2026年沪科版新九年级数学 专题02 一元二次方程的应用（暑假复习讲义）

专题02一元二次方程的应用内容导航01复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标02知识重构

→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系03题型突破

→汇总常考题型，举一反三，方法提炼题型1传播问题题型6销售利润问题题型2增长率问题题型7工程问题题型3面积问题题型8行程问题题型4动态几何问题题型9循环赛问题题型5数字问题04综合通关

→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官

05错题留痕

→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解常考考点命题风向1.增长率/降低率问题2.利润销售问题3.几何面积问题4.数字问题5.传播传染问题6.行程/工程问题1.增长率题型：选择、填空常考单/双年增长，解答题结合经济、人口情境列方程，必考验根取舍。2.销售利润：中考高频解答，定价增减带动销量变化，易错点：舍去不符合实际的负根、超范围解。3.几何应用题：和勾股定理、矩形面积结合，含小路平移转化空白面积，动点压轴小综合。4.传染模型：选择题经典模型，区分两轮传染与多轮传染列式差异。5.命题趋势：纯列式计算变少，侧重生活真实情境建模，答案必须检验是否贴合现实意义（长度、价格不能为负）。考情解码：一元二次方程的应用是沪科版八年级下册重难点，承接一元二次方程解法、判别式内容，衔接九年级二次函数实际应用，是初中代数建模思想的核心载体。考题以解答题为主体，少量选择填空，命题素材紧贴市场经济、生活基建、几何图形、防疫传染等真实场景；高频易错点：①忽略解的实际意义，未舍去负数、超出取值范围的根；②增长率模型指数次数写错；③几何题边长设元后等量关系找错；④利润题销量随单价变化的关系式列反。本模块是期中、期末、中考必考大题，常与几何、不等式做小型综合，侧重考查从文字信息提炼等量关系、数学建模的核心能力。知识点一一元二次方程实际应用常见模型传播问题：n轮传染后总人数=(1+x)增长率问题：起始量a，变化率x，两次变化后：a1±x2=b，增长取+面积问题：利用平移法拼接图形，根据剩余面积列等式。销售利润问题：单件利润×销售数量=总利润，结合价格变动带来的销量变化列式。握手、单循环赛问题：总次数公式S=1互赠礼物问题：总礼物数公式S=x（【易错提醒】（1）要舍去不符合现实意义的负数根、超限根。即时即练为推动乡村振兴，弘扬本地农产品品牌，长沙市某大型超市在五一期间特设专柜，销售两种特色水果：大围山黄金梨和沩山李子．已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元．在销售过程中发现，当每千克黄金梨的利润为4元，每千克李子的利润为2元时，张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元．(1)求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元？(2)在（1）的条件下，该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克．市场调研表明：若这两种水果每千克的售价各提高1元，则它们每天的销售量均减少10千克．超市决定将这两种水果每千克的售价均提高a元（不考虑其他因素），要使每天销售这两种水果的总利润为960元，求a的值．【答案】(1)黄金梨和李子每千克的进价分别是10元和8元(2)2或7【分析】（1）根据“每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元”和“张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元”列方程组求解即可；（2）根据售价及销售量的变化，利用“每天销售这两种水果的总利润为960元”列方程求解即可．【详解】（1）解：设黄金梨每千克的进价为x元，李子每千克的进价为y元，由题意，得x+y=18解得x=10y=8答：黄金梨和李子每千克的进价分别是10元和8元；（2）解：由题意，得4+a100−10a解得a1=2，当a=2或7时，两种水果的销售量均大于0，符合题意．答：a的值为2或7．题型1传播问题例1．冬季流感频发，某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（

）A．第1轮后x+1个人患了流感 B．第2轮新增xx+1C．可列方程1+x+x2=49【答案】C【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出代数式和方程．根据题意，列出代数式和方程，逐项进行分析即可．【详解】解：∵每轮传染中平均一人传染x人，∴第一轮后患病人数为x+1人，故A正确，不符合题意；∵第一轮后有x+1人，每人传染x人，∴第二轮新增加xx+1∵两轮后总患病人数为x+1+x∴列方程x+12故选：C．例2．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？【答案】8【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是73，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据题意，可得1+x+x整理得x2解得x1=8，答：这种植物每个支干长出的小分支个数是8．【技巧总结】（1）核心公式：(1+x)n（2）x为每轮传播人数，n为传播轮数，注意区分总感染人数和新增人数；（3）求出负根直接舍去，结果取正整数。【变式训练1-1】有一种传染病传染性很强，研究发现，在某地区如果有一个人染上该病，那么经过两轮传染后，理论上就共有121人染上该病，请问该传染病在每轮传染中平均一个人会传染几个人？