高考数学一轮复习 9.2 圆锥曲线小题篇

9.2圆锥曲线小题篇考向1椭圆双曲线的第一定义题型1椭圆第一定义1.椭圆的第一定义平面内与两个定点的距离的和等于常数大于的点的轨迹;其中,两个定点称做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.设是椭圆上任意一点,焦点和,由上述椭圆的定义可得:,将这个方程移项,两边平方得:,两边再平方,整理得:注意:1.椭圆的标准方程后面我们仅以展开性质介绍分析.2.顶点:.3.长轴和短轴:长轴为,短轴为,注意区分长半轴为,短半轴为.4.焦点:.5.焦距:,同时:.6.离心率:;离心率越大,椭圆越扁.椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据.因为,所以的取值范围是;①越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；②越接近于0,就越接近0,从而越接近于,这时椭圆就越接近于圆.7.为椭圆上一点,则（利用极化恒等式证明）.例1方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（）A.B.C.D.例2已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点,则的最大值为（）A.B.C.D.题型2椭圆最值问题椭圆最值问题1.若在椭圆外,求最小值,则构造,利用三点共线求最值（如左图所示）,当且仅当三点共线时等号成立.此类型的题目叫做声东击西,即问左焦点,则连接右焦点,问右焦点则连左焦点,三点共线是关键.2.若为椭圆外一定点（如右图所示）,则,当且仅当、三点共线时,左边等号成立,当且仅当三点共线时位于延长线上）,等号成立.3.若为椭圆内一定点（如下图所示）,则,当且仅当、三点共线时,左边等号成立,当且仅当三点共线时位于延长线上）,右边等号成立。例3已知椭圆的左、右焦点分别为为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为_____.例4已知椭圆，的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（）A.B.5 C.D.题型3双曲线第一定义双曲线的第一定义平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数且小于的点的轨迹;其中,两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距.注意:与分别表示双曲线的一支.若有“绝对值”,点的轨迹表示双曲线的两支;若无“绝对值”,点的轨迹仅为双曲线的一支;根据,化简得:.注意:1.双曲线的标准方程:2.顶点:.3.实轴和虚轴实轴长为,虚轴长为;4.焦点.5.焦距,满足关系式:.6.离心率,离心率越大,开口越大;7.为双曲线上一点,则（利用极化恒等式证明）.例5（2026秋·河北期末）已知双曲线的上、下焦点分别为,点在双曲线上,若,则（）A.4B.16C.5或13D.4或14题型4双曲线最值问题求最值,则构造,当且仅当三点共线时等号成立.（如下图所示）.注意:由于椭圆和双曲线的第二定义已经不在高考范围内,形如“”的最值已经不是考试的常考范围，关于问焦点则连接准线的类型题目只适合抛物线，这里不做详述.其它双曲线最值类比椭圆,画图仔细分析即可.例6（2025·上海）已知在上,则的面积A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值C.既有最大值,也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值例7（2026·福州期末）已知分别是双曲线的左、右焦点,动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为_____.考向2椭圆双曲线的第二定义题型1椭圆第二定义与焦半径公式椭圆的第二定义平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹,其中,定点为焦点,定直线叫做准线,常数叫做离心率.设是椭圆上任意一点,定点为,定直线为,常数,由上述椭圆的定义可得:,变形即可.焦半径椭圆上的点到焦点的距离;设为椭圆上的一点,①焦点在轴:焦半径（左加右减）；②焦点在轴:焦半径（上减下加）.注意:利用第二定义快速进行证明,结合图像,长的加,短的减.注意:焦半径公式,在大题中不能直接使用,大题建议使用余弦定理推导.例8点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数,求的轨迹方程;例9已知双曲线的离心率为分别是的左、右焦点,是上一点,且,则例10平面内到定点及到定直线的距离之比为5:4的点的轨迹方程是（）A.B.C.D.例11设为椭圆的两个焦点,为上一点且在第二象限.若,则点的坐标为_____.考向3椭圆双曲线的第三定义题型1椭圆双曲线第三定义与点差法1.