】【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，准确掌握这一知识点是解题的关键．关于原点对称的两个点，对应横、纵坐标互为相反数，由，以及点A与点C关于原点对称，可得点C坐标．【详解】解：∵点A与点C关于原点对称，，∴．故答案为：．【例10】（24-25九年级下·辽宁抚顺·月考）在平面直角坐标系中，已知，将点A绕原点逆时针旋转45度得到点B，则点B的坐标为__________．【答案】【分析】本题考查了一线三等角构造全等三角形，一次函数解析式，勾股定理．绕点A顺时针旋转得到线段，得到等腰，，点B在上，利用点A坐标构造全等三角形，求出点E坐标，得到直线的解析式，再根据，可得点B坐标．【详解】解：如图，过A作x轴的垂线，垂足为C，绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作的垂线交于点D．连接．∴，∴，，∴，，，∴．∴，，∴E的坐标为．∴所在直线的解析式为，中，，，∴，∴点B在上．设点B坐标为，∵，∴，∴，∵点B在第三象限，∴，，点B坐标为．故答案为：．【技巧归纳】利用特殊角的几何关系，如旋转90°交换坐标并变号，180°取相反数，270°等。45°时可构造等腰直角三角形，用勾股求坐标。也可借助全等三角形，找对应边长度。画图确定象限，根据原坐标和角度推得新坐标，避免套公式。【变式5-1】（24-25九年级上·内蒙古兴安·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是___________．【答案】【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．根据题意画出图形，连接，作轴于点B，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转，可得点A在旋转后的坐标系中的坐标是．【详解】解：如图所示：连接，作轴于点B，∵点A坐标是．∴，，∴，∴，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转，∴点A在旋转后的坐标系中的坐标是．故答案为：．【变式5-2】（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，我们规定一种变换：将平面内任意一点，绕原点顺时针旋转得到对应点，点在射线上，且，得到最终的对应点，称点为点经过变换后的对应点．例如，点经过变换后的对应点为，那么点经过变换后的对应点坐标为___________．【答案】【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据变换规则可求出，且，过点作轴于点B，求出和的长即可得到答案．【详解】解：设点经过变换后的对应点为，∵，∴，∴，且，如图所示，过点作轴于点B，∴，∴，∴点的坐标为，故答案为：．题型6几何图形中的旋转综合问题【例11】（25-26八年级下·山东·期末）如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转90°，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F．(1)试判断四边形的形状，并说明理由；(2)如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．【答案】(1)四边形是正方形，理由如下：∵将绕点B按顺时针方向旋转90°，∴，BE′∵∠BEF=180°−∠AEB=90°，∴四边形是矩形．∵BE∴四边形是正方形．(2)．证明：如图，过点D作DH⊥AE于H，∵，DH⊥AE，∴AH=HE=12AE∴∠ADH+∠DAH=90°，∠AHD=∠AEB=90°，∵四边形是正方形，∴，∠DAB=90°，∴∠DAH+∠EAB=90°，∴∠ADH=∠EAB，在△ADH和△BAE中，，∴，∴，∵将绕点B按顺时针方向旋转90°，∴，∴，由（1）可知，四边形是正方形，∴，∴，∵，∴．【例12】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边△ABC内部，且PA=3，PC=4，∠APC=150°，求PB的长．(1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到△AP′B，连接，寻找PA，PB，三边之间的数量关系，即可求得PB的长，请写出详细的解答过程；(2)【理解应用】如图②，在等腰直角△ABC中，，为△ABC内一点，∠APC=135°，判断PA，PB，之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)解：由旋转可知：∠PAP∴△PAP∴∠AP∴∠BP∴△BP∴PB=P(2)解：AP理由：如图，把△BCP绕点C顺时针旋转90°得到△ACD，连接PD，由旋转可知：∠PCD=90°,CD=CP,PB=DA，∴是等腰直角三角形，∴PD=2PC，∵∠APC=135°，∴∠APD=∠APC−∠CPD=90°，∴在Rt△APD中，AP2∴AP【技巧归纳】旋转构造全等，将分散条件集中。