如果疫情不能得到有效控制，那么经过三轮传染后将会有多少人染上这种病？【答案】1331人【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有121人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，再列式计算即可得出结论．【详解】解：设该传染病在每轮传染中平均一个人会传染x个人，则1+x+1+x解得x=−12（舍），或x=10，∴经过三轮传染后染上这种病的人数为：121+121×10=1331（人）．答：经过三轮传染后将会有1331人染上这种病．【变式训练1-2】近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人(2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用：（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可；（2）根据（1）所求列式求解即可．【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，由题意得，1+x+x整理得x2解得x=9或x=−10（舍去），答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；（2）解：1+9+9答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．题型2增长率问题例3．某超市1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为450万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（

）A．2001+x2=450C．200+2001+x=450 【答案】A【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，如果平均每月增长率为x，根据某超市1月份的营业额为200万元，则2月份的营业额为2001+x万元，3月份的营业额为200【详解】解：根据题意，得2001+x故选：A．例4．因新冠病毒的不断变异，市场对口罩的需求增大，某工厂引进了一条口罩生产线，开工第一天生产50万个口罩，第三天生产72万个，调查发现，1条生产线最大产能是150万个/天，若每增加1条生产线，则每条生产线的最大产能将减小5万个/天．(1)若每天生产口罩增长的百分率相同，求每天增长的百分率；(2)若增加2条生产线，则每天生产口罩最多为万个；是否能增加生产线，使得每天生产口罩1500万个，若能，应增加几条？若不能，请说明理由．【答案】(1)20(2)420，不能，理由见解析【分析】（1）根据增长率的模型m1+x（2）设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（150−5a）万个/天，列方程，即可求解．【详解】（1）解：设每天增长的百分率为x，依题意得：501+x解得：x1=0.2=20%答：每天增长的百分率为20%（2）解：若增加2条生产线，则每天生产口罩最多3150−5×2设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（150−5a）万个/天，依题意，得：1+a150−5a化简得：a2∵Δ=∴不能增加生产线，使得每天生产口罩1500万个．【技巧总结】（1）连续两次变化通用公式：a1±x2（2）a为初始量，b为最终量，切勿颠倒数据；（3）单次变化不用平方，仅连续两次变化套用平方公式。【变式训练2-1】央视春晚无锡分会场主舞台所在的清名桥历史文化街区，今年大年初一接待游客20万人次，大年初三接待游客22万人次，若设平均每天游客人数增长的百分率为x，根据题意可得方程为______．【答案】20【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用大年初三接待游客人次数=大年初一接待游客人次数×(1+年均增长率x)2，即可列出关于【详解】解：根据题意得：20(1+x)故答案为：20(1+x)【变式训练2-2】中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒75元，连续两次降价后每盒48元，若每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率．(2)若每盒盈利10元，每天可售出500盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少20盒，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？【答案】(1)每次下降的百分率为20%(2)涨价5元【分析】（1）利用“原价×(1-下降百分率)2=两次降价后的价格”列方程，注意下降百分率的取值范围是0<x<1，需舍去不合题意的解．（2）根据“每盒盈利×日销售量=总盈利”列方程，求解后结合“尽快减少库存”的要求，选择使日销售量更大的涨价金额(即较小的涨价数值)．【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x，根据题意可得：75(1−x)解得x1=1−4答：每次下降的百分率为20%（2）解：设每盒应涨价y元，根据题意可得：(10+y)(500−20y)=6000，展开化简得：y2因式分解得：(y−5)(y−10)=0，解得y1=5，∵要尽快减少库存，∴y=5，答：每盒应涨价5元．【变式训练2-3】根据以下素材，完成任务．素材1随着社区团购的普及，某生鲜配送站的订单处理效率持续提升．该配送站8月份完成订单250单，10月份完成订单640单．