2025-2026学年四川省雅安市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年四川省雅安市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知平面向量a=(4,1),b=(m,−1)，若a//bA.−1 B.14 C.1 D.2.已知i为虚数单位，则i2026=(

)A.−1 B.1 C.−i D.i3.设α为钝角，sinα=35，则sin2α=(

)A.−1225 B.1225 C.−4.若圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为(

)A.π B.2π C.3π D.4π5.要得到函数y=cos(2x+π3)的图象，只需将函数A.向左平行移动π3个单位长度 B.向右平行移动π3个单位长度

C.向左平行移动π6个单位长度 D.6.已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是(

)A.若α//β，m⊂α，l⊂β，则m//l B.若m⊥β，α⊥β，则m//α

C.若l⊥α，l⊥β，则α//β D.若α//β，m//α，则m//β7.如图，已知AB=2BP，设OA=a,OBA.12a−32b

B.18.如图，A，B，C，D是圆形公园边界上的四个点，四边形ABCD区域为草坪，测得AB=60m，BC=20m，AD=CD=40m.现要扩大草坪面积，但△BCD区域内的草坪固定不动，设计者拟在弧BAD上重新选一点A′，将原来的△ABD区域改为△A′BD区域，那么重新种植后，草坪总面积(四边形A′BCD的面积)的最大值是(

)A.6003m2 B.7003二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a,b为单位向量，|a−A.a与b的夹角为120°

B.|a+b|=1

C.向量a+3b与向量a垂直

D.10.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A.直线CD与直线C1P无交点

B.直线BD不可能与直线C1P垂直

C.三棱锥C1−BCD的外接球的体积为64π3

D.点A到平面C1BD的距离为410A.cos(A+B)=45 B.cos2A=−3+86三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.sin7π6=13.已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A=45°，a=3，b=4，则满足条件的△ABC的个数为

．14.用一根长为18cm的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A，B，C，将一个球放置在这个框架上(如图)，若M是球面上一点，且三棱锥M−ABC体积的最大值为93cm3，则球的表面积为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z满足：(1+2i)z=4+3i．

(1)求z的虚部；

(2)记z，z2，z+z2在复平面上对应的点分别为A，B，C，求AB与16.(本小题15分)

如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AA1的中点．

(1)求证：A1C/​/平面BDE17.(本小题15分)

已知函数f(x)=Acos(ωx+π3)(A>0,ω>0)满足下列两个条件：①函数f(x)的最大值为2；②函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的单调递增区间；

(3)求方程f(x)+1=018.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ac=cosCcosA．

(1)判断△ABC的形状；

(2)若b=4，c=2，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，求cos∠MPN；

(3)若D在边AB上，E在边BC上，且BEBD19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥PD，AB=2，AD=4，PB=23，

(1)求证：PA⊥平面PCD；

(2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值；

(3)线段PC上是否存在一点M，使得二面角M−AB−C的平面角的余弦值为8315

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】ABD

10.【答案】AD

11.【答案】BCD

12.【答案】−113.【答案】2

14.【答案】16π

15.【答案】−1

316.【答案】证明：连接AC交BD于点O，连接OE，

在正方形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，所以O为AC的中点，

在△AA1C中，因为E为AA1的中点，所以OE/​/A1C，

又因为OE⊂平面BDE，且A117.【答案】f(x)=2cos(2x+π3)

[−2π318.【答案】①当A=C时，△ABC是等腰三角形；②当A+C=π2时，△ABC是直角三角形

719.【答案】解：(1)证明：取棱PC的中点N，连接DN，

因为△PCD为等边三角形，所以DN⊥PC，

又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD=PC，

又DN⊂平面PCD，

所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，

故DN⊥PA，

又已知PA⊥PD，PD∩DN=D，

所以PA⊥平面PCD；

(2)连接AN，

由(1)中DN⊥平面PAC，

可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角，

因为△PCD为等边三角形，CD=2，且N为PC的中点，

所以DN=3，

又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN=DNAD=34，

所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为34；

(3)取AB中点Q，连接MQ，CQ，

在Rt△PAD中，PA=AD2−PD2=23，

因为PA⊥平面PCD，又PC⊂平面PAC，

所以PA⊥PC，在Rt△PAC中，AC=PC2+PA2=4，