第12讲 相似三角形判定定理的证明与利用相似三角形测高-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（北师大版）（解析版）

第12讲相似三角形判定定理的证明与利用相似三角形测高【学习目标】进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【基础知识】一．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．二．相似三角形的应用（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．三．作图-相似变换（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．【考点剖析】一．相似三角形的判定与性质（共4小题）1．（2022•宁波模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，连结OE，OE交CD于点F．（1）求证：四边形ACED为平行四边形；（2）求的值．【分析】（1）先根据菱形的性质得出AD∥BC，AC⊥BD，再证明DE∥AC，然后根据平行四边形的定义证明即可；（2）根据菱形对角线互相垂直平分得出CO＝AO＝AC，再根据AC∥DE，证出△OFC∽△EFD，最后根据菱形四边相等，平行四边形对边相等，利用平行线分线段成比例定理、等量代换即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AC⊥BD，又∵DE⊥BD，∴DE∥AC，∴四边形ACED为平行四边形．（2）解：∵四边形ABCD为菱形，四边形ACED为平行四边形，∴CO＝AO＝AC＝DE，即，，又∵AC∥DE，∴△OFC∽△EFD，∴，∴，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD，∴．【点评】本题考查菱形的性质、平行四边形的性质和判定、相似三角形的性质和判定等知识，解题关键是熟练掌握和运用以上知识点．2．（2022春•开福区校级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，连结AD，将△ADC沿着AD折叠得到△ADC′，AC′交BC于点E，DC′∥AB．（1）求证：△BEA∽△BAC；（2）若AB＝6，DC＝4，求的值及BC的长．【分析】（1）由折叠的性质可得∠C'＝∠C，CD＝C'D，由平行线的性质可得∠C＝∠BAE，即可得结论；（2）通过证明△ABE∽△C'DE，由相似三角形的性质可求解．【解答】（1）证明：由翻折的性质得，∠C'＝∠C，CD＝C'D，∵DC'∥AB∴∠BAE＝∠C'∴∠C＝∠BAE，∵∠ABE＝∠CBA，∴△BEA∽△BAC；（2）解：∵AB∥C'D，∴△ABE∽△C'DE，∴＝＝，∴；由翻折的性质得，∠C'＝∠C＝∠BAE，∠DAC＝∠DAC'，∴∠BAD＝∠BAE+∠DAC'＝∠C+∠DAC＝∠ADB，∴AB＝BD＝6，∴BC＝10．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，翻折变换，证明三角形的相似是解题的关键．3．（2021秋•泉州期末）如图，AD、BC相交于点P，连接AC、BD，且∠1＝∠2，AC＝3，CP＝2，DP＝1，求BD的长．【分析】先由∠1＝∠2，∠APC＝∠BPD，证明△APC∽△BPD，然后列比例式求出BD的长．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠APC＝∠BPD，∴△APC∽△BPD，∴＝，BD＝＝＝，∴BD的长为．【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，难度不大，是很好的练习题．4．（2021秋•大连期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠ADB．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC＝∠ADB可得出∠ADE＝∠C，结合∠DAE＝∠CAD即可证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD＝AB即可得出AB的长．【解答】（1）证明：∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠ADB＝∠DAE+∠C，∠DEC＝∠ADB，∴∠ADE＝∠C．又∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC，∴＝，即＝，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长．二．相似三角形的应用（共4小题）5．（2021秋•永定区期末）某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组为了估计澧水河某段水域的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝35米，求河的宽度AB为多少米？【分析】先证明△ABC∽△ADE，利用相似比得到＝，然后根据比例的性质求AB的长度．【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，∴AB＝30．答：河的宽度AB为30米．【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABC∽△ADE是解答此题的关键．6．（2021秋•淮阴区期末）利用镜面反射可以计算旗杆的高度，如图，一名同学（用AB表示），站在阳光下，通过镜子C恰好看到旗杆ED的顶端，已知这名同学的身高是1.60米，他到镜子的距离是2米，镜子到旗杆的距离是8米，求旗杆的高．【分析】过点E作镜面的法线EF，由入射角等于反射角可知∠ECF＝∠ACF，进而可得出∠ACB＝∠ECD，由相似三角形的判定定理可得出△ABC∽△EDC，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出ED的长．