小学五年级数学上册“进一法”与“去尾法”解决实际问题教学设计

小学五年级数学上册“进一法”与“去尾法”解决实际问题教学设计

一、设计理念与指导思想

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生核心素养，特别是“数感”、“模型意识”和“应用意识”。教学设计打破传统“就法教法”的孤立模式，将“进一法”与“去尾法”置于“解决实际问题”的整体脉络与“小数除法”的单元知识结构中进行审视与构建。

核心理念：

1.情境驱动，问题导学：创设真实、复杂且富有意义的问题情境，让学生在尝试解决真实问题的过程中，自发产生认知冲突，从而主动建构“进一”与“去尾”的数学模型，理解其存在的必要性与合理性。

2.思维可视，建模为要：引导学生经历“现实问题→数学问题→建立模型→解释应用”的完整建模过程。通过图表、语言、符号等多种方式将内隐的思维过程外显化，聚焦于决策依据（为什么进一或去尾）而非机械记忆方法本身。

3.跨域融合，素养贯通：有意识地将数学问题与科学、工程、经济、社会等领域的常识相结合。例如，在“包装”问题中融入环保理念（材料节约），在“运输”问题中渗透成本核算思想，培养学生的综合实践能力和理性决策能力。

4.评价嵌入，教学评一体化：将诊断性评价、形成性评价与总结性评价有机嵌入教学全过程。通过追问、观察、作品分析、量规评价等方式，实时评估学生的学习状态与思维深度，以评促学，以评导教。

二、单元整体分析与本课定位

所属单元：人教版小学数学五年级上册第三单元《小数除法》

单元核心素养线索：

本单元从“运算能力”奠基，经由“数感”深化，最终指向“应用意识”与“模型意识”的养成。学生从掌握小数除法的计算法则开始，逐步接触“商的近似数”、“循环小数”，最终运用这些知识解决复杂的实际问题。“进一法”和“去尾法”是“商的近似数”在具体情境中的高级应用与辩证发展，是连接数学计算与现实世界的关键桥梁，体现了数学规则的灵活性与情境依赖性。

本课定位：

本课是小数除法单元应用层面的“收官”与“升华”之课。它既是对小数除法计算、取近似值等基础技能的综合检验，更是培养学生根据实际情况进行数学化判断与决策的思维训练场。学生将在此课中深刻体会到，数学答案的“最优性”并非总是由计算的精确性决定，而是由具体情境的约束条件和价值目标所决定。

三、学情深度分析

已有知识与经验：

1.知识基础：学生已熟练掌握小数除法的计算方法，并能按照“四舍五入法”求商的近似值。对“近似数”在生活中的应用有初步感知。

2.生活经验：五年级学生具备一定的生活常识，如“物品需要完整包装”、“车辆不能超载”、“钱不够就不能买”等，这些是理解“进一”和“去尾”的现实基础。

学习困难与障碍预判：

1.思维定势干扰：学生极易受“四舍五入法”这一强认知的影响，形成思维定势，在面对所有实际问题时机械套用，无法根据情境灵活转换策略。

2.本质理解薄弱：容易将“进一法”和“去尾法”视为两个孤立的、需要记忆的新“法则”，而忽略其本质是“根据问题背景对计算结果进行合理化处理”的数学建模思想。

3.信息处理与决策困难：面对复杂的图文结合的实际问题，部分学生提取有效数学信息的能力不足，更难以将这些信息转化为选择“进一”或“去尾”的决策依据。

4.语言表述模糊：在解释“为什么”时，语言可能停留在“不够”、“多出来”等生活化层面，难以用精准的数学语言进行概括。

突破策略：通过制造强烈的认知冲突（如用四舍五入得到的结果在现实中行不通），引导学生深度辨析不同情境的内在逻辑；提供思维工具（如决策流程图、关键词列表）辅助分析与决策；创设阶梯式讨论，推动语言从生活化向数学化精炼。

