第4讲 一元二次方程及其解法-【暑假预习】新九年级数学（北师大版）（学生版）

第四讲一元二次方程及其解法【学习目标】1．经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。2．会用开平方法解形如(x十m)＝n(n0)的方程．3．理解一元二次方程的解法——配方法．1．一元二次方程的求根公式的推导4．会用求根公式解一元二次方程5．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。【基础知识】（一）、一元二次方程定义含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。（二）、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。二、一元二次方程的解法1、直接开平方法直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。当时，，；当b<0时，方程没有实数根。2、配方法一般步骤：方程两边同时除以a,将二次项系数化为1.将所得方程的常数项移到方程的右边。所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方配方，化成（5）开方。当时，；当b<0时，方程没有实数根。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：4、根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系为：①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根，解答本题的关键是利用判别式判断一元二次方程根的个数．5、因式分解法一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。【考点剖析】考点一：一元二次方程相关定义和性质例1．（1）下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B． C． D．（2）若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a﹣2＝0的常数项为0，则a的值为（）A．0 B．﹣2 C．2 D．3（3）关于的一元二次方程有一个根为零，则的值为_________．考点二：配方法及其应用例2．解下列一元二次方程（1）；（2）；例3．（1）已知，求的值；（2）求证：不论x，y为何实数，的值总是正数；考点三：公式法例4．公式法解方程：（1）；（2）；（3）．考点三：一元二次方程根的判别式例5．（1）当时，关于的一元二次方程的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定（2）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．例6．关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．考点五：因式分解法例7．（1）解方程：．（2）解方程：【真题演练】1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．方程的解是（）A． B．， C．， D．3．方程变形时，下列变形正确的为（）A． B． C． D．4．关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a＝0根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定5．一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为（）A．3 B．﹣3 C．6 D．96．关于的一元二次方程，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定7．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A． B．C． D．8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．9．方程的解是_____．10．已知是方程的根，则代数式的值是______．11．用公式法解一元二次方程，得y＝，请你写出该方程___．12．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则___________．13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．14．解方程：（1）（2）15．用适当的方法解下列方程（1）（2）【过关检测】1．下列方程中是一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．已知关于的方程的一个根是-1，则的值是（）A．-2 B．-1 C．1 D．23．一元二次方程经配方可变形为（）A． B． C． D．4．方程的解为（）A． B． C． D．5．一元二次方程的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根6．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．2021 B．2 C．1 D．07．一元二次方程根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根C．无法判断 D．有两个相等的实数根8．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≤ B．m＞ C．m≤且m≠1 D．m＜且m≠19．关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______．10．已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是_______