2025-2026学年广东省深圳市南方科技大学附属中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省深圳市南方科技大学附属中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“∀x>1，3x−1>2”的否定是(

)A.∀x>1，3x−1≤2 B.∀x≤1，3x−1>2

C.∃x>1，3x−1≤2 D.∃x≤1，3x−1>22.若实数x>0，y>0，且x+4y=xy，则x+y的最小值为(

)A.7 B.8 C.9 D.103.设集合A={x|x=a+bi,a,b∈R}，B={y|y=|sinα+cosαi|,α∈R}，则集合A∩B=(

)A.⌀ B.Ν∗ C.R D.4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=ex−a，则f(A.−1 B.1 C.12 D.5.已知a，b∈N∗，若一组数据1，2，a，b，4的平均数为2，则该组数据的中位数为(

)A.1.5 B.2 C.2.5 D.36.已知连续型随机变量X～N(4,14)，令函数f(x)=P(X≥x)，则下列选项正确的是A.f(4)=14 B.f(x)是增函数

C.f(x)的图象关于点(4,12)中心对称 7.若整数a，b，c经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则此等比数列的公比不可能是(

)A.1 B.−12 C.−2 8.如图，直线y=ax+2与曲线y=f(x)交于A、B两点，其中A是切点，记h(x)=f(x)x，g(x)=f(x)−ax，则下列判断正确的是(

)A.h(x)只有一个极值点

B.h(x)有两个极值点，且极小值点小于极大值点

C.g(x)的极小值点小于极大值点，且极小值为−2

D.g(x)的极小值点大于极大值点，且极大值为2

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在边长为2的正方形ABCD中，剪去以C为圆心，1为半径的扇形CEF后得到的图形如图所示，以BE所在的直线为轴，其余边和弧EF旋转一周形成的面围成一个几何体，则(

)A.该几何体的形状为圆柱中挖去12个球

B.该几何体的形状为圆柱中挖去14个球

C.该几何体的表面积为18π

D.10.已知事件A，B，P(A)=12，P(B)=14，P(B|A)=A.P(AB)=18 B.P(B−|A)=211.已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数x，y，恒有[f(x)+1]⋅[f(y)+1]=f(x+y)+1，若f(1)=1，当x<0时，f(x)<0，则下列结论正确的是(

)A.f(0)=0

B.函数f(x)的最小值为−1

C.f(x)为R上的增函数

D.关于x的不等式f(x)+f(2−x)>3的解集为(−∞,0)∪(2,+∞)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(2x313.由样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,10)，求得回归直线方程为y=2x+b，且x14.已知A，B，C为集合M={1,2,…,n}(n∈N∗)的非空子集，满足：

①A∩B=A∩C=B∩C=⌀，A∪B∪C=M；

②{x∈M|x=3k,k∈N∗}⊆A，B中元素均为奇数，C中元素均为偶数；

③A，B，C中所有元素的和分别记为S1，S2，S3，且四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1，(n∈N16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(bcosC+ccosB)sinC=3(b−acosC)．

(1)求角A；

(2)如图，D是△ABC外一点，若AB=3，AC=2，cos∠BAD=−714，cos17.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，M为棱BC的中点，且PB⊥AM，PD=3，直线PM与平面ABCD所成的角为45°．

(1)证明：AM⊥BD．

(2)求直线PB与平面PAM所成角的正切值．18.(本小题17分)

某商场举行回馈顾客的抽奖游戏.箱子里有10张奖券，其中4张“金券”，6张“银券”.每张“金券”面值均为100元；每张“银券”面值不同，分别为−10元，−20元，…，−60元.顾客从箱中不放回地依次抽取奖券，直至抽到3张“金券”时停止，不可中途退出游戏.游戏停止时，顾客抽到的所有奖券的面值之和作为顾客的奖金.现有一顾客参加了此次抽奖游戏．

(1)求游戏停止时该顾客共抽取5次的概率；

(2)求该顾客的奖金不低于270元的概率；

(3)已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量X，Y，有E(X+Y)=E(X)+E(Y)，求该顾客的奖金的期望．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=x3+1x+ae1−x(x>0)．

(1)若a=1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≥3lnx，求a的取值范围；

(3)若a=−2，设1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

12.【答案】14

13.【答案】1

14.【答案】8

15.【答案】an=2n−1

16.【答案】(1)π3

17.【答案】由PD⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，

所以PD⊥AM，

又PB⊥AM，PD∩PB=P，PD，PB⊂平面PBD，

所以AM⊥平面PBD，又BD⊂平面PBD，

所以AM⊥BD

218.【答案】17

335

17419.【答案】单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)；

[−2,+∞)；

证明：由

知，当a=−2时，f(x)≥3lnx，当且仅当x=1时等号成立，

则f(s)+f(1s)>3lns+3ln1s=0，即f(s)>−f(1s)，同理f(t)>−f(1t)，

于是−f(1s)−f(1t)<f(s)+f(t)=0，即f(1s)+f(1t)>0，

当a=−2时，f

=0，f′(x)=2x−1x2+2e1−x，显然当x≥1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当0<x<1时，令u(x)=f′(x)，则u′(x)=2+2x3−2e1−x，

当12