2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第9章第2讲 圆与方程

第九章直线与圆、圆锥曲线第2讲圆与方程1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．3．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理定义平面上到______的距离等于_______的点的集合叫做圆方程标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心C_______半径为_____一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心C______________半径r＝______________定点1．圆的定义及圆的方程定长(a，b)r方法过程依据结论代数法联立方程组消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4acΔ>0_______Δ＝0_______Δ<0_______几何法计算圆心到直线的距离d，比较d与半径r的关系d___r相交d___r相切d___r相离相交3．直线与圆位置关系的判定相切相离<=>点拨：圆的切线方程常用的结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2．(4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．位置关系图示d与r1，r2的关系外离________________________外切____________________4．圆与圆位置关系的判定(1)几何法若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：d＞r1＋r2d＝r1＋r2相交_____________________________________内切d＝_________(r1≠r2)内含0≤d＜________(r1≠r2)|r1－r2|＜d＜r1＋r2|r1－r2||r1－r2|相交内切或外切内含或外离点拨：两个圆系方程(1)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．重点考法突破(1)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为(

)A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1考法1

求圆的方程(2)(2025·山东青岛模拟)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的一般方程为____________________．x2＋y2－2x＋2y－3＝0求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．(2026·河南三门峡模拟)数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意三角形中，三条边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形各顶点所连线段的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称为欧拉圆．已知在△ABC中，A(－2，0)，B(4，4)，C(2，2)，则△ABC的九点圆的方程是___________________________________．考法2

与圆有关的轨迹问题已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．求与圆有关的轨迹方程的方法(1)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(

)A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切考法3

直线与圆、圆与圆位置关系的判断及应用1．判断直线与圆的位置关系的常见方法2．判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系判断，一般不用代数法．几何法利用d与r的关系判断代数法联立方程之后利用Δ判断点与圆的位置关系法若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交2．已知圆C与圆x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C的标准方程为____________________．(x＋3)2＋(y＋3)2＝18考法4

圆的切线、弦长问题(2)(2025·天津卷，12)直线l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2交于C，D两点，若|AB|＝3|CD|，则r＝________．21．圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k．(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求出k．注意：检验切线斜率不存在的情况．1．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．2．已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．4考法5

两圆的公切线、公共弦问题1．两圆的位置关系与公切线的条数①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．2．两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线的方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0．2．(2022·新高考Ⅰ卷，14)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程：____________________________________．x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★考点直线与圆的公共点的个数圆的切线问题圆的切线、弦长问题与两圆的公共弦有关的面积问题直线与圆位置关系的应用两圆的公共弦问题与圆有关的轨迹问题；两圆的公切线问题直线与圆位置关系的判断；两圆的公共弦问题与圆有关的轨迹问题题号10111213141516高阶拓展1718难度★★★★★★★★★★★★★★★★考点直线与圆、圆与圆位置关系的应用；两圆的公共弦问题圆与圆位置关系的应用；两圆的公共弦问题；圆的切线问题与圆有关的轨迹问题直线与圆位置关系的应用两圆的公切线问题与圆有关的轨迹问题；圆与圆位置关系的应用求圆的方程；直线与圆位置关系的应用阿波罗尼斯圆；两圆的公共弦问题阿波罗尼斯圆一、单项选择题1．直线l：ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的公共点的个数为(

)A．0 B．1C．2 D．1或2解析：由直线l：ax＋y－2＝0，可得直线l过定点(0，2)，又由圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，可得点(0，2)在圆C上，因为直线l的斜率显然存在，所以公共点的个数为2．故选C．7．(2026·河北保定模拟)在平面内与点A(1，2)距离为1，与点B(4，1)距离为2的直线共有(

)A．1条B．2条 C．3条 D．4条8．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点分别为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(

)A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝00或1(只写一个即可)13．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相