素材2该配送站每单的配送成本为8元，当每单配送费定为12元时，日订单量为300单；若配送费每提高1元，日订单量将减少20单．问题解决任务1求该配送站8月份到10月份订单量的月平均增长率；任务2为使该配送站日利润达到1760元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？【答案】任务1：月平均增长率为60%；任务2：每单实际配送费应定为16元【分析】（1）设每月平均增长率为x，则两次增长后的订单量为250(1+x)（2）根据“总利润=每单利润×日订单量”，列出一元二次方程，解方程，结合“要降低用户的配送成本”确定解的取舍．【详解】解：任务1：设该配送站8月份到10月份订单量的月平均增长率为x．根据题意，得250(1+x)解得x1=0.6=60%答：月平均增长率为60%．任务2：设配送费用上涨y元，则实际配送费为(12+y)元，日订单量为(300−20y)单，根据题意，得(300−20y)(12+y−8)=1760，解得y1=7，∵要降低用户的配送成本，∴每单实际配送费为12+4=16（元）．答：每单实际配送费应定为16元．【点睛】连续两次增长率问题一般可用公式a(1+x)题型3面积问题例5．如图，小区物业准备利用一个直角墙角建造一个矩形花坛，若花坛两边靠墙（墙足够长），剩余两边用篱笆围成，且篱笆总长度为13m，要使围成的花坛的面积为30m2，设花坛较短边的长度为xA．x(13+x)=30 B．x(13−x)=30C．x(x−13)=30 D．2x+(13−x)=30【答案】B【详解】解：设花坛较短边的长度为x，则较长边的长度为13−x，又围成的花坛的面积为30m∴x(13−x)=30．例6．如图，某校生物兴趣小组在该校空地上围了一块矩形试验田ABCD，用来种植蔬菜．试验田一面靠墙，墙的最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的篱笆围成，并在CD边上开有一扇宽为1米的小门（篱笆全部用完，门不用篱笆），设AD的长为x米，解答下列问题：(1)AB的长为___________米；（用含有x的代数式表示）(2)围成的矩形试验田ABCD的面积能为240平方米吗？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．【答案】(1)52−2x(2)能，AD的长为20米【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．（1）用篱笆长加上门宽，减去AD和BC的长即可；（2）由长方形面积列出方程进行求解即可．【详解】（1）解：AB=51+1−2x=52−2x故答案为：52−2x；（2）解：围成的矩形试验田ABCD的面积能为240平方米，∴x52−2x整理得到x2解得：x1=20，当x=6时，52−2x=52−12=40>35，（不合题意舍去），当x=20时，52−2x=52−40=12<35，（符合题意），∴AD的长为20米．【技巧总结】（1）道路、边框题型用平移法，拼接成规则图形，简化长宽列式；（2）阴影面积=总面积−空白面积，避免重复减、漏减重叠区域；（3）所有边长、宽度结果必须为正数，舍去零和负数解。【变式训练3-1】学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为10m的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为20m的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为48m2，则AD【答案】6【分析】设AD的长为xm，根据篱笆总长为20m表示出【详解】解：设AD的长为xm∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=xm∵篱笆总长为20m∴AB=20−2x根据题意，得x20−2x解得x1当x=4时，AB=20−2×4=12，∵12>10，即AB长超过了围墙长度，∴x=4不符合题意，舍去，当x=6时，AB=20−2×6=8，∵8<10，符合题意，∴AD的长为6m【变式训练3-2】某景区内有一块34×20的矩形郁金香园地（如图所示，单位：米），现在其中修建长方形和平行四边形花道（阴影部分所示），供游人散步赏花，若改造后种植郁金香的面积为540平方米，求图中x的值．【答案】x的值是2【分析】本题考查了一元二次方程与实际问题，关键是根据等量关系列方程；根据改造后种植郁金香的面积为540平方米列方程即可.【详解】解：由题意得：2x20−x整理得：x2解得：x1答：x的值是2．【变式训练3-3】蜜柚是平和县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题．信息及素材素材一在专业种植技术人员的正确指导下，果农对蜜柚种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年蜜柚平均每株产量是200千克，2025年达到了288千克，每年的增长率基本相同．素材二蜜柚一般用长方体包装盒包装后进行售卖．(1)任务1：求蜜柚平均每株产量的年平均增长率；(2)任务2：现有长100cm，宽80cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2），为了装下适当数量的蜜柚，需要设计底面积为【答案】(1)20%(2)20【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．（1）设蜜柚平均每株产量的年平均增长率为x，根据连续2年增长后每株产量增长为288千克，列方程求解；（2）设裁掉的正方形的边长为xcm，则长方体纸盒的底面长为100−2xcm，宽为80−2xcm【详解】（1）解：设蜜柚平均每株产量的年平均增长率为x，根据题意可得：2001+x解得：x1=0.2，∵0.2=20%，答：蜜柚平均每株产量的年平均增长率为20%；（2）解：设裁掉的正方形的边长为xcm，则长方体纸盒的底面长为100−2xcm，宽为根据题意可得：100−2x80−2x整理得：x2分解因式得：x−20x−70解得：x1=20，答：此时长方体纸盒的高为20cm题型4动态几何问题例7．