2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第6章第2讲 平面向量的数量积及应用

第六章平面向量与复数第2讲平面向量的数量积及应用1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.5.能用坐标表示平面向量垂直.6.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理1.向量的夹角∠AOB0≤θ≤πθ＝0或θ＝π|a|·|b|cosθ|a||b|cosθ0投影投影向量交换律a·b＝____分配律(a＋b)·c＝________数乘结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝______b·a4.向量数量积的运算律a·c＋b·ca·(λb)5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.x1x2＋y1y2＝0点拨：(1)平面向量数量积运算的常用公式①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(2)有关向量夹角的两个结论已知向量a，b，①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0；②若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.重点考法突破

(1)(2026·河北邢台名校联考)已知向量a＝(－2，3)，b＝(1，2)，则a·(a＋b)＝(

)A.12 B.－14C.17 D.－16考法1数量积的基本运算解析：因为a＝(－2，3)，b＝(1，2)，所以a＋b＝(－1，5)，所以a·(a＋b)＝－2×(－1)＋3×5＝17.故选C.求两个向量的数量积的三种方法5考法2向量的模、夹角、垂直、投影

(1)(2026·陕西咸阳武功县普集高级中学月考)已知两个单位向量a，b满足a⊥b，则|4a－3b|＝(

)A.5 B.4C.3 D.2(3)(2025·新课标Ⅱ卷，12)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝____.1解决向量的模、夹角、垂直、投影问题的策略(1)求平面向量的模的方法(2)求平面向量的夹角的方法2.(2025·江苏苏州模拟)若向量a＝(1，1)，b＝(－2，x)，且a与a＋b的夹角为钝角，则x的可能取值为(

)A.1 B.0C.－2 D.－1解析：因为a＋b＝(－1，1＋x)，又a与a＋b的夹角为钝角，所以a·(a＋b)<0且a与a＋b不共线，当a与a＋b共线时，－1×1－1×(1＋x)＝0，则x＝－2，此时两向量反向共线，由a·(a＋b)<0，得－1×1＋1×(1＋x)<0，解得x<0，所以x<0且x≠－2.故选D.考法3与数量积有关的最值(范围)问题与数量积有关的最值(范围)问题的求解策略(1)利用三角函数求最值(范围).(2)利用基本不等式求最值(范围).(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围).(4)数形结合，利用图形的几何性质求最值(范围).(1)(2025·新课标Ⅰ卷，6)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.下表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同，单位：m/s)，则该时刻的真风为(

)A.轻风B.微风

C.和风D.劲风考法4平面向量的实际应用等级风速大小(m/s)名称21.1～3.3轻风33.4～5.4微风45.5～7.9和风58.0～10.1劲风等级风速大小(m/s)名称21.1～3.3轻风33.4～5.4微风45.5～7.9和风58.0～10.1劲风(2)如图，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50N.一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20m，则力F和摩擦力f所做的功分别为________J，______J.(g＝10N/kg)－22用向量方法解决实际问题的步骤课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★考点向量数量积的坐标运算利用两向量垂直求参数向量的模投影向量平面向量的实际应用向量的夹角向量数量积的基本运算坐标法的应用数量积的应用与向量数量积有关的新定义问题题号111213141516高阶拓展171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点投影向量；坐标法的应用向量数量积的基本运算向量的夹角与数量积有关的最值问题；坐标法的应用利用两向量垂直求参数；数量积的应用

向量的模、夹角、垂直；向量数量积的应用极化恒等式的应用极化恒等式的应用奔驰定理及其在四心问题中的应用三、填空题12.已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝_____.13.(2026·江苏无锡梅村高级中学模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，|a－2b|＝2|a＋b|，则a与b的夹角θ＝_____.四、解答题15.