椭圆的第三定义（以集点在轴上为例，下双曲线同）已知关于原点对称的两个定点,那么到这两定点连线的斜率之积为定值或的点的轨迹是椭圆,通常这两个定点分别为长轴或者短轴顶点.另一方面,设是椭圆上任意一点,两个定点为,常数,根据椭圆方程:将,变形成,所以,椭圆上动点到关于原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于常数.若椭圆与直线交于两点,其中,为中点,定理（椭圆）;证明:设,则椭圆:①－②，并将③④⑤代入得：，点差法,抓住“差中斜”,这样找到了对应关系,由于点差法属于解析几何技巧方法的入门篇,第一次让大家见识到“设而不求”.2.双曲线的第三定义到关于原点对称的两个定点连线的斜率之积为定值或的点的轨迹是双曲线;通常定点为实轴或虚轴顶点,定值为正值.另一方面,设是双曲线上任意一点,两个定点为,常数,根据双曲线方程:将,变形成,所以,双曲线上动点到关于原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于常数.若双曲线与直线交于两点,其中为中点,定理1:（双曲线）证明:设,则 ①－②，并将③④⑤代人得：．其实中点弦问题是斜率乘积为定值,其本质来源于第三定义,如图,设为椭圆不平行于坐标轴的弦,为的中点,是椭圆上一点,且弦过椭圆的中心,利用中位线得:设为双曲线不平行于坐标轴的弦,为的中点,是双曲线上一点,且弦过双曲线的中心,利用中位线得:.例12（2022·甲卷）椭圆的左顶点为,点均在上,且关于轴对称.若直线的斜率之积为,则的离心率为（）A.B.C.D.例13（2013·新课标I）已知椭圆:的右焦点为,过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为,则的方程为（）A.B. C.D.例14已知点是双曲线上关于原点对称的任意两点,点在双曲线上（异于两点），若直线斜率之积为，则双曲线的离心率为（）A.B.2 C.D.3例15已知椭圆，倾斜角为的直线与椭圆分别相交于、两点，点为线段的中点,为坐标原点,则直线的斜率为（）A.B.C.D.例16（2022·新高考II）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为_____.例17（2026·汉阳区模拟）已知是双曲线上关于原点对称的两点,动点在双曲线上，且，的斜率之积为（为双曲线的离心率），则_____.拓展思维拓展中点弦存在定理1.在椭圆中，只需要中点在椭圆内，即；2.在双曲线中,一定有①;②椭圆的中点弦存在定理很好理解,关于双曲线,这里存在一个共中点定理,就是弦与双曲线渐近线交于两点,既是中点,又是中点,证明过程可以用直曲联立,也可以用点差法,我们本讲只介绍点差法,如下:令,由于渐近线方程为,根据曲线与方程的思想,我们可以把两条渐近线上点的集合统一为方程,即,此时一定满足,两式相减可得,由于四点共线,故既是中点,又是中点.所以双曲线的中点弦本质来自于渐近线,即斜率绝对值大于渐近线斜率绝对值时,斜率一定小于渐近线斜率的绝对值,其实按照数字逻辑也很好理解,其实中点弦问题就可以转化为弦与渐近线和双曲线均有两个交点,如果（左图）,或者时,此时弦与渐近线有两个交点,也与双曲线有两个交点,此时一定成立;当（中图）,或者仅需时,由于在双曲线内部,此时弦与渐近线有两个交点,也与双曲线有两个交点,此时一定成立;当或者仅需（右图）时,此时弦与渐近线有两个交点,但与双曲线并没有两个交点,此时不存在这样的中点弦.综上,双曲线的中点弦本质就是中点的位置,当位于双曲线和渐近线中间的区域时（含边界）,一定不存在以为中点的弦.例18（2023·乙卷）设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是A.B.C.D.例19（2026·河南期末）已知双曲线的实轴长为4,离心率为,直线与交于两点,是线段的中点,为坐标原点.若点的横坐标为1,则的取值范围为_____.考向4椭圆双曲线的焦点三角形1.椭圆的焦点三角形问题周长问题:过椭圆的左焦点的弦与右焦点围成的三角形的周长是；角度问题:①已知椭圆的左、右两焦点分别为是椭圆上一动点,在焦点三角形中,若最大,则点为椭圆短轴的端点.证明:,故当取得最大值时,当点位于短轴端点时,取得最大值.②已知椭圆的左、右两焦点分别为,若椭圆上存在一点,使得,则椭圆离心率.证明:如图,设为椭圆的短轴顶点,假设椭圆上存在一点,使得,则必有,又,由于,故.面积问题:椭圆焦点为为椭圆上的点，，如下图，则（灵动椭圆焦点三角形面积公式）证明:设②:所以2.双曲线焦点三角形性质双曲线的焦点为为双曲线上的点，，如图，则（灵动双曲线焦点三角形面积公式）.证明:设①②得:代入③，得:.例20（2021甲卷）已知为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为_____.例21（2025·天津）双曲线的左、右焦点分别为,以右焦点为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为,若,则双曲线的离心率（）A.2 B.5 C.D.