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段PQ将△ABCA．2 B．4 C．2或4 D．2或6【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题的关键．设运动时间为t秒，根据题意可得BQ=2tcm，BP=【详解】解：设运动时间为t秒，则AP=tcm，BQ=2t∵AB=6cm，BC=8∴BP=AB−AP=6−t∵线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分，∴S△BPQ=1∴12×2t6−t解得t1=2，∴线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒．故选：C．例8．如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点(1)出发几秒时，点P、D之间的距离是点P、Q之间的距离的2倍？(2)在点P、Q的运动过程中，是否存在某个时刻，使得△DPQ的面积是16cm【答案】(1)3秒(2)不存在，理由见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程求解是解题的关键．（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，根据勾股定理可得PD2=4P（2）设x秒后ΔDPQ的面积是16cm2，利用矩形面积−△DPQ【详解】（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，∴PD=2PQ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴PD2=A∵PD当0<t≤5时，∴8解得：t1=3，答：3秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）不存在，理由如下：设x秒后△DPQ的面积是16cm2∵S∴12整理得x2∵Δ∴该方程无解，∴不存在时间t使得△DPQ的面积是16cm2【技巧总结】（1）设运动时间为未知数，用含参数式子表示动态线段长度；（2）依托直角三角形、面积、周长公式列方程，常结合勾股定理解题；（3）解后检验动点运动范围，超出线段长度的解直接舍去。【变式训练4-1】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，(1)当t为何值时，△PBQ的面积是△ABC面积的524(2)当t为何值时，PQ的长为42【答案】(1)1(2)25【分析】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程的意义，由题意得一元二次方程是关键．（1）由题意可求得BQ、BP的长，从而可得关于t的一元二次方程，解方程即可；（2）根据勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）解：根据题意知BQ=2tcm，AP=t∴BP=AB−AP=6−t∵∠B=90°，∴S△PBQ∵在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8∴S△ABC∵△PBQ的面积是△ABC面积的524∴S△PBQ∴−t解得t1=1，∴当t为1时，△PBQ的面积是△ABC面积的524（2）解：设t秒后，PQ的长度等于42根据勾股定理，得PQ2=B整理得，5t解得t1=2，∴当t为25或2时，PQ的长度等于4【变式训练4-2】如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发，以2cm/s的速度向终点C运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为(1)在运动过程中，PQ的长度能否为25cm？若能，求出(2)当t为何值时，△PDQ的面积为10cm【答案】(1)能为25cm，(2)当t的值为1或2时，△PDQ的面积为10【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用．（1）根据点的运动速度表示出BP、BQ的长度，利用勾股定理列出关于t的方程，求解并检验；（2）用矩形面积减去周围三个三角形面积表示出△PDQ的面积，列出方程求解．【详解】（1）解：PQ的长度能为25根据题意，得AP=t，BQ=2t，∴BP=4−t，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，在Rt△PBQ得PQ当PQ=25时，5t2这里a=5，b=−8，c=−4，∴Δ=∴t=−b±∴t1=2，∴PQ的长度能为25cm，此时（2）解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，AB=CD=4，AD=BC=6．∴S=4×6−=t当S△PDQ=10时，解得t1=1，∴当t的值为1或2时，△PDQ的面积为10cm题型5数字问题例9．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数．【答案】原来的两位数为53【分析】本题主要考查了列代数式，列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是根据题意列出代数式．设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为x2【详解】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为x2依题意，得10x整理，得x2解得x1=3，∴10x答：原来的两位数为53．