2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第4章第5讲　利用导数解决不等式恒(能)成立问题

第四章导数及其应用第5讲利用导数解决不等式恒(能)成立问题1.能利用导数研究函数的单调性、极值、最值，从而解决不等式恒(能)成立问题.2.能利用参数全分离、参数半分离、主元变换、端点效应等方法解决不等式恒(能)成立问题.3.体会转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想在不等式恒(能)成立问题中的应用.核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理1.参数全分离将原含参不等式等价变形成a≤f(x)这类形式，进而转化为求f(x)的最值问题.当参变分离后的函数f(x)不复杂，容易求最值时，可采用此法.2.参数半分离将原含参不等式等价变形成f(x)≤g(a，x)这类形式，画图分析参数a如何取值才能满足该不等式，这种方法往往需要关注切线、端点等临界状态.3.主元变换在恒(能)成立背景下求参数范围的试题中，通常自变量为x，而有时为了简化运算，可将参数视为新的自变量，此即为变换主元法.变换主元后函数的通常形式为一次函数、二次函数等，从而简化问题，解题思路会变得更加开阔.4.端点效应恒成立问题中，我们常常能见到类似的命题：“对于任意的x∈[a，b]，都有f(x)≥0(≤0)恒成立”，这里的端点a，b，往往是使结论成立的临界条件，因此如果能利用好这两个值，能方便解题.比如对于上述的命题，观察f(a)和f(b)的取值，这种观察区间端点值来解决问题的做法，我们称之为端点效应.重点考法突破考法1参数全分离参数全分离时不等式恒(能)成立问题的转化原则(1)若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；(2)若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需a<f(x)min；(3)若∃x∈D，使得a>f(x)有解，则只需a>f(x)min；(4)若∃x∈D，使得a<f(x)有解，则只需a<f(x)max.考法2参数半分离若不等式alnx－x＋1≤0恒成立，求实数a的取值范围.在半分离时，要调节参数a与x的位置，使f(x)与g(x)更方便作图，一般分为一条动直线与一条曲线.考法3主元变换已知函数g(x)＝－2abex－1＋b(x＋1)lnx－2a＋2b＋2，其中a>0.若g(x)≤0对任意的b∈[a，＋∞)及x∈(0，1]恒成立，求实数a的取值范围.解：令g(1)≤0，得－2ab－2a＋2b＋2≤0，故(a－1)(b＋1)≥0，所以a≥1.下面证明当a≥1时，g(x)≤0.令g(x)＝h(a)＝(－2bex－1－2)a＋b(x＋1)lnx＋2b＋2，则h(a)≤0，又a>0，所以－2bex－1－2<0，h(a)在a∈[1，＋∞)上单调递减.转化为证明当a＝1时，h(1)≤0，在导数试题中，经常涉及多个变量(如x，a，b等)问题，常规思路是以x为主元进行求解.但是对于不少导数压轴试题，以x为主元进行求解会十分繁琐，此时如果能够改变思路，重新确定主元，则会使得解题过程格外简捷自然.已知函数f(x)＝ex－x，g(x)＝(x＋k)ln(x＋k)－x.若对任意的正实数a，b，不等式f(a)＋g(b)≥f(0)＋g(0)＋ab恒成立，求正实数k的取值范围.考法4端点效应角度1一阶端点效应若xlnx－2mx(x－1)＋ex－1－x≥0对任意x≥1恒成立，求实数m的取值范围.利用“端点效应”解题的一般步骤(1)利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件；(2)利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调；(3)若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件.注意：一般情况下单调函数可以用端点效应求解；若函数不单调，则端点效应失效.(0，1]角度2二阶端点效应设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.若当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.解：由于当x≥0时，f(x)≥0恒成立，而f(0)＝0，故要保证f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需保证f(x)在x＝0的右侧附近区间上单调递增，即保证f′(x)≥0在x＝0的右侧附近区间上恒成立.