九年级数学“相似多边形”单元整体教案-核心素养导向（北师大版）

九年级数学“相似多边形”单元整体教案——核心素养导向（北师大版）

一、教学背景分析

（一）教材分析

本课选自北师大版九年级数学上册第四章第三节“相似多边形”，是在学生系统学习了全等三角形、成比例线段、相似三角形的定义与判定的基础上，对相似概念由“形”到“类”的第一次抽象跃升。教材编排从生活实例入手，引导学生在观察、测量、计算中抽象出相似多边形的本质特征，进而归纳定义并探究性质。本节内容既是相似三角形知识的自然延伸，也为后续学习相似多边形的应用、位似图形、三角函数以及高中几何中的相似变换奠定逻辑基础。教材以“对应角相等、对应边成比例”为双核，突出几何概念建构的完整路径——从具体到抽象、从特殊到一般，充分体现了数学化的过程。

（二）学情分析

【基础】九年级学生已具备全等图形、比例线段的知识储备，能进行简单的几何推理与代数运算，但面对“相似”这一非恒等变换时，容易与“全等”概念混淆，对“对应”关系的识别存在困难。学生抽象思维虽有所发展，但仍依赖直观经验，尤其是当图形位置变化或非标准摆放时，对应元素的确定成为认知障碍。此外，学生首次系统接触“成比例”在几何中的泛化应用，从单一的比例式到多比例式联立，对逻辑推理的严谨性要求陡然提升。跨学科层面，学生对地图比例尺、照片缩放已有生活感知，但尚未形成数学建模意识。因此，本课设计需以直观操作为支点，以变式对比为杠杆，撬动思维从直观向抽象过渡。

二、教学目标设计

（一）知识与技能

1.理解相似多边形的定义，能准确表述“对应角相等、对应边成比例”的双重条件；

2.掌握相似比的概念，能根据相似多边形求未知边的长度或角的度数；

3.能判别两个多边形是否相似，并能说明理由；

4.初步运用相似多边形的性质解决简单的实际测量问题。

（二）过程与方法

5.通过观察、测量、计算、归纳等活动，经历相似多边形概念的发生与形成过程，发展数学抽象与直观想象素养；

6.在类比全等三角形研究路径的基础上，自主探究相似多边形的性质，感悟类比思想与转化思想；

7.经历“特殊—一般—特殊”的认知循环，提升合情推理与演绎推理能力。

（三）情感态度与价值观

8.在小组合作测量与辨析中，体验合作交流的乐趣，增强几何学习的自信心；

9.通过相似多边形在生活与科技中的应用，感受数学的价值，激发探索未知的兴趣。

（四）核心素养聚焦点

【非常重要】本课核心素养锚定为：数学抽象（从生活图形中提炼相似本质）、逻辑推理（性质证明与判定应用）、直观想象（对应元素的识别与图形变换）、数学建模（用相似测距、放缩）。其中，对应元素的确立与比例式的正确列写是直观想象与数学运算的交汇点，应作为素养落地的关键抓手。

三、教学重难点及突破策略

（一）教学重点

【高频考点】相似多边形的定义及其性质；【重要】相似比的确定与计算。

（二）教学难点

【难点】准确识别复杂摆放图形中的对应顶点、对应边；【难点】比例式恒等变形与逆向应用。

（三）难点突破策略

1.采用“双色标注法”：在不同相似多边形中用相同颜色标记对应顶点，降低视觉干扰；

2.设置“变式串”：从标准水平放置到旋转、翻折、叠合、嵌套，逐步提高图形复杂度；

3.引入“对应链”书写规范：要求学生在列比例式前，先写出顶点对应关系（如A→E，B→F，C→G，D→H），将隐性思维显性化；

4.微课前置：将相似多边形与全等多边形进行对比动画，突出“形状相同、大小不同”的本质区别。

四、教学方法与教学资源

（一）教法

以“启发性问题串”驱动，融合探究式教学、变式教学、支架式教学。教师作为“认知教练”，在关键节点设问、追问、反问，引导学生自我建构。

（二）学法

倡导“做中学”——动手测量卡片、地图；倡导“说中悟”——小组互述对应关系；倡导“用中深”——解决真实情境中的缩放问题。

（三）教学资源

GeoGebra动态课件（预设可拖动、可缩放、可翻转的相似与不相似多边形组）、A4彩色卡纸、直尺量角器、校园平面图电子版、希沃白板投屏设备、课前微视频《全等与相似的一步之遥》。

五、教学过程设计（核心环节，占绝大部分篇幅）

（一）情境引入，激活思维（预设6分钟）

【启动】教师呈现一组生活中的图形：同一底片冲洗出的不同尺寸照片、中国地图出版社的校园平面图不同比例版本、一个矩形信封与一个矩形便签纸。提问：“这些图形之间有什么共同特征？为什么我们把它们称作‘形状相同’？‘形状相同’能用数学语言描述吗？”学生通过直觉回答“大小不同但样子一样”。