例题2（2025·新高考II·多选）双曲线的左、右焦点分别是,左、右顶点分别为,以为直径的圆与曲线一条渐近线交于两点,且,则（）A. B.C.的离心率为 D.当时,四边形的面积为例23（2026·成都二诊）已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点，且为等腰直角三角形，则的离心率为_____.例24（2026·深圳一模，多选）设双曲线的左、右焦点分别为.过的直线与的两条渐近线的交点分别为为的中点,为坐标原点.则（）A.是直角三角形B.是等腰直角三角形C.D.直线斜率为3.椭圆双曲线共焦点问题椭圆双曲线共焦点三角形的问题:如图所示,椭圆和双曲线共焦点,由于两个式子不同,将椭圆写成,双曲线写成可以知道①当时,椭圆和双曲线的离心率;②当时,一定有.证明:.例25（2014·湖北卷）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为_____.例26（2026·多选·湖北月考）如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点,且共焦点的离心率分别为,则下列结论正确的是（）A. B.若,则C.若,则的最小值为2 D.4.有关的结论（1）设、是椭圆的两个焦点，是椭圆的中心，是椭圆上任意一点，,则.（2）设、是双曲线的两个焦点，是双曲线的中心，是双曲线上任意一点,,则.（3）等轴双曲线满足:；证明:（1）,利用等面积法,,故;也可以利用中线定理,,从而（2），或者利用中线定理，,整理得,再利用等面积法,故（3）由于等轴双曲线满足,所以.例27（2023·甲卷）已知椭圆为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，,则（）A.B.C.D.例28（2026·岫岩县模拟）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质:是双曲线的左、右焦点,从发出的光线射在双曲线右支上一点,经点反射后,反射光线的反向延长线过;当异于双曲线顶点时,双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为,则下列结论正确的是（）A.射线所在直线的斜率为,则B.当时,C.当过点时,光线由到再到所经过的路程为13D.若点坐标为,直线与相切,则例29（2026·贵州期末）已知椭圆的两焦点，若椭圆上存在点，使得围是_____.考向5椭圆双曲线的焦点弦问题1.椭圆焦长公式是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，是椭圆半焦距,则（1）（2）（3）.证明:（1）如图所示,,故;（2）设；；；；由余弦定理得;整理得①同理:;整理得②①+②得，则过焦点的弦长:③焦比定理:过椭圆的左焦点的弦,令,即④,代入焦长公式①可得⑤.2.双曲线的焦长公式周长问题:双曲线的两个焦点为,弦过左焦点都在左支上）,,则的周长为（如下图）焦长公式:（1）当交双曲线于一支时，（图左）（2）当交双曲线于两支时，（图右）双曲线焦比定理和椭圆的焦比定理一致:令,即,代入弦长公式可得.若交于两支时,,代入弦长公式可得.例30设椭圆的焦点分别为,过的直线与椭圆相交于两点,则的周长为（）A.6B.8C.10D.16例31已知双曲线的左、右焦点分别为,直线经过且与的右支相交于两点,若,则的周长为（）A.6B.8C.10D.12例32过椭圆的一个焦点作弦，若，则的数值为（）A.B.C.D.与斜率有关例33（2026·株洲模拟）已知椭圆的左右焦点为,过的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为_____.例34（2019·新课标I）已知椭圆的焦点为，过点的直线与椭圆交于两点.若,则的方程为（）A.B.C.D.例35（2022·新高考1）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为，过且垂直于的直线与交于点，两点，，则的周长是_____.例36（2026·枣庄模拟·多选）已知椭圆:，过椭圆的左焦点的直线交于，两点（点在轴的上方）,过椭圆的右焦点的直线交于，两点，则（）A.若,则的斜率B.的最小值为C.以为直径的圆与圆相切D.若,则四边形面积的最小值为3.双曲线渐近线与焦点弦相关双曲线的焦点到渐近线的距离为定值,如左图所示,由于渐近线的斜率为,又,显然的长度是定值.如右图所示,过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,那么,点在渐近线上,也在左准线上,即点.例37已知双曲线的左焦点为,右顶点为,过作垂直于轴的直线与两渐近线分别交于点，若为等边三角形，则的离心率为（）A.2B.C.D.例38已知双曲线的左、右焦点分别为,点,在双曲线右支上存在点,使得成等比数列,则双曲线离心率取值范围是（）A.B.C.D.例39（2022・乙卷）双曲线的两个焦点为,以的实轴为直径的圆记为,过作的切线与交于两点,且,则的离心率为（）A.B.C.D.