确定旋转中心、角度，找对应边角关系。利用全等或相似得线段相等、角相等，再与勾股、面积结合。常见于正方形、等腰三角形中。注意旋转前后图形位置变化，画出旋转后图形辅助分析。【变式6-1】（2026·江苏泰州·三模）综合与实践：已知菱形的边长为2，∠A=60°，将该菱形绕顶点按顺时针方向在平面内旋转α°0°≤α<360°至菱形AB′(1)若旋转后与垂直如图1，则旋转角为______°；(2)将旋转至与重合时，请求出旋转后的图形与原图形重叠部分的面积；（请在图2中构图）(3)菱形在旋转过程中如图3，连接，，，△BB′D′为等腰三角形时，请直接写出的长．【答案】(1)330(2)(3)或6+2或或2【分析】（1）先根据菱形性质及已知角度，确定相关角的度数并设交点O，再由旋转后垂直关系，利用四边形内角和求出∠DAB′，从而得（2）先作辅助线，依据菱形性质求相关线段长与三角形面积，再利用旋转性质推出角度与边长关系，算出另一三角形面积，进而得重叠部分面积；（3）根据题图分情况讨论即可．【详解】（1）解：∵四边形是菱形，∠DAB=60°，∴，∠B′设交点与交点为O，∵旋转后与垂直，∴∠DOB∴∠DAB∴∠B∴α=360°−∠B（2）解：如图：连接、BD交于点O，延长至点，连接D′B，与D′C′交于点，∵四边形是菱形，∴平分，AC⊥BD，∴∠CAB=1∵，∴OB=1，∵AD∴S△AB∵四边形是菱形，四边形AB′C′∴AB=AD′=2∴∠ABD′=∠A∴∠D∴BC⊥D∵∠CAB=30°，，∴∠ACB=30°，∵，OB=1，AC⊥BD，∴AO=1∴CD∴EDS△BES四边形（3）解：本题分多种情况讨论：①当BB′=∵四边形是菱形，∴，是等腰三角形，∵∠DAB=60∴是等边三角形，∴BD=AD=AB=2，∴BB②当BB′=BD′当在左侧；连接、，设与交于，在△BB∵四边形AB∴为、中点，∴MB∵AB∴AM=A∴MB=MA+AB=2+3；当在右侧，连接、，设与交于，根据上一情况可得：B′N=B′M=1∴NB=AB−AN=2−3∴；③当BD由①可知是等边三角形，∵四边形AB′C∴△AB∴，∵AB=AB′，∴四边形AB∴AD′⊥B∴B′O′∵AB∴B′∴BB综上，BB′=2或6+2【变式6-2】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图1，绕点A旋转得到，当点E落在边上时，连接．(1)求证：EB平分∠AEC；(2)连接交于点M．①如图2，若为长方形，则GM和之间的等量关系为，并说明理由；②如图3，若，请直接写出△GAB的面积．【答案】(1)证明：在中，，∴，由旋转知，∴∠ABE=∠AEB，∴，∴EB平分∠AEC；(2)①；理由如下：过点B作于点N，如图2，由（1）知，EB平分∠AEC，∵四边形是矩形，∴，，∴，由旋转知AD=AG，，∴，∵，，∴，∴；②【分析】（1）由平行、旋转及等腰三角形的性质得，即可证明结论；（2）①过点B作于点N，由矩形的性质及角平分线的判定定理得，由旋转易得，即可证明，从而可得间的数量关系；②过点B作，交于点N，连接GN，作于点I，由已知及旋转可得是等边三角形，结合平行四边形的性质得，，，再证明四边形是平行四边形，，则，在中求得，即可求解．【详解】（1）证明：略；（2）解：①；理由略；②如图，过点B作，交于点N，连接GN，作于点I，由（1）知，∴∠AEB=60°，由旋转有，∴是等边三角形，∴，BE=AB=5，∵，∴，由旋转得，∵四边形是平行四边形，∴，∴，在与△EBC中，∵，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由勾股定理得，∴．一、单选题1．（2026·吉林·一模）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为（

）A． B．30° C．35° D．【答案】D【分析】根据旋转的性质可得CB=CB′，，由点在上可知，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出旋转角，再根据旋转角相等得出的度数．【详解】解：由旋转的性质可知，CB=CB′，，∠AC点刚好落在上，，，，在中，，．2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，点和均在格点上，若△A′B′C′可由绕点旋转得到，则的坐标为（

A． B．−2,4 C．−2,2 D．【答案】B【分析】旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点．要确定点的坐标，只需分别作出两组对应点（如与、与）连线的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心．【详解】解：如图，连接，，作，的垂直平分线交于点，则点．3．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，，∠A=60°，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好落在边上，则点与点之间的距离为（