【聚焦】教师随即出示一组反例：一个矩形和一个平行四边形（邻边夹角不同）；一个正方形和一个一般菱形（角不等）。学生立刻产生认知冲突——仅凭“看起来像”并不可靠。此时教师顺势揭示课题：“今天我们就来给‘形状相同’下一个精确的数学定义——相似多边形。”板书课题并明确学习目标。

【设计意图】从“生活概念”到“数学概念”的落差制造悬念，激发学生定量刻画图形相似性的内驱力。【基础】此环节为概念建构的锚点，虽不涉及计算，但决定整节课的思维方向。

（二）概念建构，形成定义（预设10分钟）

【实验操作】小组活动（4人一组）：每组领取一对相似五边形硬纸片（边长成简单整数比，如1︰2），一对相似四边形（其中一个旋转90度放置），一对非相似的四边形。任务：1.测量两个图形各内角度数；2.测量对应边的长度并计算比值；3.观察数据，小组讨论“相似图形在数量上有什么必然规律？”

【汇报与抽象】各小组将数据投射至大屏。教师聚焦于相似组的共性：所有对应角相等（测量误差范围内），所有对应边比值相等。对于非相似组，则至少有一个条件不满足。

【定义生成】师生共同提炼：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。教师强调“各角分别相等”与“各边成比例”是并列且缺一不可的【非常重要】。随即给出记法：六边形ABCDE∽六边形A1B1C1D1E1，并强调对应顶点必须写在对应位置上。

【即时辨析】教师呈现动态课件：拖动改变正五边形大小，始终保持相似；将平行四边形拉伸为一般四边形，角发生变化，相似关系破坏。追问：“如果两个矩形一定是相似的吗？”（不一定，长宽比必须相等）【高频考点】此处及时击破“所有矩形都相似”的错误前概念。

【设计意图】通过亲身测量与数据比对，将隐性感知显性化为数量条件，定义不再是强加条文，而是学生自我发现的自然结论。动手操作时长充分，确保后进生也能跟上。

（三）性质探究，定理生成（预设8分钟）

【类比迁移】教师引导学生回顾全等三角形的性质：“全等三角形的对应边、对应角有什么关系？”学生答：对应边相等、对应角相等。教师追问：“将‘相等’换成‘成比例’，你能猜出相似多边形的性质吗？”

【自主推导】学生独立写出：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。教师补充：相似比的定义——相似多边形对应边的比。强调相似比与叙述顺序有关（若五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，且AB︰A1B1=k，则k是前一个五边形与后一个五边形的相似比）。【重要】

【性质细化】教师指出：性质本身来源于定义，是定义的直接应用，但它的价值在于——已知相似便可直接得到角相等、比例式，无需再测量。这是推理的起点。

【设计意图】类比思想在此处被刻意放大，将旧知框架整体迁移至新知，降低认知负荷，凸显数学结构的统一性。

（四）例题解析，规范示范（预设12分钟）

【例1·基础巩固】如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A=80°，∠B=90°，∠C=125°，AD=4，EH=6，EF=9，FG=8。求∠G的度数和AB，BC，CD的长度。【高频考点】【基础】

教师示范四步解题流程：

[1]写对应关系：根据字母顺序或图形标注，明确顶点对应（A↔E，B↔F，C↔G，D↔H）。

[2]用性质：相似多边形对应角相等→∠E=∠A=80°，∠F=∠B=90°，∠H=∠D。先利用四边形内角和360°求∠D=55°，故∠H=55°，∠G=360°-80°-90°-55°=135°。

[3]用比例：相似比k=AD︰EH=4︰6=2︰3。则AB︰EF=2︰3→AB︰9=2︰3→AB=6；BC︰FG=2︰3→BC︰8=2︰3→BC=16/3；CD︰HG=2︰3→CD=(2/3)HG，需先求HG？已知EH=6且比例已用，HG对应CD？——教师点明：必须明确HG与CD对应，根据比例2︰3，若CD未知设x，则x︰HG=2︰3，但HG未知？这里需要利用已知边找齐对应。重新梳理：相似比2︰3来自AD/EH，所有对应边的比均为2︰3。BC/FG=2︰3已求BC；CD/HG=2︰3，但HG未知，无法求CD。需通过其他已知边？题目中未给HG，故CD无法唯一确定——这里故意设置一个条件缺失，引导学生发现：必须已知一对对应边才能求其他边。【难点】教师顺势强调：相似比必须借助一组已知的对应边求出，且一旦求出，所有对应边的比都等于该相似比。

[4]答：规范书写，带单位。

【例2·变式递进】将例1中的四边形改为五边形，且图形放置成非水平、部分边重叠。要求学生先独立标对应顶点，再列比例式。【重要】【热点】教师巡视，发现普遍错误：学生容易受图形位置干扰，把视觉上最近的边当作对应边。此时采用“对应链”策略：在图上用相同颜色描出对应边，并写出顶点序列表。