【技巧总结】（1）连续数字、奇数、偶数设中间数或相邻数，简化列式；（2）两位数问题：十位数字×10+个位数字，表示真实数值；（3）数字为0-9的整数，超范围、非整数解全部舍去。【变式训练5-1】如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为345，则这个最小数为？【答案】15【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设最小数为x，则最大数为x+8，根据最小的数与最大的数的乘积为345建立方程，解方程即可得．【详解】解：设最小数为x，则最大数为x+8，由题意得：xx+8解得x1=15，答：这个最小数为15．【变式训练5-2】请欣赏改编自苏轼《念奴矫·赤壁怀古》的诗歌：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立（三十而立）之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．最后两句大意为十位上的数比个位小3，个位上的数的平方等于他去世时的年龄．求周瑜去世时的年龄．【答案】周瑜去世时年龄为36岁．【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设十位上的数为x，根据题中“十位上的数比个位小3，个位上的数的平方等于他去世时的年龄”，列方程解答即可．【详解】解：设周瑜去世时年龄的十位上的数是x．由题意，得10x+x+3解得x1∵周瑜已过而立之年，∴x=3,∴x+3=6．故答案为：周瑜去世时年龄为36岁．题型6销售利润问题例10．某农村居委会以16000元的成本收购了一种农产品40吨，目前就可以按600元/吨的价格全部销往外地，如果将该农产品先储藏起来，每星期的重量会损失1吨，且每星期需支付各种费用共400元，每星期每吨的价格能上涨100元，但储藏时间不超过10个星期，那么储藏多少个星期出售这种农产品可获利20500元？【答案】储藏5个星期出售这种农产品可获利20500元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设储藏x个星期出售这种农产品可获利20500元，根据题意得：600+100x40−x解得，x1=5，答：储藏5个星期出售这种农产品可获利20500元．例11．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元（不计其他费用），据市场调研发现，当这款工艺品的销售单价是50元/件时，每天的销售量是100件，且每件工艺品的售价每提高1元，每天的销售量将减少2件，该公司计划在售价为50元/件的基础上适当提价销售，但销售单价不得超过65元/件．该公司要使每天销售这种工艺品盈利1600元，每件工艺品的售价应为多少元？【答案】60元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握利润问题是解题的关键．设每件工艺品的售价应为x元，则每天的销售量为100−2x−50【详解】解：设每件工艺品的售价应为x元，则每天的销售量为100−2x−50根据题意，得x−40100−2整理得x2解得x=60或x=80．∵x≤65，∴x=60．答：每件工艺品的售价应为60元．【技巧总结】（1）核心公式：总利润=单件利润×销售数量；（2）单件利润=售价−进价，涨价减量、降价增量，对应关系不写反；（3）严格贴合题干售价、销量限制条件，筛选合规解。【变式训练6-1】小王准备投资销售一种进价为每公斤40元的坚果．通过试营销发现：当销售单价在每公斤40元到90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示．(1)求y与x之间的函数解析式；(2)如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元？【答案】(1)y=−4x+360(2)60元或70元【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果．【详解】（1）解：设y与x之间的函数解析式为y=kx+bk≠0把50,160，65,100代入y=kx+bk≠0中得：50k+b=160解得k=−4b=360∴y与x之间的函数解析式为y=−4x+36040≤x≤90（2）解：由题意得，x−40−4x+360整理得x2解得x=60或x=70，∴如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤60元或70元．【变式训练6-2】某运动品商场针对某品牌的足球推出团购优惠活动，活动方案如下：购买足球数量（只）足球单价（元/只）不超过30只每只足球180元超过30只购买足球的数量每增加一只，所购足球的单价降2元/只，但足球的单价不得低于120元某足球学校花费6750元在该运动品商场购买了该品牌的足球，请你确定该足球学校购买足球的数量．【答案】该足球学校购买足球的数量为45只【分析】先通过计算判断购买数量的范围，再根据总价等于单价乘以数量列一元二次方程求解，舍去不符合题意的解，得到最终结果．【详解】解若购买足球不超过30只，则最多花费30×180=5400（元）∵5400<6750∴该足球学校购买足球数量超过30只，当足球单价恰好为120元时，购买数量为30+180−120若购买数量超过60只，总价最少为60×120=7200（元）∵7200>6750∴该足球学校购买足球数量x满足30<x<60设该足球学校购买足球x只，则每只足球的单价为180−2x−30根据题意列方程得x240−2x解得x1∵30<45<60，75>60不符合题意，舍去x答：该足球学校购买足球的数量为45只．