高考数学一轮复习 11.3 离散型随机变量的分布列与数字特征

第三节离散型随机变量的分布列与数字特征知识点1离散型随机变量的分布列1.随机变量在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.随机变量常用字母表示.注意:（1）一般地，如果一个试验满足下列条件:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果.这种试验就是随机试验.（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示.如掷一枚硬币，表示反面向上,表示正面向上.（3）随机变量的线性关系:若是随机变量，，，是常数，则也是随机变量.2.离散型随机变量对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量.注意:（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值.（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量;②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果,但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出,而连续型随机变量的结果不能一一列出.3.离散型随机变量的分布列的表示一般地,若离散型随机变量可能取的不同值为取每一个值,的概率,以表格的形式表示如下:............我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列,简称为的分布列.有时为了简单起见,也用等式表示的分布列.4.离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下性质:（1）;（2）.注意:①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数.②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率.知识点2离散型随机变量的均值与方差1.均值若离散型随机变量的分布列为............称为随机变量的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.注意:（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征；（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值.但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值.这表明分布描述了随机现象的规律,从而也决定了随机变量的均值.而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征,并不能完全决定随机变量的性质.2.均值的性质（1）.（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且.（3）.（4）如果相互独立，则.3.方差若离散型随机变量的分布列为............则称为随机变量的方差,并称其算术平方根为随机变量的标准差.注意:（1）描述了相对于均值的偏离程度,而是上述偏离程度的加权平均,刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小;（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方.4.方差的性质（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且.（2）方差公式的变形:.题型1离散型随机变量的概念例1下列叙述中,是离散型随机变量的为（）A.将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B.某人早晨在车站等出租车的时间C.连续不断地射击,首次命中目标所需要的次数D.袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性例2袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止,所需要的取球次数为随机变量,则的可能取值为（）A.B.C.D.例3甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（）A.甲赢三局B.甲赢一局输两局C.甲、乙平局三次D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次题型2求离散型随机变量的分布列及其性质例4某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为_____.ξ01230.2m0.3例5从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有个红球,则随机变量的概率分布为:_____.例6设随机变量的分布为，则_____.例7随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则_____.123450.10.20.30.1题型3离散型随机变量的均值、方差例8一个袋中装有5个球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个,用表示取出的3个球中最大编号,则_____.例9离散型随机变量的分布为:012450.30.20.20.1若离散型随机变量满足，则下列结果正确的为_____.①；②；③，8；④14.例10（2022·浙江）现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则_____，_____.例11小李参加某项专业资格考试,一共要考3个科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都不合格,则考试不过关;若有1个或2相科目合格,则所有不合格的科目需要进行一次补考,补考都合格的考试过关，否则不过关.已知小李每个科目每次考试合格的概率均为，且每个科目每次考试的结果互不影响.（1）记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为，求的最大值点.（2）以（1）中确定的作为的值.（1）求小李这项资格考试过关的概率；（ii）若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为元，求.题型4决策问题例12（2025北京）某次考试中,只有一道单项选择题考查了某个知识点,甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据,其中甲校学生选择正确的人数为80,乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立.用频率估计概率.（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率；（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名.设为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及的数学期望;（3）假设:如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点,甲校学生选择正确的概率为100%,乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为,判断与的大小.（结论不要求证明）例13（2024新高考II）某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队都由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分，若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为,乙每次投中的概率为,各次投中与否相互独立.（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；（2）假设，（1）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段比赛？（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？例14（2021新高考II）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次