2025-2026学年北京市大兴区高二（下）期末考试数学卷（含答案）

第第页2026北京大兴高二（下）期末数学2026.7本试卷共页，150分。考试时间120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）（A）（B）（C）（D）（2）在的展开式中，常数项是（A）（B）（C）（D）（3）已知事件，且，，则（A）（B）（C）（D）（4）设随机变量，，则（A）（B）（C）（D）（5）某射手连续射击次，每次击中的概率都是，则次中只有第次击中的概率为（A）（B）（C）（D）（6）将名志愿者分到甲、乙、丙个不同的公益小组，其中人分到甲组，人分到乙组，人分到丙组，则不同的分法种数为（A）（B）（C）（D）（7）已知函数，则（A）有最大值无最小值 （B）有最大值也有最小值（C）无最大值有最小值 （D）无最大值也无最小值（8）已知函数的定义域为，导函数，则“”是“是的极大值点”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（9）函数曲线存在与直线垂直的切线，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（10）设点集，集合，记样本空间，从中随机取一个样本点，定义随机变量如下：对中的每一个样本点，令，则的数学期望是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）在的展开式中，含的项的系数是.（12）名同学去听同时举行的个不同的讲座，每名同学可自由选择听其中的个讲座，不同选择的种数是；恰有个讲座这名同学都没选的概率是.（13）已知随机变量的分布列分别如下所示，则使方差成立的一个的值是.（14）已知函数．则在处的瞬时变化率为；若至多有个零点，则的取值范围是.（15）已知函数，给出下列四个结论：①当时，曲线在点处的切线斜率是；②若对任意的都有成立，则；③当时，导函数在区间上存在唯一的零点；④若存在，使得成立，则．其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）一个袋子里装有个大小相同的球，其中有个红球，个白球.（Ⅰ）若不放回地从袋中依次摸出个球，共有多少种不同的摸球方法；（Ⅱ）若有放回地从袋中依次摸出个球，恰好有个白球，共有多少种不同的摸球方法；（Ⅲ）若不放回地从袋中依次摸球，规定：个红球全部被摸出后才停止摸球，那么直到第次摸球后才停止摸球，共有多少种摸球方法．（17）（本小题13分）某学生参加研学活动，需依次前往个打卡点，每个打卡点遇到排队的概率均为，若遇到排队，则每次排队均需额外耗时分钟．假设在各打卡点是否遇到排队相互独立．

（Ⅰ）求该生首次遇到排队发生在第个打卡点的概率；（Ⅱ）设该生在这个打卡点排队的额外总耗时为分钟，求和．（18）（本小题14分）为了解某行业的研发情况，从该行业所有企业中随机抽取家，对这家企业的研发投入与专利产出进行调研，整理数据成下表：企业ABCDEF研发投入（万元）500680970120019002700专利产出（件）4588914假设用频率估计概率，且各企业的研发投入相互独立．（Ⅰ）从该行业所有企业中随机抽家，估计其研发投入大于万元的概率；（Ⅱ）从这家企业中随机抽家，求家中专利产出大于件的企业个数的分布列；（Ⅲ）设定临界值，现有预测研发情况的规则：若企业研发投入大于万元，则预测其专利产出大于件；若企业研发投入不大于万元，则预测其专利产出不大于件．记为“该规则对此行业内企业的研发情况预测正确的概率估计值”，写出当时，临界值的取值范围．（结论不要求证明）（19）（本小题15分）（见第5页学校自主命题）（20）（本小题15分）已知函数，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求导函数的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的，.条件①：是的一个极小值；条件②：直线与曲线相切.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（21）（本小题15分）已知正整数集合，其中．由集合生成的数列满足：.表示满足的的个数．（Ⅰ）若集合，求；（Ⅱ）若，问：需要满足什么条件，能使成立？并写出一个能满足条件的集合；（Ⅲ）若，且，写出使成立的充要条件，并说明理由．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）D（2）C（3）A（4）B（5）B（6）A（7）B（8）A（9）D（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12）； （13）（答案不唯一）（14）（15）①③④（全选对5分，漏选1个3分，不选或选错0分）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）不放回地依次摸个球，摸球方法有种.……4分（Ⅱ）有放回地从袋中依次摸出个球，恰好有个白球，摸球方法有种.……4分（Ⅲ）不放回地从袋中依次摸球，规定：个红球全部被摸出后才停止摸球，那么直到第次摸球后才停止摸球，摸球方法有种.……5分（17）（共13分）解：（Ⅰ）设事件A为“该生首次遇到排队发生在第3个打卡点”，……1分则． 所以该生首次遇到排队发生在第3个打卡点的概率为． ……5分（Ⅱ）所有可能的取值为． ……1分

，． ……5分……7分

．……8分（18）（共14分）解：（Ⅰ）根据题中数据，家企业中研发投入大于（万元）有共家企业，所以估计概率为．……3分（Ⅱ）家企业中专利产出数大于件有家．根据题意，随机变量的所有可能取值为：．……1分，，．……7分所以的分布列为：……8分（Ⅲ）取值范围是．……3分（19）（本小题15分）见学校自主命题答案（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）定义域为..……2分选条件①令，解得.与在区间上的变化情况如下：极小值……3分所以有极小值为.……4分解得.……5分选条件②：设切点.则，……3分.……4分解得.……5分（Ⅱ）当时，，.设，..……3分因为，，……4分所以，在单调递增.……5分所以的单调增区间为，无单调减区间.（Ⅲ）不妨假设取定，设,.……1分则.……2分因为，，所以.又由（Ⅱ）知，在单调递增，所以，即.所以在单调递增.……3分又因为，……4分所以.……5分所以对任意的，.（21）（共15分）解：（Ⅰ）因为，……1分，……2分，……3分，……4分所以满足的正整数为，所以.……5分（Ⅱ）由题意得，，，，……1分因为，所以.因为，所以或……2分当时，则所以.……3分当时，则所以.……4分综上所述，需要满足的条件为或.不妨，，，则取，所以满足该条件的集合可以是.（答案不唯一）……5分（Ⅲ）使成立的充要条件是①当时，集合中元素满足，；②当且为奇数时，集合中元素满足，，，．③当时，集合中元素满足，，．先证明：当为偶数时，.当为偶数时，.因为，所以.所以所以当为偶数时，.以下证明：当为奇数时，.因为，所以.所以.因为为正整数，且，，所以或.①当对任意的奇数，满足时，，所以.所以满足的正整数的个数不可能为，所以不满足.②当存在奇数，使时，则.所以.因此若，则.因为，所以当，时，，此时.以下证明必要性：若，则数列中只有这两项.故为奇数，且.中元素满足，，.以下证明：若，则必有．当，，且为奇数时，所以．当时，，不满足．所以若，则必