【变式训练6-3】综合与实践：设计商品最优定价方案【素材】某经销商计划销售一款塑料椅，根据试售统计，若塑料椅的售价定为每个50元时，每月可销售100把；若塑料椅的售价每降价1元，则销售量增加10把，塑料椅的进价为每把20元，假设塑料椅全部售完（进货量=销售量），设每把塑料椅降价x元，备注：利润=（售价-进价）×销售量，回答下列问题：【问题】(1)任务1：每把塑料椅的实际利润为________元（用含x的代数式表示），塑料椅的销售量为________把（用含x的代数式表示）．(2)任务2：若经销商计划进货不超过200把，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时塑料椅的售价，反之，请说明理由．(3)任务3：对比试售数据，若经销商想让每月利润达到最大值，求此时塑料椅的售价．【答案】(1)30−x，100+10x(2)能，售价为45元(3)40元【分析】（1）用实际售价减去进价即可表示利润；塑料椅的售价每降价1元，则销售量增加10把，则塑料椅降价x元，销售量增加10x把，即可得到塑料椅的销售量；（2）根据利润公式建立一元二次方程求解，并检验是否符合题意即可；（3）根据利润公式表示出利润，再利用配方法求解最值即可．【详解】（1）解：由题意得，每把塑料椅的实际利润为50−x−20=30−x元；塑料椅的销售量为100+10x（2）解：能让每月利润达到3750元，由题意得，30−x整理得，x解得x1=5当x=5时，销售量为100+10×5=150≤200，符合题意；当x=15时，销售量为100+10×15=250>200，不符合题意，则此时的售价为50−5=45（元）答：能让每月利润达到3750元，此时的售价为45元；（3）解：令利润为w元，由题意得，w=∵x−102∴−10x−10∴−10x−10即w≤4000，当x=10时，w取得最大值4000，那么此时的售价为50−10=40（元）答：经销商想让每月利润达到最大值，此时塑料椅的售价为40元．题型7工程问题例12．列方程解下列问题：甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．(1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？(2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了5m%，乙每小时比原来多生产m个零件，甲、乙两人同时工作m小时共可以生产1500个零件，求m【答案】(1)甲每小时生产60个零件，则乙每小时生产50个零件(2)10【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键．（1）设甲每小时生产x个零件，则乙每小时生产x−10个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解；（2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为60+60×5m%=60+3m，乙每小时生产50+m【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件，则乙每小时生产x−10个零件，根据题意得：120x解得：x=60，经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，此时x−10=50，答：甲每小时生产60个零件，则乙每小时生产50个零件；（2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为60+60×5m%=60+3m60+3m+50+mm=1500整理得：2m解得：m1即m的值为10．【技巧总结】（1）总工程量常设为1，工作效率=1÷单独完成天数；（2）合作工作量=各队工作量之和，根据总工程量列方程；（3）工作时间、效率均为正数，舍去不合理负根。【变式训练7-1】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20(2)增加4条或25条生产线【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解．【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．依题意，得：22501+x解得：x1=0.2=20%答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%（2）解：设增加x条生产线．900−30xx+1解得x1=4，答：增加4条或25条生产线．【变式训练7-2】城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速G69银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的32(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m2米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m3米，若最终每天实际总成本比计划多9m−2万元，求【答案】(1)甲最多施工900米(2)m的值为2【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键．（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工2000−x米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的32”列出关于x（2）根据“最终每天实际总成本比计划多9m−2万元”即可得出关于m的一元二次方程求解即可．【详解】（1）解：设甲施工x米，由题意可得：92100−x解得：x≤900．答：甲最多施工900米．（2）解：由题意可得：8+m6+整理得m2解得m1答：m的值为2．