四、教学目标

基于以上分析，制定如下三维教学目标：

1.知识与技能

1.结合具体生活情境，理解“进一法”和“去尾法”的意义。

2.掌握在解决实际问题时，根据具体情况灵活选择“进一法”、“去尾法”或“四舍五入法”对商的近似值进行处理。

3.能正确列式解决相关的实际问题，并书写完整的答句。

2.过程与方法

1.经历从现实问题中抽象出数学问题、自主探究解决方法、对比辨析内化模型的全过程，体会数学建模的基本思想。

2.通过小组合作、辩论交流，提升分析信息、合情推理和数学表达的能力。

3.学会使用列表、画图等策略分析数量关系，优化解决问题的路径。

3.情感、态度与价值观

1.感受数学与日常生活的密切联系，体会数学的应用价值。

2.在解决问题的过程中，养成根据实际情况具体分析、理性决策的科学态度。

3.增强团队协作意识，敢于发表自己的见解，并乐于倾听、尊重他人的观点。

五、教学重难点

1.教学重点：体会“进一法”和“去尾法”的现实来源，掌握在具体情境中如何选择合适的方法取近似值。

2.教学难点：准确理解不同情境的内在逻辑，灵活、合理地选择取近似值的方法；清晰表达选择的依据。

六、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含情境动画、关键问题、对比表格）、实物道具（小瓶子、大袋子、礼品盒）、小组学习任务单、课堂反馈器（可选）。

2.学生准备：预习基础问题，准备草稿本、尺子、铅笔。

七、教学过程实施（详细展开）

第一环节：锚定情境，冲突激趣（预计时间：8分钟）

1.情境导入——旅游规划中的数学

师：（播放微视频）同学们，国庆假期即将到来，五（1）班家委会计划组织一次亲子户外徒步活动。他们遇到了两个筹备上的小难题，想请大家帮忙出出主意。

【问题一：租车】全班共有45名同学和15位家长，共计60人参加。旅游公司提供两种车型：大巴车每辆限乘28人，中巴车每辆限乘16人。如果从经济和安全角度优先考虑租用大巴车，需要租多少辆？

【问题二：采购饮用水】活动预计持续5小时，经测算共需准备85瓶矿泉水。超市促销，每6瓶装成一提出售。至少需要购买多少提？

2.独立尝试，初显冲突

师：请大家独立列式计算，并给出你的租车方案和采购建议。

（学生独立计算。教师巡视，收集典型做法，预计大部分学生计算如下：

问题一：60÷28≈2.14（辆）≈2（辆）（四舍五入）

问题二：85÷6≈14.166…（提）≈14（提）（四舍五入））

3.展示交流，引发质疑

师：（呈现上述“标准”答案）按照这个方案，租2辆大巴车，能坐下所有人吗？

生：不能。2辆车只能坐28×2=56人，还有4人没位置。

师：那这4人怎么办？能超载吗？

生：不能，超载违法且危险！

师：再看采购方案，买14提水，是多少瓶？够85瓶吗？

生：14提是14×6=84瓶，还差1瓶。

师：差1瓶水，活动中有人没水喝行不行？

生：不行，可能会口渴，影响健康。

4.聚焦矛盾，揭示课题

师：看，我们运用以前学过的“四舍五入法”取近似值，得到的方案在现实中却遇到了大麻烦！这说明，在解决某些实际问题时，“四舍五入法”可能不适用了。那么，该怎么办呢？今天，我们就一起来探究如何根据实际情况，灵活处理计算结果，找到真正可行的方案。（板书课题：解决实际问题中的“进一”与“去尾”）

【设计意图】创设真实、连贯的班级活动情境，迅速将学生带入问题场域。通过计算与现实的尖锐矛盾，强烈冲击“四舍五入万能”的思维定势，激发学生强烈的认知需求和探究欲望，自然引出本课核心问题。

