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第七章数列第5讲数列与不等式

1.掌握数列与不等式结合的核心类型(通项不等式、前n项和不等式、参数范围等问题).2.熟练运用作差法、放缩法、单调性法等解题技巧.重点考法突破课时作业目录重点考法突破考法1数列与不等式的恒(能)成立问题

(2026·江西南昌模拟)已知数列{an}的首项a1＝2，an＋1＝3an＋2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)若n≤t(an＋1)(n∈N*)恒成立，求实数t的取值范围.以数列为载体，考查不等式恒(能)成立的问题，可转化为函数的最值问题.a>F(n)恒成立⇔a>F(n)max；a<F(n)恒成立⇔a<F(n)min；a>F(n)能成立⇔a>F(n)min；a<F(n)能成立⇔a<F(n)max.解：(1)设等差数列{an}的公差为d.∵2a1＝a2，∴2a1＝a1＋d，解得a1＝d，a2＝2d，则S2＝a1＋a2＝3d.存在n∈N*，使得10Tn－9n＋t＋t2<3成立，即(10Tn－9n)min＋t＋t2<3，又10Tn－9n＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴(10Tn－9n)min＝－9，∴－9＋t＋t2<3，整理，得t2＋t－12<0，解得－4<t<3，∴实数t的取值范围是(－4，3).考法2数列与不等式的证明问题解：(1)因为an＋1＝Sn＋n，所以an＝Sn－1＋n－1(n≥2)，两式相减，可得an＋1－an＝Sn－Sn－1＋1＝an＋1(n≥2)，课时作业中档题(占比70%)拔高题(占比30%)题号1234难度★★★★★★★★★考点数列与不等式的证明问题数列与不等式的恒成立问题数列与不等式的证明问题数列与不等式的证明问题解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝3(a1＋d)＝6，得a1＋d＝2，又a1＝1，所以d＝1，解：(1)由已知Sn＋1＋2＝an＋3n＋Sn，得an＋1＝Sn＋1－

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