以上几题我们发现,过一个焦点作渐近线垂线,垂足为,当不涉及连线的斜率时,通常都是考虑长度和角度的转化,用坐标计算则增加了计算量.当过焦点作渐近线垂线与双曲线相交时,这里就会产生一个几何性质,就是焦点弦长,我们可以根据焦长公式来简化,我们来进行数学建模.是双曲线左支上两点,是左焦点,为过是双曲线半焦距,如左图,由于,如右图所示,;是双曲线左支上一点,是双曲线右支上一点,是左焦点,为过,是双曲线半焦距,如图,由于交两支时,有,平方得:,即,故由于,如右图所示,;例40已知双曲线的左、右焦点分别为,过作的一条渐近线的垂线,垂足为,交的左支于点.若恰好为线段的中点,则的离心率为A.B.C.2D.例41（2026·河北模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于坐标原点）,若线段交双曲线于点,且,则该双曲线的离心率为（）A.B. C.D.4.焦点弦与直角三角形相关如左图所示,椭圆着,且,我们可以借助公式可得来求出和的关系,由于,从而求出离心率.如右图所示,若过原点,且,通过补全矩形,可得,,借助公式可得来求出和的关系,从而求出离心率.注意:若直线交双曲线两支于两点,,则,时,,本节前面已经论述.例42已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率是_____.例43（2026·广州期末）双曲线的左、右焦点分别为，直线过与双曲线的左支和右支分别交于，两点，.若轴上存在点满足，则双曲线的离心率为例44（2026·咸阳二模）已知点为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线交于两点（点在双曲线左支上）,连接并延长交双曲线于点,且,则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.5.焦点弦与双曲线等腰三角形相关第一类:等腰三角形的隐藏例45已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，，若周长的最小值是，则双曲线的离心率是_____.第二类:等腰三角形的隐藏如图,若与互为充要条件.证明:（充分性）,故.（必要性）,故核心技能:例46（2026·成都模拟）已知是双曲线的左，右焦点，过点作斜率为的直线与双曲线的左,右两支分别交于两点,以为圆心的圆过,则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.例47（2016·上海）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于，两点.（1）直线的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率.例48设双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上在第一象限内的点,线段与双曲线相交于另一点的中点为,且,若,则双曲线的离心率为（）A.B.2C.D.考向6抛物线的定义及结论《1.抛物线定义平面内与一个定点和一条定直线不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.2.抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程顶点范围对称轴轴轴焦点离心率准线方程焦半径注意抛物线标准方程中参数的几何意义是:抛物线的焦点到准线的距离（简称焦准距）,所以的值永远大于0.另外,焦半径使用定义即可证明.3.抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径.对于抛物线,由,,可得,抛物线的通径长为.4.弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系:证明（点差法）设为抛物线上两点，则作差得,其中是中点.或者说,若设的斜率为,则中点纵坐标.[焦点在轴上的抛物线,同理]5.焦点弦的常考性质已知是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足.令.（1）以为直径的圆必与准线相切，以（或）为直径的圆与轴相切;（2），（3）（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上.证明（1）过作垂直为垂足，在梯形中，,故以为直径的圆与准线相切.设是的中点,则的坐标为,则点到轴的距离为,故以为直径的圆与轴相切,同理以为直径的圆与轴相切.（2）在与中；在中，，，,则,则,因为,所以,所以.（3）设直线的方程为与抛物线联立得，即，故.（4），则、、三点共线，同理、三点共线.上述证明方式并非唯一,多种方法均可证明,不再赘述.重要结论1..2..3..4.设,则.5.设交准线于点,则.证明1.,同理.2..3.设到的距离为,则,故.4..5..关于抛物线的焦长公式及定理（为直线与抛物线右交点,为左交点,为倾斜角）1..2..3..4.设,则.5.