【解答】解：过点E作镜面的法线FC，由光学原理得∠ECF＝∠ACF∵∠ACB＝90°﹣∠FCA，∠ECD＝90°﹣∠FCE，∴∠ACB＝∠ECD，又∵∠EDC＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△EDC，∴，即＝，解得ED＝6.4（m）．答：旗杆的高为6.4米．【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABC∽△EDC是解答此题的关键．7．（2021秋•江都区校级月考）如图，直立在B处的标杆AB＝2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD＝8m，FB＝1.8m，人高EF＝1.5m，求树高CD．【分析】过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，可证明四边形EFDH为长方形，可得HD的长；可证明△AEG∽△CEH，故可求得CH的长，所以树高CD的长即可知．【解答】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如图所示：由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四边形EFDH为矩形，∴EF＝GB＝DH＝1.5米，EG＝FB＝1.8米，GH＝BD＝8米，∴AG＝AB﹣GB＝2.4﹣1.5＝0.9米，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴∴，解得：CH＝4.9米，∴DC＝CH+DH＝4.9+1.5＝6.4米，即树高6.4米．【点评】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．8．（2020秋•平邑县期末）小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝21米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质求出AB即可．【解答】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∵Rt△AEB∽Rt△CED，∴＝，即＝，解得：AB＝13.44．答：教学楼的高度为13.44m．【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决问题．三．作图-相似变换（共4小题）9．（2021秋•房山区期中）如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均为格点，在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1．【分析】将△A1B1C1的各边都缩小2倍，画出图形即可．【解答】解：如图，△A2B2C2即为所求．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．10．（2019•碑林区校级模拟）在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，利用尺规作图在AC边上求作一点D，使得△ABC∽△BDC．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】直接利用角平分线的作法得出∠ABC的平分线进而得出答案．【解答】解：如图所示：△ABC∽△BDC．【点评】此题是作图﹣相似变换，考查了作角平分线的方法，三角形内角和定理，得出∠A是∠ABC的一半是解本题的关键．11．（2019•碑林区校级三模）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，在△ABC中，D是AC边上一定点，请在AB上找出使得△ABC和△ADE相似的点E．【分析】作∠ADE＝∠B或∠ADE＝∠C可得到确定满足的E点．【解答】解：如图1，如图2，点E为所作．【点评】本题考查了作图﹣相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．12．（2019秋•金台区校级月考）如图，在△ABC中，点P为AC上一点，请利用尺规在BC边上求作一点Q，使得△ABC∽△QPC（保留作图痕迹，不写作法）【分析】利用尺规在点P处作∠CPQ＝∠B，交BC于Q，根据∠C为公共角，即可使得△ABC∽△QPC．【解答】解：如图所示，点Q即为所求．【点评】本题主要考查了利用相似变换进行作图，解决问题的关键是掌握相似三角形的判定．如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．【过关检测】一．选择题（共9小题）1．（2021秋•市中区期末）如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为（）A．7m B．8m C．6m D．9m【分析】先证明△OCD∽△OAB，则根据相似三角形的性质得到＝，然后利用比例的性质求AB即可．【解答】解：∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴＝，即＝，∴AB＝9，即旗杆AB的高为9m．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．2．（2021秋•市北区期末）如图，是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（）A．16cm B．8cm C．24cm D．4cm【分析】正确理解小孔成像的原理，因为AB∥CD所以△ABO∽△CDO，则有＝而AB的值已知，所以可求出CD．【解答】解：∵AB∥CD∴△ABO∽△CDO∴＝又∵AB＝36∴CD＝16．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的应用，相似比等于对应高之比在相似中用得比较广泛．解决本题时还应具有一定的物理知识．3．（2020秋•涵江区期末）为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示测得BD＝120m，DC＝40m，EC＝30m，那么这条河的大致宽度是（）A．90m B．60m C．100m D．