题型8行程问题例13．汽车在公路上行驶，它行驶的路程skm和时间ts之间的关系式为s=3t2+18tA．10s B．103s C．4【答案】C【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程skm根据路程和时间之间的关系，将s=120代入求出t即可．【详解】解：依题意得：120=3t整理得t2解得t1=−10(不合题意舍去)，即行驶120km需要4故选：C.【技巧总结】（1）依托公式：路程=速度×时间，找准变速、分段行驶的等量关系；（2）相遇、追及问题梳理路程差、路程和，精准列式；（3）速度、时间必须为正值，剔除不符合实际的解。【变式训练8-1】在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为V=20+302(1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了t秒后小球的速度为___________米/秒；(2)小球滚动24米用了多少秒？【答案】(1)2，10−2t(2)4秒【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即s=V（1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式．（2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即s=Vt建立关于时间【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：10−05从开始滚动t秒后，速度减少了2t米/秒，所以此时速度为：10−2t（米/秒）．故答案为：2，10−2t．（2）根据题意，平均速度V=因为运动路程即s=Vt，且∴(10−t)⋅t=24tt−4解得t1=4，因为小球5秒后停止运动，t=6不符合实际情况，舍去．答：小球滚动24米用了4秒．【变式训练8-2】l1是一条东西方向的道路，l2是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点O．小明和小丽分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着l1以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着l2以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点P处，古树与【答案】149【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，假设小明看作点A，小丽看作点B，再过P分别作l1、l2的垂线，两人与这棵古树的距离恰好相等，也就是PA=PB，在直角三角形中利用勾股定理列出关于【详解】解：设两人离开路口时间为t，小明看作点A，小丽看作点B，∴OA=5t千米，OB=4t千米两人与这棵古树的距离恰好相等，则PA=PB∴P根据题意P处与l1、l如图，过点P作PN⊥∴PM=2千米，在Rt△AMP中，PA在Rt△BNP中，PB∴5t−3解得t1=0∴t=答：离开路口后经过149题型9循环赛问题例14．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，乐陵市某学校九年级举行了足球比赛，比赛以单循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场，设共有x个班级参加比赛，可列方程是（

）A．xx−1=45 B．x−12=45 C．xx+1【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出其等量关系．单循环赛中，比赛总场次为12【详解】解：∵每个班级之间均比赛一场，∴总场次为12又∵总场次为45，∴12故选：D．例15．快毕业了，九（1）班同学决定互赠一张贺卡留念，全班送出的贺卡总共2256张，如果设这个班有x名学生，则可列方程为（

）A．x(x−1)2=2256 C．(x−1)2=2256 【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．一名学生要送x−1张贺卡，x名学生要送xx−1【详解】解：根据题意，xx−1故选：B．【技巧总结】（1）单循环公式：12x(x−1)=（2）双循环比赛直接去掉二分之一，为xx−1（3）队伍数量为正整数，小数、负数解一律舍去。【变式训练9-1】四川省城市足球联赛（简称“川超”），赛事采用主客场双循环赛制（每两个队之间进行两场比赛），其中南充丝绸源点队所在的川东赛区有队伍x支，预计共比赛30场，列方程为___________．【答案】x(x−1)=30【分析】本题考查了一元二次方程的应用．双循环赛制下，每两支队伍之间进行两场比赛，总比赛场数为队伍数x与(x−1)的乘积．【详解】解：根据题意，总比赛场数为30场，故列方程为x(x−1)=30．故答案为：x(x−1)=30．【变式训练9-2】在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次．(1)若参加聚会的人数为3，则共握手次；若参加聚会的人数为6，则共握手次；(2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数；(3)若在∠AOB的内部由顶点O引出m条射线（不含OA,OB边），角的总数可能为20吗？为什么？【答案】(1)3；15(2)10人(3)不可能；理由见解析【分析】本题考查了数字类规律探索、一元二次方程的应用，正确归纳推出一般规律是解题关键．（1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得；（2）先求出参加聚会的人数为1∼4时，共握手的次数，再归纳推出一般规律，令12（3）参照（2）的规律，归纳推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得．