第05讲 用配方法求解一元二次方程-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（北师大版）（原卷版）

第05讲用配方法求解一元二次方程【学习目标】1．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；

2．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论。【基础知识】一．解一元二次方程-直接开平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．二．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．三．配方法的应用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．3、配方法的综合应用．【考点剖析】一．解一元二次方程-直接开平方法（共4小题）1．（2021秋•简阳市期中）解方程：2（x﹣1）2＝18．2．（2021•天河区二模）解方程：（x﹣1）2﹣16＝0．3．（2021•饶平县校级模拟）解方程：4（x﹣1）2﹣9＝0．4．（2020秋•孟津县期末）解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．二．解一元二次方程-配方法（共4小题）5．（2021秋•鼓楼区期末）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．6．（2021秋•绵竹市期末）解方程：x2+6x＝1．7．（2021秋•富县月考）用配方法解方程：x2+6x+2＝0．8．（2020秋•白银期末）解方程：x2+2＝2x．三．配方法的应用（共4小题）9．（2021春•奉化区校级期末）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于？10．（2021秋•阳信县月考）已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14＝0，求x+y+z的值．11．（2020春•滨湖区期中）阅读理解：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，∴m＝n＝4．方法应用：（1）a2+4a+b2+4＝0，则a＝，b＝；（2）已知x+y＝8，xy﹣z2﹣4z＝20，求（x+y）z的值．12．（2021春•灞桥区校级月考）阅读材料：把形如x2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．例如：x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3；x2﹣2x+4＝x2﹣4x+4+2x＝（x﹣2）2+2x；x2﹣2x+4＝x2﹣2x+4+x2＝（x﹣2）2+x2；是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，将二次三项式x2﹣6x+16配成完全平方式（直接写出两种形式）；（2）已知a2+b2+c2﹣ab﹣6b﹣6c+21＝0，求a﹣b+c的值；（3）已知2x+y＝6，求当x、y分别取什么值时，x2+2xy+y2﹣3x﹣2y取最小值，最小值是多少？【过关检测】一．选择题（共3小题）1．（2022春•新罗区校级月考）用配方法解方程x2+4x+3＝0时，配方结果正确的是（）A．（x+2）2＝7 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝12．（2022•大渡口区模拟）方程x2﹣1＝0的解为（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．0 D．x＝±13．（2022春•广西月考）一元二次方程x2﹣1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x＝1二．填空题（共5小题）4．（2021秋•中山市期末）一元二次方程（x+1）2＝4的解为．5．（2022春•邹城市期中）方程3x2﹣6＝0的解是．6．（2021秋•金台区期末）方程x2+2x﹣2＝0配方得到（x+m）2＝3，则m＝．7．（2021秋•方城县期末）若方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m﹣4与3m﹣8，则＝．8．（2021秋•德城区校级月考）当a＝时，多项式a2+2a+2有最小值为．三．解答题（共6小题）9．（2021秋•船营区校级月考）用配方法解方程：2x2﹣7x+6＝0．10．（2020秋•东城区校级期中）解一元二次方程：x2﹣6x+2＝0．11．（2020秋•朝阳区校级期中）解方程：2x2＝8．12．（2020秋•高州市月考）解方程：（x﹣3）2＝9．13．（2020秋•嘉定区期中）用配方法解方程：3x2+6x﹣4＝0．14．（2020秋•滑县月考）（阅读材料）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）．②求x2+6x+11的最小值．解：原式＝x2+6x+9+2＝（x+3）