【设计意图】两道例题构成“样板题+变式题”结构，第一题重规范，第二题重抗干扰，通过具体错例强化“对应”的灵魂地位。

（五）变式训练，深化理解（预设10分钟）

【题组1·辨析训练】判断下列说法是否正确：

（1）两个等边三角形一定相似；【非常重要】是，因为角恒为60°，边成比例取决于边长比，任意两个等边三角形对应边成比例（边长比恒定），故一定相似。

（2）两个等腰直角三角形一定相似；是，角分别为90°、45°、45°，对应相等，边成比例由腰长比决定，任意两个等腰直角三角形相似。

（3）两个菱形一定相似；否，角不一定相等。

（4）两个正方形一定相似；是。

【题组2·计算训练】一个五边形各边长依次为3,5,4,6,7，与其相似的另一个五边形的最长边为14，求后者的最短边。【高频考点】先找对应：最长边对应最长边，最短边对应最短边。相似比=14︰7=2，则后者的最短边=前者的最短边3×2=6。

【题组3·开放训练】已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，相似比为3，四边形A1B1C1D1的周长为20，求四边形ABCD的周长。学生通过设各边或整体思想推出：周长比等于相似比，故四边形ABCD周长为60。【重要】教师追问：这个结论能推广到任意相似多边形吗？学生猜想并尝试说理：各边同时乘以k，周长即乘以k。此为相似多边形周长的性质。

【设计意图】变式训练呈阶梯状：概念辨析→简单计算→性质推广，既覆盖考点又提升思维层次。小组内互批互讲，将错误资源转化为教学资源。

（六）拓展延伸，跨学科融合（预设8分钟）

【情境1·地理】展示比例尺为1︰50000与1︰100000的两张同区域地图。提问：两个地图多边形区域相似吗？相似比是多少？学生指出：它们是相似多边形，对应角相等（经纬线垂直），对应边成比例（实际距离在图上的缩放）。相似比为1︰50000与1︰100000之比，即2︰1（前者边长是后者的2倍）。【跨学科视角】

【情境2·美术】展示达芬奇维特鲁威人比例图，引入“黄金矩形”概念：长宽比为φ的矩形称为黄金矩形。请学生计算：两个黄金矩形一定相似吗？是，因为长宽比恒定。

【情境3·技术】简析手机“智能构图”中的相似裁剪：当把照片从3︰2裁剪为16︰9时，为什么有时会切掉部分画面？因为两个矩形若不满足长宽比相等，则不是相似图形，无法通过单纯缩放得到，必须裁切。

【设计意图】将数学概念投射到地理、美术、信息技术等学科，一方面巩固对相似多边形本质的理解，另一方面让学生感受到数学是描述世界的通用语言。【热点】跨学科素材的选择贴近九年级学生认知边界，不喧宾夺主，重在“用数学的眼光看其他学科”。

（七）课堂小结，体系建构（预设4分钟）

教师组织学生从三个维度梳理：

1.知识维度：相似多边形的定义——两个条件缺一不可；性质——对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比。

2.方法维度：判定相似必须同时验证角和边；求线段长或角度的核心是“先找对应，再列比例”。

3.思想维度：类比（与全等）、特殊与一般（正多边形、矩形）、数形结合。

【非常重要】教师特别强调：相似多边形是后续学习相似三角形的上位概念，三角形作为最简单的多边形，其相似判定条件更简洁（两角对应相等即可），但根本逻辑仍源于本节。

（八）当堂检测，反馈矫正（预设5分钟）

下发5分钟限时检测单（仅2题）：

[1]下列命题正确的是（）

A.所有矩形都相似B.所有菱形都相似C.所有正五边形都相似D.所有等腰梯形都相似

【答案】C【解析】正五边形内角恒为108°，边长成比例即可，而任意两个正五边形可通过缩放得到，因此一定相似。

[2]如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，AB=6，BC=8，CD=7，AD=5，EF=9。求EH的长度及相似比。

【答案】相似比=AB/EF=6/9=2/3；EH对应AD，AD/EH=2/3→5/EH=2/3→EH=7.5。

教师当堂收齐，课后批阅，下节课针对“对应识别”集中讲评。

六、板书设计

（由于要求只用段落，此处以文字描述板书布局）

主板书分为三列：左列上方书写“相似多边形定义”，下方红笔标注“角相等”+“边成比例”用大括号括起，并附反例简图；中列上方书写“性质”，下方分两行“对应角相等”“对应边成比例”，并列出周长比=相似比；右列是“例题示范区”，完整呈现例1的“写对应—用性质—列比例—求解”四步流程，并用彩笔标出对应顶点。副板书为学生在辨析中生成的典型错误及修正。

七、作业设计

（一）基础巩固作业

必做题：教材习题4.3第1、2、3、5题。其中第5题为相似多边形开放