设交准线于点.题型1抛物线的焦半径公式例49（2025新高考II）设抛物线的焦点为，点在上，过作准线的垂线,垂足为.若直线的方程为,则（）A.3B.4C.5D.6例50（2020・山东）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则_____.例51已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与交于两点,若,且,则（）A.B.C.D.题型2抛物线的联立数据例52（2022·新高考I·多选）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点,则（）A.的准线为 B.直线与相切C. D.例53（2022·新高考II·多选）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点,其中在第一象限,点.若,则（）A.直线的斜率为 B.C. D.例54（2025·新高考I）设抛物线的焦点为,过的直线交于,过且垂直于的直线交准线于,过点作准线的垂线,垂足为,则（）A. B.C. D.题型3抛物线最值问题根据两点之间线段最短定理,可以知道为抛物线上一点:（1）当为抛物线内任意一点，则存在的最小值，当两点的纵坐标相等时,即（参考下图,内部连准线）（2）当为抛物线外任意一点，存在最小值，当、、三点共线时,（参考下图,外部连焦点）由此类比抛物线的最值问题,把握内连准线,外找焦点.例55已知,若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为（）A.3B.4C.5D.6考向7离心率问题离心率问题一直是高考每年必考,对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主,一般不会出太难,二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法,本专题从挖掘椭圆双曲线的几何性质下手.构成圆锥曲线离心率计算的主要要素就是坐标语言和长度角度语言,要高效解答离心率问题,就需要对两种语言进行区分，就要看那种方法处理起来简单，本专题站在这个角度来阐述，力争简化离心率计算.类型一:数形结合转化长度角度例56（2023·新高考I）已知双曲线的左、右焦点分别为.点在上,点在轴上,,则的离心率为_____.例57（2026·章丘区模拟）已知椭圆的右顶点与右焦点分别为,点在上,且,则的离心率为（）A.B.C.D.类型二:双曲线渐近线相似三角形比值与离心率①如左图所示，当离心率时，过焦点作渐近线垂线，则不会形成直角三角形；②如右图所示，当离心率时，过焦点作渐近线垂线，会交于第二象限点,令,则双曲线离心率为;证明:作于,易知,则,可知:,根据勾股定理,即,故,所以.③如图所示，当离心率时，过焦点作渐近线垂线，会交于第四象限点，令,则双曲线离心率为;证明:作于,易知,则,可知:,根据勾股定理,即,故,所以.例58（2026秋·湖北月考）设为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，为双曲线的两条渐近线,垂直于的延长线交于,若,则双曲线的离心率为（）A.B. C.D.例59（2026·湖北月考）已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为.若直线与双曲线的另一条渐近线交于点,且满足（为坐标原点）,则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.例60过双曲线右焦点作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为,与另一条渐近线交于点,若,则双曲线的离心率为（）A.或B.2或C.或D.2或类型三:化斜为直的坐标语言选取1.通径坐标与斜率问题化斜为直为椭圆双曲线半通径,则得出点,其它几何性质相对体现较少.例61（2020·新课标I）已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴.若的斜率为3，则的离心率为_____.例62（2022·浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点,交双曲线的渐近线于点且.若,则双曲线的离心率是_____.2.渐近线体系中的坐标特征三角形这里通常是双曲线的坐标特征三角形,需要借助辅助圆.如图,以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内的交点坐标为,b）.不过,很多时候,题目会以“点在渐近线上,且”的形式给出条件.证明:渐近线的方程为,设,则,即,即例63已知双曲线的左，右两个焦点分别为为其左顶点，以线段为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为,且,则的离心率为（）A.B.C.D.3例64（2026秋·菏泽期末）双曲线的左、右焦点分别为为双曲线的左顶点,为坐标原点,以为直径的圆与的渐近线在第一象限交于点,且,则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.