）A．3 B．33 C．6 【答案】B【分析】如图：连接，先证明是等边三角形，易得是等边三角形，则；在，利用含30度角直角三角形的性质及勾股定理求得即可解答．【详解】解：如图：连接，∵将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好落在边上，∴,,∵∠A=60°，∴是等边三角形，∴，即旋转角为，∴∵，∴是等边三角形，∴；∵在中，，∠A=60°，∴∴，∴,∴，∴．4．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点B(0,6)，点A在第一象限内，AB=OA，∠OAB=120°，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（

）A．−3,3 B．−3,3 C．−【答案】C【分析】根据题意，得到每旋转4次回到原位置，进而得到第2026次旋转结束时，图形旋转了180°，进行求解即可.【详解】解：∵点B(0,6)，∴OB=6，由题可知，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，∴每旋转4次回到原位置，∵2026÷4=506⋅⋅⋅2,∴第2026次旋转结束时，图形旋转了180°，如图，作A1由旋转可知：OB1=OB=6,AB=OA=O∴∠A1O∴OA1=2∴A1∴A1故第2026次旋转结束时，点A的坐标为−35．（23-24九年级下·湖南湘潭·自主招生）如图，点为正方形内一点，，将△AEB绕点按顺时针方向旋转，得到△CBG．延长交于点，连接，下列结论：①AF⊥CG；②四边形BEFG是正方形，③若，则．其中正确的结论是（

）A．①②③ B．①② C．①③ D．①【答案】A【分析】设交于，由∠ABK=90°及将绕点按顺时针方向旋转，得到△CBG，可得∠KAB=∠BCG，即可得∠KFC=90°，从而判断①正确；由旋转的性质可得∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG，∠EBG=90°，由正方形的判定可证四边形BEFG是正方形，可判断②正确；过点作DH⊥AE于，由等腰三角形的性质可得AH=12AE，DH⊥AE，由“”可得△ADH≌△BAE，可得AH=BE=12AE，由旋转的性质可得AE=CG，从而可得GF=12CG，判断③正确．【详解】解：设交于，如图：四边形是正方形，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到△CBG，，

，，，，故①正确；将绕点按顺时针方向旋转，，BE=BG，∠EBG=90°，又，四边形BEFG是矩形，又，四边形BEFG是正方形，故②正确；如图，过点作DH⊥AE于，，DH⊥AE，，，四边形是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，，，又，∠AHD=∠AEB=90°，，，将绕点按顺时针方向旋转，，四边形BEFG是正方形，，，即，故③正确；正确的有：①②③.二、填空题6．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，将绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C【答案】69【分析】由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，即可求解．【详解】解：∵将绕顶点B顺时针旋转到▱A1∴，∴，∴．7．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，旋转角度为，点的对应点为点，连接．若点，，在同一条直线上时，则α=______．【答案】70°/70度【分析】由旋转的性质可得AC=AD，∠CAD=α，根据点，，在同一条直线上，利用邻补角的定义求出∠ACD的度数，再根据等边对等角求出∠ADC，最后利用三角形内角和定理求出∠CAD的度数即可求解【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，旋转角度为，点的对应点为点，∴AC=AD，∠CAD=α点，，在同一条直线上，，∵AC=AD，在△ACD中，．8．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为，以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为，若叶片每秒绕点逆时针旋转，则第2026秒时叶片尖点的坐标为_______．