而f′(x)＝ex－1＋xex－2ax＝(x＋1)ex－2ax－1，故f′(0)＝1－1＝0，即此时需保证f′(x)在x＝0的右侧附近区间上单调递增，即保证f″(x)≥0在x＝0的右侧附近区间上恒成立.而f″(x)＝(x＋2)ex－2a，故f″(0)＝2e0－2a＝2－2a，而要使f″(x)≥0在x＝0的右侧附近区间上恒成立，则f″(0)≥0，即a≤1.下面证当a≤1时，f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立.当a≤1时，f″(x)＝(x＋2)ex－2a≥(x＋2)ex－2，令φ(x)＝(x＋2)ex－2，x≥0，则φ′(x)＝(x＋3)ex>0，故函数φ(x)单调递增，故φ(x)≥φ(0)＝2－2＝0，即f″(x)≥φ(x)≥0，故此时函数f′(x)单调递增，即f′(x)≥f′(0)＝0，故函数f(x)单调递增，即f(x)≥f(0)＝0，此时即可得到当a≤1时，f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立.综上可得，实数a的取值范围是(－∞，1].如果端点处一阶导函数值为0，把一阶导函数当作新函数，令二阶导函数在端点处函数值大于等于0(或小于等于0)求出参数范围，然后证明即可.已知函数f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x.当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.解：由于当x≥0时，f(x)≥0恒成立，而f(0)＝0，故要保证f(x)在x＝0的右侧附近区间上单调递增，即保证f′(x)≥0在x＝0的右侧附近区间上恒成立.课时作业基础题(占比20%)中档题(占比50%)拔高题(占比30%)题号123456难度★★★★★★★★★★★★★考点利用参数全分离法解决不等式能成立问题利用参数半分离法解决不等式恒成立问题利用二阶端点效应法解决不等式恒成立问题利用一阶端点效应法解决不等式恒成立问题利用主元变换法解决不等式恒成立问题利用参数不分离法解决不等式恒成立问题1.(2026·陕西咸阳永寿县中学高三阶段练习)已知函数f(x)＝a(ex－2)＋x2－2x(a∈R).(1)当a>2时，记函数f(x)的图象在x＝0处的切线与坐标轴围成的图形的面积为S，求S的最小值；(2)若不等式f(x)＋x＋2a＋1>0在[0，3]上有解，求实数a的取值范围.解：(1)因为f(x)＝a(ex－2)＋x2－2x(a∈R)，所以f′(x)＝aex＋2x－2，所以f′(0)＝a－2，又f(0)＝－a，所以函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＋a＝(a－2)x，2.已知函数f(x)＝sinx－x＋ax2(a∈R)，若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.3.(2026·江苏南京模拟)已知f(x)＝2x－ln(2x＋1)，g(x)＝ex－x－1.(1)求曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程；(2)当x≥0时，kf(x)≤g(x)恒成立，求实数k的取值范围.解：(1)由题意，知切点坐标为(1，e－2)，且g′(x)＝ex－1，所以g′(1)＝e－1，所以曲线y＝g(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0.4.(2025·江西新余一模)已知函数f(x)＝ex＋e－x＋a|x|＋bcosx，其中a，b∈R.(1)当a＝1，b＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当b＝－2时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.解：(1)当a＝1，b＝0时，f(x)＝ex＋e－x＋|x|，当x>0时，f(x)＝ex＋e－x＋x，则f(1)＝e＋e－1＋1，f′(x)＝ex－e－x＋1，则f′(1)＝e－e－1＋1，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e＋e－1＋1)＝(e－e－1＋1)(x－1)，即(e－e－1＋1)x－y＋2e－1＝0.(2)当b＝－2时，f(x)＝ex＋e－x＋a|x|－2cosx.因为f(－x)＝e－x＋ex＋a|－x|－2cos(－x)＝ex＋e－x＋a|x|－2cosx＝f(x)且f(x)的定义