4.4.3　不同函数增长的差异-高一上学期数学必修一课件人教A版

4.4.3不同函数增长的差异【学习目标】1.比较一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.(直观想象)2.理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.(数学抽象)3.能根据具体问题选择合适的函数模型.(数学建模)三种常见函数模型的增长差异项目y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx(k>0)在(0,+∞)上的增减性___________________________图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定增长速度不变形象描述指数爆炸对数增长直线上升增长结果存在一个x0,当x>x0时,有___________单调递增单调递增单调递增ax>kx>logax[思考]讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.提示:直线上升:匀速上升;对数增长:缓慢增长;指数爆炸:增长越来越快.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.()(2)对任意的x>0,kx>logax.()提示:对任意的x>0,当k<0,a>1时,kx>logax不恒成立,故错误.√×(3)存在一个实数m,使得x>m时,1.01x>x10.()提示:指数函数的增长速度比幂函数的增长速度快,所以当实数x足够大时,1.01x>x10.(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型.()√√类型1不同函数增长的差异(数学抽象)【典例1】(1)下列函数增长速度最快的是(

)A.y=1.1x

B.y=2025x2C.y=log2025x

D.y=2025x【解析】选A.函数y=1.1x为单调递增的指数函数,函数y=2025x2为二次函数,y=log2025x为递增的对数函数,y=2025x为递增的一次函数,根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质,可得指数函数增长速度最快.√

x23456y1.402.565.311121.30√【解析】选C.观察题表中数据,知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而选项A,B中的函数增长速度越来越慢,A,B不符合题意;对于C,当x=6时,y≈21.33,C符合题意;对于D,当x=6时,y=18,误差偏大,D不符合题意.【解题有招】常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.(2)指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.(4)幂函数模型:幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.【即学即练】1.(2025·南京高一检测)某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体,有三种方案可以选择,这三种方案的注入量随时间变化如图所示:

横轴为时间(单位:小时),纵轴为注入量,根据以上信息,若使注入量最多,下列说法中错误的是(

)A.注入时间在3小时以内(含3小时)时,采用方案一B.注入时间恰为4小时时,不采用方案三C.注入时间恰为6小时时,采用方案二D.注入时间恰为10小时时,采用方案二√【解析】选D.对A,由题图可知,注入时间在3小时以内(含3小时)时,方案一的注入量大于其他两种方案,故A正确,不符合题意;对B,当注入时间恰为4小时时,由题图可知,方案三的注入量小于其他两种方案,故B正确,不符合题意;对C,当注入时间恰为6小时时,方案二的注入量大于其他两种方案,故C正确,不符合题意;对D,当注入时间恰为10小时时,由题图可知方案三的注入量最大,故应选择方案三,故D错误,符合题意.2.一组实验数据如表:用下列函数近似地表示数据满足的规律,其中最接近的一个是(

)A.s=2t-3+1 B.s=log2tC.2s=t2-1 D.s=-2t-2t1.9933.0024.0015.0326.121s1.5014.4137.49812.0417.93√【解析】选C.根据已知的数据可知,随着t的逐渐增大,函数值也是增大的,因此排除选项D.对于A,是指数型函数,底数大于1,因此是递增的,但是爆炸性的增长,不满足题意.对于B,对数函数的增长速度平缓,并且当t=4时,函数值为2,与数据差距大,不满足题意,故排除法选C.类型2不同函数增长差异的应用(逻辑推理)角度1

求范围【典例2】若x∈(0,+∞),则使log2x<2x<x2成立的x的取值范围是

,使log2x<x2<2x成立的x的取值范围是

.

【解析】在同一平面直角坐标系中作出y=2x,y=x2,y=log2x在(0,+∞)上的图象如图所示,由图得,若log2x<2x<x2,则2<x<4,若log2x<x2<2x,则0<x<2或x>4.答案:(2,4)

(0,2)∪(4,+∞)【解题有招】利用不同函数增长的差异求范围(1)根据题意,作出不同函数增长的图象,确定交点的坐标;(2)结合图象,根据不同函数的相对位置,求出变量的取值范围.【即学即练】对于任意x∈(m,+∞),不等式log2x<x2<2x都成立,则m的最小值为(

)A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选C.x>0时,令2x=x2得x=2或x=4,由于指数函数增长速度比二次函数快,所以当x>4时,2x>x2恒成立,且当x>4时,x2>log2x也成立,对数函数增长速度小于二次函数,所以m的最小值为4.√

√√√

【解题有招】利用不同函数增长的差异比较大小(1)根据题意,作出不同函数增长的图象,函数值的大小对应图象的高低;(2)通过