120m【分析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算出AB的长即可．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△ABD∽△ECD，∴AB：CE＝BD：CD，即AB：30＝120：40，∴AB＝90，即这条河的大致宽度是90m．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．4．（2022•富阳区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，将线段AB绕点B顺时针方向旋转，使点A落在BD上的点H，E为边BC的中点，连接HE，交AC于点P．若AC＝12，BD＝16，则线段PC的长为（）A．3 B．3 C．4 D．5【分析】过E点作EF⊥BD于F，根据菱形的性质可知OC＝6，OB＝8，根据勾股定理可以得出BC＝10，所以BH＝10，OH＝2，因为E、F是BC和BO的中点，由中位线定理可以得出EF、OF的长，再根据相似三角形的性质求出OP的长度，最后由OC﹣OP＝PC求得结果．【解答】解：过E点作EF⊥BD于F，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF∥AC，∵AC＝12，BD＝16，∴OC＝OA＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，∴BC＝＝10，∴BH＝AB＝BC＝10，∴OH＝BH﹣OB＝2，∵E是BC的中点，EF∥AC，∴EF＝OC＝3，OF＝OB＝4，∴HF＝OH+OF＝6，∵EF∥AC，∴△HOP∽△HFE，∴，∴，∴OP＝1，∴CP＝OC﹣OP＝5，故选：D．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题关键是孰练掌握菱形的相关性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质．5．（2022•沈阳模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF∥BC交AD于点G，EF＝4，BC＝6，则是（）A． B． C．2 D．【分析】根据EF∥BC，得△AEF∽△ABC，利用相似三角形高之比等于相似比可得答案．【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∴，故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形高之比等于相似比是解题的关键．6．（2021秋•西峡县期末）如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C，BC：DC＝1：2，S△ACB＝2，则S△DCE等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根据AB∥DE，得△ABC∽△EDC，则，即可得出答案．【解答】解：∵AB∥DE，∴△ABC∽△EDC，∴，∵S△ACB＝2，∴S△DCE＝8，故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．（2021秋•北仑区期末）如图，B，B1是∠A一边上的任意两点，作BC⊥AC于点C，B1C1⊥AC1于点C1，若BC＝3，AC＝4，则的值是（）A． B． C． D．【分析】利用两个角相等可证明△ABC∽△AB1C1，得，代入计算即可．【解答】解：∵BC⊥AC，B1C1⊥AC1，∴∠BCA＝∠B1C1A＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AB1C1，∴，∵BC＝3，AC＝4，∴＝，故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ABC∽△AB1C1是解题的关键．8．（2021秋•惠安县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A．12 B．7 C．6 D．5【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中（∠C＝90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN＝OM：PF，∵EF＝x，MO＝3，PN＝4，∴OE＝x﹣3，PF＝x﹣4，∴（x﹣3）：4＝3：（x﹣4），∴（x﹣3）（x﹣4）＝12，即x2﹣4x﹣3x+12＝12，∴x＝0（不符合题意，舍去）或x＝7．故选：B．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边．9．（2020•浙江自主招生）如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得．【解答】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝，所以这两个三角形相似；第2个网格中两个三角形对应边的比例＝＝，所以这两个三角形相似；第3个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝＝，所以这两个三角形相似；第4个网格中两个三角形对应边的比例＝＝，所以这两个三角形相似；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键二．填空题（共7小题）10．（2022春•新罗区校级月考）已知AB∥CD，AD与BC相交于点P，AB＝2，CD＝4，AD＝4，则AP等于．【分析】由已知AB∥CD，根据平行线分线段成比例定理可得：AB＝BC代入数值即可求出所求的线段的长度．【解答】解：∵AB∥CD，∴，∴，即，解得：AP＝．故答案为：．【点评】本题考查了平行线的性质，解题关键是掌握根据平行线分线段成比例定理．11．（2022•开福区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的一点，AE交BD于F，若BE＝3，EC＝2，则＝．【分析】根据平行四边形的性质求出AD，证明△DAF∽△BEF，求出相似比即可得出答案．