【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手3−1×3÷2=3若参加聚会的人数为6，则共握手6−1×6÷2=15（2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手0=1参加聚会的人数为2，则共握手1=1参加聚会的人数为3，则共握手3=1参加聚会的人数为4，则共握手6=1归纳类推得：若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手12若参加聚会的人共握手45次，则12解得n=10或n=−9<0（不符合题意，舍去），答：参加聚会的人数为10人．（3）解：角的总数不可能是20；理由如下：若在∠AOB的内部由顶点O引出1条射线（不含OA，OB边），角的总数为3=1若在∠AOB的内部由顶点O引出2条射线（不含OA，OB边），角的总数为6=1若在∠AOB的内部由顶点O引出3条射线（不含OA，OB边），角的总数为10=1归纳类推得：若在∠AOB的内部由顶点O引出m条射线（不含OA，OB边），角的总数为12令12m+2m+1解得m=−3+1612所以角的总数不可能为20个．1．如图，在△ABC中，AC=50m，BC=40m，∠C=90°，点P从点A出发，以2m/s的速度沿AC边向点C匀速运动，同时另一点Q从点C出发，以3m/s的速度沿射线A．6s或8s B．8s或10s C．5s或20s D．3s或10s【答案】C【分析】设运动时间为ts【详解】解：设运动时间为ts，其中0≤t≤25，则AP=2t，CQ=3t∴CP=AC−AP=50−2t∵△PCQ的面积为300m2∴1解得：t=5或t=20，即当△PCQ的面积为300m2时，运动时间为5s或20s2．某钢铁厂计划今年第一季度1月的总产量为500吨，3月的总产量为720吨，假设平均每月的增长率相同．则第一季度平均每月的增长率为_______．【答案】20%【分析】设第一季度平均每月的增长率为x，结合已知1月和3月的产量，可列出关于x的一元二次方程．解一元二次方程，结合增长率为正数的实际意义，筛选得到符合要求的解．【详解】解：设第一季度平均每月的增长率为x，由题意得：500(1+x)解得：x1=0.2=20%，∵增长率不能为负数，∴舍去x2故答案为20%．3．【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字n与n+1相乘，再乘以100，然后加上25即可．【应用体验】已知10n+52=5625n>0，则【答案】7【分析】根据探究活动中总结的末位为5的两位数平方的计算规律，建立关于n的方程求解即可．【详解】解：根据探究活动可知，10n+52因为10n+52所以100nn+1移项，得100nn+1两边同时除以100，得nn+1∴n2解得n1=7，∴n=7．4．2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率；【答案】这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为25%【分析】设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元，列出方程求解，并取符合实际的值即可．【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得，2561+x解得x=14=25%答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为25%．5．为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8米的篱笆在两面互相垂直且足够长的围墙边围出一块面积为15平方米的矩形菜地，如图所示．(1)求矩形菜地的长和宽．(2)现要给这块菜地施肥，该社团计划购买A、B两种化肥共20千克．已知A种化肥每千克8元，每千克可给1平方米的菜地施肥；B种化肥每千克6元，每千克可给0.6平方米的菜地施肥．假设菜地的一部分施A种化肥，另一部分施B种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最少？【答案】(1)矩形菜地的长为5米，宽为3米(2)购买A种化肥7.5千克，B种化肥12.5千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少【分析】（1）根据矩形菜地的面积为15平方米，列一元二次方程进行求解．（2）设购买A种化肥m千克，根据“要给15平方米的菜地施肥”，可列不等式，确定m的取值范围，再根据“总花费=A种化肥的花费+B种化肥的花费”，列出总花费w与m的函数关系式，最后确定购买方案．【详解】（1）解：设矩形菜地的宽为x米(0<x≤4)，则长为(8−x)米，由题意，得x(8−x)=15，解得x1=3，8−x=8−3=5（米）．答：矩形菜地的长为5米，宽为3米．（2）解：设购买A种化肥m千克，则购买B种化肥(20−m)千克，总花费为w元，由题意，得m+0.6(20−m)≥15，解得m≥7.5．由题意，得w=8m+6(20−m)=2m+120，∵2>0，∴w随m的增大而增大，∴当m取最小值，即m=7.5时，w取最小值，此时20−m=20−7.5=12.5．答：购买A种化肥7.5千克，B种化肥12.5千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少．6．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？【答案】(1)平均一个人传染了7人(2)经过三轮传染后，患流感人数不能突破600【分析】本题考查一元二次方程的实