或考向8必备二级结论一、圆锥曲线与光学性质椭圆的光学性质:从一个焦点发出的照射到椭圆上其反射光线会经过另一个焦点.双曲线有一个光学性质:从一个焦点发出的照射到双曲线上其反射光线的反向延长线会经过另一个焦点.抛物线有一个光学性质:从焦点发出的照射到抛物线上其反射光线平行于抛物线开口方向.定理:点为椭圆上任一点,为椭圆的两焦点,则椭圆在点处的切线与的平分线垂直.根据物理学的反射原理,反射光线等于入射光线,即把椭圆上的点处切线看成镜面,那么法线就是的平分线,所以它们垂直就自然而然了,同理也能推导双曲线.推论:设椭圆的两焦点为为椭圆上一点,则的角平分线所在直线的方程为.根据光学性质可知处切线方程为,由于点处的切线与的平分线垂直,故的角平分线所在直线的方程为,即例65（2026·多选·湖南期末）双曲线的光学性质如下:如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射,反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分,如图,其方程为分别为其左、右焦点,若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（在同一直线上）,满足,则（）A. B.C.该双曲线的离心率的平方为 D.该双曲线的离心率的平方为例66（2026春·江西月考）抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出,反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线焦点为，准线为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点,4）（点在抛物线内）射入,经抛物线上的点反射后,再经抛物线上另一点反射后,沿直线射出,经过点.若直线与抛物线的准线交于点,且平分,则的面积为（）A.8B.12C.16D.24例67古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点,且,入射角,则的离心率为（）A.B.C.D.例68古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆,坐标原点到点处切线的距离为,且.,则的离心率为（）A.B.C.D.二、大圆小圆问题以圆锥曲线焦半径为直径的圆的性质（1）以椭圆的焦半径为直径的圆必与大圆（以长轴为直径的圆）相内切.（2）以双曲线的焦半径为直径的圆必与小圆（以实轴为直径的圆）相切.（3）以抛物线的焦半径为直径的圆必与轴相切.证明:（1）如左图,以椭圆为例,分别为左、右焦点,以焦半径为直径的圆,连结并延长交圆于、连接,易知,所以,所以以椭圆的焦半径为直径的圆必与大圆（以长轴为直径的圆）内切.（2）如中图，以双曲线为例，、分别为左、右焦点，以焦半径为直径的圆,连结并与圆交于、连接,易知,所以,因此,以双曲线的短焦半径为直径的圆必与小圆（以实轴为直径的圆）外切.如右图,以焦半径为直径的圆,连结并与反向延长交圆于、连接,易知,所以,因此,以双曲线的长焦半径为直径的圆必与小圆（以实轴为直径的圆）内切.（3）如图，以抛物线为例，为焦点，以焦半径为直径的圆，作轴于,故以为直径的圆和轴相切.例69已知拋物线的焦点为，点是上一点，且，以为直径的圆截轴所得的弦长为1,则（）A.2B.2或4C.4D.4或6例70（2026·多选·下城区期末）已知抛物线的焦点为，是上位于第一象限内的一点,若在点处的切线与轴交于点,且,则下列说法正确的是（）A. B.以为直径的圆与轴相切C. D.直线的斜率为（为原点）例71（2026·湖北期末）如图,已知是椭圆的左焦点,为椭圆的下顶点,点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为_____.例72（2013·新课标II）设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点,则的方程为（）A.或B.或C.或D.或三、圆锥曲线与立体几何问题1.截口曲线形成的圆锥曲线圆锥曲线就可以看作圆锥被一个平面所截得到的截口曲线.如图,设圆锥的轴截面顶角为,圆锥的轴与截面所成的角为,其中.当时,截口曲线为椭圆,平面两侧的圆锥内切球与平面的切点为两焦点.;当时,截口曲线为抛物线,平面一侧的圆锥内切球与平面的切点为焦点;当时,截口曲线为双曲线,平面两侧的圆锥内切球与平面的切点为两焦点.例73（2026・多选・广东期末）用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与圆锥侧面的交线）是一个圆,用一个不垂直于轴的平面截圆锥,当截面与圆锥的轴的夹角不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此,我们将