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝BE+CE＝5，∴∠DAF＝∠BEF，∠ADF＝∠EBF，∴△DAF∽△BEF，∴，故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题关键．12．（2022春•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD＝1，AB＝4，则＝．【分析】由DE∥BC，可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质可求出的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的对应边成比例是解题的关键．13．（2021秋•沙河口区期末）如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是．【分析】利用DE∥BC，得△ADE∽△ABC，则，代入即可得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，DE＝1，∴BC＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的基本模型是解题的关键，属于基础题．14．（2022•东海县一模）如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5m的标准视力表制作了一个测试距离为3m的视力表如果标准视力表中“E”的高a是72.7mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是43.62mm．【分析】如图，易得△OAB∽△OCD，利用它们对应边成比例，即可得到题目的结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴，即，解得：b＝43.62．故答案为：43.62．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的对应边成比例的性质解题是解题关键．15．（2021秋•西岗区期末）如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB＝3米，AC＝10米，则旗杆CD的高度是6米．【分析】根据相似三角形的判定推出△ABE∽△ACD，得出比例式，代入求出即可．【解答】解：如图：∵BE⊥AC，CD⊥AC，∴BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∴＝，解得：CD＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，能根据相似三角形的判定定理推出两三角形相似是解此题的关键．16．（2021秋•金牛区期末）已知旗杆高为8m，同时测得旗杆顶端与水平地面上的影子顶端距离是10m，如果此时附近小树在水平地面上的影长为3m，则小树高为4m．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：∵旗杆高为8m，同时测得旗杆顶端与水平地面上的影子顶端距离是10m，∴旗杆的影长为：＝6（m），因为树高：树影长＝旗杆的高：旗杆的影长，故小树的高度＝＝＝4（m），则小树的高有4m．故答案为：4．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．三．解答题（共6小题）17．（2021秋•龙岗区校级期末）在△ABC中，DB＝CE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD•BP＝AE•CP．【分析】过点C作CG∥DP交AB于G，根据平行线分线段成比例定理可得＝，，变形比例式表示DG，得＝，又BD＝EC，得到，化为等积式即可．【解答】解：过点C作CG∥DP交AB于G，∴＝，，∴DG＝，DG＝，∴＝，∵BD＝EC，∴，∴AD•BP＝AE•CP．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例式变形，解决此题的关键是由平行构造比例式．18．（2021秋•高新区月考）如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯AB和CD之间时，自己右边的影子NE的长为3m，左边的影子ME的长为1.5m，又知小亮的身高EF为1.80m，两盏路灯AC之间的距离为12m，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？【分析】首先根据已知条件求证出△FEN∽△BAN，△FEM∽△DCM，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯AB的高度．【解答】解：设AM＝xm，则MC＝（12﹣x）m，再设路灯的高为hm，∵AB⊥aC，EF⊥AC，DC⊥AC，∴△FEN∽△BAN，△FEM∽△DCM，∴＝，＝，即＝，＝，则＝，解得：x＝6.5，故＝，解得：h＝6.6．答：路灯高6.6米．【点评】本题考查相似三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题求解．19．（2021秋•临湘市期末）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．（1）求证：△ADE∽△EFC；（2）若AD＝4，DE＝6，＝2，求EF和FC的值．【分析】（1）由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，由EF∥AB可得出△EFC∽△ABC，再利用相似于同一三角形的两三角形相似可证出△ADE∽△EFC；（2）由△ADE∽△EFC，利用相似三角形的性质可求出EF和FC的值．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC；∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC．（2）解：∵△ADE∽△EFC，∴＝＝，即＝＝，∴EF＝2，FC＝3．【点评】本题考查了相似三角形