2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第1章微点探索 集合中的新定义问题

第一章集合与常用逻辑用语微点探索

集合中的新定义问题重点考法突破课时作业目录重点考法突破(多选)(2025·河南郑州三模)群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，b∈G，有a·b∈G；②对任意的a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；③存在e∈G，使得对任意的a∈G，有e·a＝a·e＝a，e称为单位元；④对任意的a∈G，存在b∈G，使a·b＝b·a＝e，称a与b互为逆元．则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的是(

)A．G＝{－1，1，－i，i}(i为虚数单位)关于数的乘法构成群B．有理数集Q关于数的加法构成群C．G＝{a＋b|a，b∈Z}关于数的除法构成群D．正实数集R＋关于数的乘法构成群考法1

集合中的新概念新概念问题往往是定义满足某种条件的集合或重新定义集合中的某个要素，把新概念的本质弄清楚，并能应用到具体的解题过程之中，这是破解集合中新概念问题的关键所在．(多选)(2026·湖南邵阳二模)给定实数集A，定义集合M＝{m∈R|∀a∈A，都有m≥a}，若M是非空集合，则称集合M中最小的元素为集合A的上确界，记作supA.下列说法正确的是(

)A．若数集A中有2025个元素，则supA一定存在B．若数集A中没有最大值，则supA不存在C．若数集A，B有上确界，则数集{a＋b|a∈A，b∈B}一定也有上确界，为supA＋supBD．若数集A，B有上确界，则数集{ab|a∈A，b∈B}一定也有上确界，为supAsupB考法2

集合中的新运算(多选)(2026·山东济南质检)设M，N，P为非空实数集，定义MN＝{z|z＝xy，x∈M，y∈N}，则(

)A．M{1}＝M B．M{0}＝{1}C．MN＝NM D．(MN)P＝M(NP)解析：对于A，由MN的定义，得M{1}＝M显然成立，故A正确；对于B，由MN的定义，得M{0}＝{0}≠{1}，故B错误；对于C，设x∈M，y∈N，则MN＝{z|z＝xy，x∈M，y∈N}，NM＝{z|z＝xy，x∈M，y∈N}，所以MN＝NM成立，故C正确；对于D，设x∈M，y∈N，z∈P，则MN＝{n|n＝xy，x∈M，y∈N}，所以(MN)P＝{t|t＝nz＝xyz，x∈M，y∈N，z∈P}，又NP＝{m|m＝yz，y∈N，z∈P}，所以M(NP)＝{h|h＝xm＝xyz，x∈M，y∈N，z∈P}，所以(MN)P＝M(NP)成立，故D正确．故选ACD.新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则，按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行解答．(2026·四川宜宾摸底考试)对于任意两个数x，y(x，y∈N*)，定义某种运算“·”如下：①当x，y(x，y∈N*)同为奇数或同为偶数时，x·y＝x＋y；②当x，y(x，y∈N*)一奇一偶时，x·y＝xy，则集合A＝{(x，y)|x·y＝10}的子集个数是(

)A．214 B．213

C．211 D．27考法3

集合中的新性质新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．在新环境下研究“旧”性质，主要是将新性质应用在“旧”性质上，从而解决问题．(2025·湖南部分重点中学三模)已知集合A⊆N*且A中至少含有2个元素，若对于A中的任意两个不同元素x，y，都有|x－y|≠k，则称A具有性质P(k)．若A⊆{1，2，…，2025}，且同时具有性质P(4)和P(7)，则集合A中至多有_____个元素．解析：先说明连续11个正整数中集合A中最多含有5个正整数，以1，2，3，…，11为例．构造集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}．①5，6，7同时选，因为具有性质P(4)和P(7)，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；则只剩4，8，且4，8只能选一个，故1，2，3，…，11中属于集合A的元素个数不超过4.②5，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，921又{4，11}只能选一个元素，若选4，则3可以选，若选11，则3，8可以选，故1，2，3，…，11中属于集合A的元素个数不超过5；若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，3，…，11中属于集合A的元素个数不超过5；若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1，8}只能选一个元素，若选1，则4，9可以选，若选8，则9可以选，故1，2，3，…，11中属于集合A的元素个数不超过5.③5，6，7中只选1个，又四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选1个元素，故1，2，3，…，11中属于集合A的元素个数不超过5.④5，6，7都不选，四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选1个元素，故1，2，3，…，11中属于集合A的元素个数不超过4.由上述①②③④可知，连续11个正整数中属于集合A的元素至多只有5个．因为2025＝184×11＋1，则把每11个连续正整数分为一组，前184组每组至多选取5个正整数，余一个数2025.给出如下选取方法：从1，2，3，…，11中选取1，4，6，7，9；然后在这5个数的基础上每次累加11，则前184组选取的数为1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；…；2014，2017，2019，2020，2022，共920个，而取2025也满足题意，经检验可得该集合符合要求，故集合A中至多有921个元素．课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★★★★★考点集合中的新运算集合中的新概念集合中的新概念集合中的新概念集合中的新概念集合中的新性质集合中的新运算集合中的新概念3．(2025·湖南长沙期末)设集合M＝{a1，a2，…，an}(n≥3，n∈N*)，若集合A，B，C满足A∪B∪C＝M，A∩B＝B∩C＝A∩C＝∅，则称(A，B，C)为集合M的一个“三分划”(不考虑A，B，C的顺序，即(A，B，C)与(B，A，C)视作同一种情况)．对于集合M＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，在M的所有“三分划”(A，B，C)中，满足集合A，B，C中元素之和相等的“三分划”的个数为(