第二环节：合作探究，建构模型（预计时间：22分钟）

活动一：探究“进一法”——以“租车问题”为例

1.小组讨论：租车问题中，为什么2辆车不行？到底需要几辆？请说明理由。

2.汇报与引导：

1.3.小组汇报：需要3辆车。因为60÷28=2.14…，虽然小数部分小于5，但2辆车不够坐，所以无论小数部分是多少，都必须再增加1辆，才能保证所有人都坐下。

2.4.教师追问：“必须再增加1辆”这个结论，是由什么决定的？（由“限乘人数”这个条件和“所有人都必须坐下”这个目标共同决定的。）

3.5.教师板书核心逻辑：“全部装完，无剩余（人或物）”→即使商的小数部分很小，也要向整数部分进一。

4.6.方法命名与规范：像这样，在取近似值时，不管省略部分首位数字是几，都向整数部分进一的方法，叫做“进一法”。（板书：进一法）

5.7.规范解答：60÷28≈2.14…≈3（辆）（用“≈”连接计算过程，用“≈”或“=”连接最终结果并说明方法）答：需要租3辆大巴车。

活动二：探究“去尾法”——以“购水问题”为例

1.类比迁移：请同学们仿照分析租车问题的思路，独立分析购水问题。为什么买14提不行？到底需要买多少提？

2.独立思考后全班辨析：

1.3.学生分析：85÷6=14.166…，虽然小数部分大于5，但买15提就多花了钱，且可能造成浪费。因为水是按“提”卖的，我们只能买整数提。14提是84瓶，不够；15提是90瓶，多了5瓶。为了保证“至少够喝”，我们只能“舍弃”小数部分，买14提，不够的那1瓶需要单独购买或调整方案。

2.4.关键辩论点：有学生可能认为“四舍五入”到14也对，因为可以另外单买1瓶。教师引导：题目要求是“至少需要购买多少提？”核心是解决“提”的问题。单买一瓶是另一种解决方案，但就“提”而言，14提不够，15提浪费，在“只能整提购买”的约束下，14提是最大可实现的不超需求的整数数量。

3.5.教师板书核心逻辑：“满足需求，不造成多余浪费（或无法完整使用）”→即使商的小数部分很大，也要舍去小数部分。

4.6.方法命名与规范：像这样，在取近似值时，不管省略部分首位数字是几，都直接舍去的方法，叫做“去尾法”。（板书：去尾法）

5.7.规范解答：85÷6≈14.166…≈14（提）答：至少需要购买14提。

活动三：对比辨析，提炼本质

师：（出示表格，引导学生共同总结）

方法

典型情境关键词

处理方式

本质目的

进一法

装完、运完、装满、租（船/车）

不管小数部分是多少，都进一

确保“总量足够”，解决“不够”的问题。

去尾法

制作、购买、包装、能做（多少）

不管小数部分是多少，都去尾

确保“材料不浪费”或“成品完整”，解决“多余”的问题。

四舍五入法

一般近似、估算、没有特殊约束

看省略部分首位，四舍五入

求得一个最接近精确值的近似数。

师：请大家思考，我们到底是以什么为标准来选择方法的？是数字本身的大小吗？

生：不是！是看问题里的实际情况和要求。

师：说得太好了！决定“进一”还是“去尾”的，不是商的小数点后第一位数字是“几”，而是问题背后的“生活逻辑”和“目标要求”。（板书核心思想）

【设计意图】本环节是模型建构的核心。采用“扶放结合”的策略，先以“进一法”为例，教师引导深入剖析；再让学生类比探究“去尾法”，促进迁移能力。通过对比表格，将零散的感知结构化、清晰化，引导学生超越具体情境，抽象出方法选择的本质依据，完成数学模型的建构。