【答案】【分析】根据旋转速度求出旋转一周所需的时间，利用带余除法确定第2026秒时叶片转过的圈数和剩余角度，结合初始坐标及旋转性质确定最终坐标．【详解】解：由题意可知，叶片旋转一周所需时间为（秒），第2026秒时叶片尖点的位置与第2秒时的位置相同，此时叶片转过的角度为初始点的坐标为，点在第一象限角平分线上逆时针旋转后，点在第二象限角平分线上，且到原点的距离不变第2026秒时叶片尖点的坐标为．9．（2026·河南周口·模拟预测）如图，在矩形中，AB=6，，点P是直线上的一个动点（不与点C重合），将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接．当时，的长为______．【答案】12或【分析】分点在线段上和点在的延长线上两种情况求出的长，在中利用勾股定理求出的长，由旋转的性质可知是等腰直角三角形，进而求出的长．【详解】解：四边形是矩形，∴，，∵，∴，分两种情况讨论：①当点在线段上时，∵，∴，解得CP=2，∴，在中，由勾股定理得，由旋转的性质可知，，，∴是等腰直角三角形，在中，由勾股定理得；②当点在的延长线上时，∵，，解得，∴，在中，由勾股定理得，由旋转的性质可知，，，∴是等腰直角三角形，在中，由勾股定理得；综上所述，的长为或．10．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在等边三角形ABC中，，点D在上，且CD=3,将绕点C在平面内旋转，点D的对应点为点P，连接AP，．当时，AP的长为___________．【答案】7或【分析】延长交于点，由等边三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定可得，利用勾股定理求得，根据旋转的性质分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，求出、的值，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，延长交于点，是等边三角形，，又，垂直平分，，，将线段绕点在平面内旋转，点的对应点为点，，当点在线段上时，，；当点在线段的延长线上时，，，综上所述，AP的长为7或．三、解答题11．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F．已知BC=3，AC=4．(1)求的长；(2)判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)1(2)，理由见解析【分析】（1）先根据旋转的性质得到，然后计算即可；（2）根据角度之间的关系，结合三角形的内角和定理，推出∠BFD=90°，即可．【详解】（1）解：∵将绕点C按顺时针方向旋转得到，∴，∴；（2）解：．∵，∴∵将绕点C按顺时针方向旋转得到，∴∠A=∠D，∴，∴，∴．12．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图1，在中，，，点D是边上的一点（不与点B，C重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转，得到线段．(1)求证：BD=CE；(2)如图2，的平分线交于点F．①试探究三线段，，之间有何数量关系，并予以证明；②若，CF=3，求的长．【答案】(1)证明：∵，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，∴，，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS∴BD=CE；(2)①，证明如下：如图2，连接，∵的平分线交于点F，∴∠DAF=∠EAF，在和中，，∴，∴DF=EF，∵，，∴，由（1）得，△ABD≌△ACE，∴，BD=CE，∴，∴，∴；②3【分析】（1）根据旋转的性质，∠BAD=∠CAE，利用证明△ABD≌△ACE即可得到；（2）①连接，证明可得DF=EF，利用勾股定理从而可证明结论；②过A作于H，结合①中的结论得到，进而得到，根据等腰直角三角形的性质得到，在Rt△AFH中根据勾股定理即可求解．【详解】（1）略（2）解：①略；②如图2，过A作于H，由①得，，∵，CF=3，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，在Rt△AFH中，，∴的长为35．13．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，点为线段上一点．△ACM，△CBN是等边三角形，线段AN，交于点，线段，交于点，连接．(1)求证：；(2)求证：△CEF为等边三角形；(3)将△ACM绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，如图．试判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．【答案】(1)证明：，△CBN是等边三