)A．0 B．1C．2 D．3解析：集合M中元素的总和为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，满足条件的每个子集中元素的和应为36÷3＝12，列举集合中元素的和为12且满足“三分划”条件的子集组合：组合一：{1，3，8}，{2，4，6}，{5，7}；组合二：{1，5，6}，{2，3，7}，{4，8}；组合三：{1，2，3，6}，{4，8}，{5，7}，共3种不同的分法．故选D.二、多项选择题5．(2026·甘肃白银高三阶段练习)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤λ}，若实数a，b满足对任意的(x，y)∈A，都存在(ax，by)∈A，则称(a，b)是集合A的“围栏实数对”．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，则下列集合中存在集合A的“围栏实数对”的是(

)A．{(a，b)|a＋b＝2} B．{(a，b)|a2＋b2＝2}C．{(a，b)|a2＋b＝1} D．{(a，b)|b2－a2＝4}解析：由题意可知，所有满足题意的有序实数对(a，b)所构成的集合为{(a，b)|－1≤a≤1，－1≤b≤1}，则点(a，b)分布的范围是以(1，1)，(－1，1)，(－1，－1)，(1，－1)为顶点的正方形及其内部，A，B，C三项分别表示直线、圆、抛物线，它们与该正方形及其内部均有公共点；D为双曲线，它与该正方形及其内部没有公共点．故选ABC.6．(2026·重庆一中高三摸底考试)已知集合A＝{a1，a2，a3，…an，…}，B＝{b1，b2，b3，…bn，…}，其中a1<a2<a3<…<an<…，b1<b2<b3<…<bn<…，且满足A∪B＝N*，A∩B＝∅，若对于B中的元素k，在集合A中至少存在两个不同元素ai1，ai2，…，aim

(m≥2)，使得k＝ai1＋ai2＋…＋aim，则称集合A具有性质P(k)．下列说法正确的是(

)A．若集合A是由所有正奇数组成的集合，则集合A具有性质P(4)B．若集合A是由所有正偶数组成的集合，则集合A具有性质P(3)C．若a1＝1，b1≥3，则集合A具有性质P(b1)D．若a1＝1，b1≥4且b2为奇数，则集合A具有性质P(b1)和P(b2)，但不具有性质P(b2－b1)解析：对于A，显然A＝{1，3，5，…}，B＝{2，4，6，…}，4∈B且4＝1＋3，所以A正确．对于B，A＝{2，4，6，…}，B＝{1，3，5，…}，但A中没有两个或两个以上的元素和为3，所以B错误．对于C，因为a1＝1，b1≥3，b1是B中元素的最小者，可知集合A中一定有1，2，3，…，b1－1这些元素，且b1＝1＋(b1－1)，则集合A具有性质P(b1)，所以C正确．对于D，因为a1＝1，b1≥4且b2为奇数，b1是B中元素的最小者，可知集合A中一定有1，2，3，…，b1－1这些元素，且b1＝1＋(b1－1)，则集合A具有性质P(b1)；b2是B中元素的第二小者，①若b2＝b1＋1，因为b1≥4，则b2＝(b1－1)＋2，所以集合A具有性质P(b2)；②若b2>b1＋1，则集合A中一定有1，2，3，…，b1－1，b1＋1，…，b2－1这些元素，且b2＝(b2－1)＋1，则集合A具有性质P(b2)．综上，集合A具有性质P(b2)．因为b2为奇数，则b2≠2b1，若b2<2b1，则b2－b1<b1，此时b2－b1∈A⇒b2－b1∉B；若b2>2b1，则b1<b2－b1<b2，此时b2－b1∈A⇒b2－b1∉B.综上，集合A不具有性质P(b2－b1)，所以D正确．故选ACD.三、填空题7．(2026·山东泰安阶段练习)设U为全集，对集合X，Y定义运算“*”：X*Y＝∁U(X∩Y)．对于全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合X＝{1，2，3}，Y＝{3，4，5}，Z＝{2，4，7}，则(X*Y)*Z＝________________．解析：由题意可得X∩Y＝{3}，所以X*Y＝∁U