第三环节：分层应用，深化理解（预计时间：12分钟）

层次一：基础辨析（判断方法，口答结果）

1.每套童装用布2.2米，50米布最多可以做多少套这样的童装？（去尾法）

2.每个油桶最多可装4.5千克油，装10千克油至少需要几个这样的油桶？（进一法）

3.王老师带100元去为学校图书室买新词典，每本词典18.5元，他最多可以买几本？（去尾法）

4.一根木料长10.5米，先截取相等长度的5段，每段长1.2米，剩下的准备截成0.8米长的小段，最多还能截出几段？（综合：先算剩下长度，再用去尾法）

（要求学生快速判断方法并口答，重点说明判断依据，巩固方法本质。）

层次二：综合应用（小组合作，完成学习单）

【项目任务：设计生日派对方案】

背景：小明的生日派对邀请了8位好朋友。妈妈给他100元预算用于采购派对物品。

任务1（饮品）：果汁每瓶售价5.8元，预计每人需饮用1瓶。小明需要购买多少瓶？需要花费多少钱？

任务2（蛋糕）：水果蛋糕每磅售价25元，商店建议按每人0.4磅准备。小明需要购买多少磅蛋糕？（结果保留一位小数）100元预算够吗？

任务3（装饰）：彩带每卷长15米，装饰房间需要截取0.7米长的彩带若干段。一卷彩带最多可以截出多少段？如果需要20段，至少需购买几卷？

（小组讨论，分工计算，并形成完整的采购报告。此任务融合了“进一”、“去尾”、“四舍五入”及混合运算，考验学生在复杂情境中的信息整合与决策能力。）

层次三：思维拓展（辩证讨论）

师：看来大家已经掌握了方法选择的要领。现在我们来思考一个更深刻的问题：是不是所有“装东西”的问题都用“进一法”，所有“做东西”的问题都用“去尾法”呢？

出示辨析题：一个蛋糕店生产了100个蛋挞，现在要用包装盒进行包装。每个包装盒最多能装6个蛋挞。

1.情况A：如果老板想把这些蛋挞全部装盒出售，需要准备多少个盒子？（进一法：100÷6≈16.66…≈17个）

2.情况B：如果老板只有15个包装盒，每个盒子都必须装满才能出厂，这些蛋挞最多能装满几盒？（去尾法：100÷6≈16.66…≈16盒，但盒子只有15个，所以是15盒）

师：同样是“包装”，为什么方法不同？

生：因为目标不同！A的目标是“把所有蛋挞装完”，不够装就得加盒子；B的目标是“把盒子装满”，多余的蛋挞不够装一盒就得舍弃。

师：精彩！这再次证明，我们的选择永远服务于具体的目标和条件。关键词只是提示，最终决策要靠深入分析。

【设计意图】练习设计体现梯度与广度。基础题强化判断力；综合项目题模拟真实问题解决过程，培养应用能力和合作精神；拓展辨析题旨在破除新的思维僵化（认为某类关键词一定对应某法），引导学生进行辩证思考，抵达方法论的本质——具体问题具体分析。

第四环节：反思总结，勾连体系（预计时间：5分钟）

1.知识梳理：今天我们学习了什么？你印象最深的一点是什么？

（引导学生回顾“进一法”、“去尾法”的含义、适用情境及与“四舍五入法”的区别。）

2.思想升华：

1.3.师：通过今天的学习，你认为解决实际问题时，最关键的一步是什么？

2.4.生：读懂题目，想清楚现实中的情况和要求。

3.5.师：对！数学从来不是冷冰冰的数字游戏。当我们把数学带到生活中时，必须用生活的逻辑去检验它、修正它。这就是“具体问题具体分析”的数学智慧。

6.体系勾连：今天学习的“进一法”和“去尾法”，是我们之前学习的“小数除法”和“求商的近似数”知识的延伸与应用。它们和“四舍五入法”一起，构成了我们根据实际情况处理计算结果的“工具箱”。在未来，我们还会在解决更多、更复杂的问题中继续使用和丰富这个工具箱。

【设计意图】总结不仅回顾知识，更提炼数学思想方法，将本课内容纳入更广阔的知识体系中，帮助学生形成结构化认知。强调数学与生活的互动关系，凸显数学的应用价值和理性精神。

八、板书设计（结构化思维导图式）

解决实际问题中的“进一”与“去尾”

——让数学服务于生活

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│核心：根据生活逻辑与目标决策│

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│

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▼▼

【进一法】【去尾法】

（确保“足够”）（确保“不浪费”）

││

关键情境：关键情境：

装完、运完、全部…制作、购买、最多能…

││

处理方式：处理方式：

不管小数部分，都进一不管小数部分，都舍去

││

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│

▼

与“四舍五入法”对比

┌─────────┬─────────┬─────────┐

│方法│依据│目的│

├─────────┼─────────┼─────────┤

│四舍五入│数字本身│求最接近值│

├─────────┼─────────┼─────────┤

│进一/去尾│生活逻辑│满足实际需求│

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例1：租车60÷28≈2.14…≈3(辆)进一

例2：购水85÷6≈14.16…≈14(提)去尾

九、分层作业设计

A层（基础巩固）：

1.完成课本相关练习题。

2.列举生活中应用“进一法”和“