甘肃省武威市凉州区河东中学、东河中学2026届九年级下学期中考第一次模拟考试数学试卷（含解析）

甘肃武威市凉州区河东中学、东河中学2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷一、单选题1．关于的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．2．如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（

）A． B． C． D．3．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（

）A． B． C．且 D．且4．如图，中，，将其绕点旋转得到，使点的对应点落在边上，若，则的度数为（

）A． B． C． D．5．如图，，且，则的度数为（

）A． B． C． D．6．在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小明从我国古代5位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶中，随机选取一位介绍其生平事迹，赵爽被选中的概率是（

）A． B． C． D．7．若直线与双曲线在同一直角坐标系中没有交点，那么（

）A． B．， C． D．，8．如图，线段相交于点，，若，，则线段的长为（

）A．3 B．6 C．9 D．129．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与的另一个交点为，连接．若，则的值为（

）A． B．2 C． D．10．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②为任意实数时，；③；④不等式的解集为．其中正确的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题11．因式分解：_________．12．如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____．13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．14．如图，的对角线相交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为_____．15．如图，的半径为4，四边形内接于，，点C是弧的中点，则弧的长为________．16．如图，的边落在x轴上，点C是线段的中点，反比例函数的图像经过点A和点C．若的面积为9，则k的值为_____．17．如图，在正方形中，为对角线上一点，与交于点，当时，则的值为__________．18．如图是一个机器零件的三视图，它的主视图是等腰三角形，则这个零件的表面积为_____．三、解答题19．如图，由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（格点是网格线的交点）．(1)画出关于所在直线对称的；(2)将绕点逆时针旋转得到，画出．20．计算、解方程：(1)计算：．(2)解方程：．21．目前，新能源汽车越来越受消费者青睐，据某市某品牌新能源汽车经销商至月份统计，该品牌新能源汽车月份销售辆，月份销售辆．求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率．22．为丰富同学们的课外生活，某中学组织了书法比赛，由书法老师对每位同学的作品进行打分．校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩x（单位：分）作为样本，将其按如下四个等级分类统计，并绘制条形统计图和扇形统计图，如下（均不完整）：成绩等级标准A．优秀：B．良好：C．合格：D．不合格：根据以上信息，解答下列各题：(1)抽取的学生人数为________人，并补全条形统计图；(2)D等级所在扇形的圆心角度数为________°，抽取的学生成绩的中位数落在________等级；(3)校学生会计划奖励A等级学生每人80元的书法用具，奖励B等级学生每人50元的书法用具．已知该校有600人参与了书法比赛，请你估计购买奖品所需的费用为多少元．23．、是的直径，，，垂足为，点是弧上一动点（不与重合），与交于点．(1)求的度数；(2)若点在弧的中点处，求证：．24．如图，直线与反比例函数的图象交于点．(1)求的值和反比例函数的表达式．(2)直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求直线向下平移的距离．25．如图，已知的直径为，平分，交于点，过点作，垂足为．(1)判断与的位置关系，并给出证明．(2)若，求的半径．26．如图，在正方形的边上取点，边的延长线上取点，使得．(1)求证：；(2)连接与交于点，若，，求的长．27．如图，已知抛物线与x轴交于点和点B两点，与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接．①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；②如图2，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求四边形的周长．

参考答案题号12345678910答案ABCACACCBA1．A【详解】解：解不等式，移项得，系数化为1得；解不等式，去分母得，移项得，∴原不等式组的解集为，数轴表示如下所示：．2．B【详解】解：在中，，，，，是斜边的中点，．3．C【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，且，∴解得，且．4．A【详解】解：∵，，绕点A旋转得到，使点落在边上，∴，，∴．5．C【详解】解：连接和∵，∴∵，∴，∴，∵，∴．6．A【详解】解：∵从5位数学家中随机选取一位，所有等可能的结果共有5种，其中赵爽被选中的结果只有1种，∴赵爽被选中的概率为．7．C【详解】解：联立，则，整理得：，直线与双曲线在同一直角坐标系中没有交点，方程无解，即，．8．C【详解】解：∵∴∴∵∴，即∴．9．B【详解】解：∵，，∴，由作图知：，∴，∴．10．A【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，抛物线对称轴为，抛物线与轴交于正半轴，∴，对称轴为，常数项，∴，∴；∴，①正确；∵抛物线顶点坐标为，即函数的最小值为，且抛物线开口向上，∴对任意实数，都有，②正确；∵∴，③正确；由题意得，，∴二次函数值小于一次函数的值，∵二次函数过点和，这两个点也在直线上，∴两个函数的交点为和，由图可得，在两个交点之间，抛物线在直线的下方，∴不等式成立的范围是，④正确．综上所述，正确的个数有4个．11．【详解】解：．12．24【详解】解：菱形的对角线，相交于点，、，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，在中，，，，故答案为：24．13．【详解】解：方程整理为一般式得，∵方程有两个相等的实数根，∴，解得．14．【详解】解：∵点A的坐标为，，∴C点与A点关于原点对称，∴．15．【详解】解：连接，如图∵四边形内接于，，∴，∵点C是弧的中点，∴所对的圆周角为，∴，∴弧的长为．16．6【详解】解：过A作于D，∵点A在反比例函数的图象上，∴设，则有，∵的面积为9，∴，∴，∵点C是的中点，∴，∵点C在反比例函数的图象上，∴，∴∴，∴．17．【详解】解：如图，过点作，垂足分别为G、H，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，四边形是矩形，∴四边形是正方形，∴，；∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴或（舍去），∵，∴，∴．18．544【详解】解：如图所示：结合一个机器零件的三视图，得出这个几何体是倒放的三棱柱，结合左视图得出主视图的等腰三角形的高是，则，（等腰三角形的三线合一）∴，则，故答案为：544．19．(1)见解析(2)见解析【详解】（1）解：过点作关于直线的对称点，连接和，如图所示，即为所求；（2）解：先画出点绕点逆时针旋转的对应点，再画出点绕点逆时针旋转的对应点，再连接，和，20．(1)(2)【详解】（1）解：；（2）解：，去分母得：，去括号得：，解得：，检验：把代入得：，∴是原方程的解．21．该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为【详解】解：设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为，依题意得：，解得：，不符合题意，舍去．答：该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为．22．(1)60，图见解析(2)36，B(3)估计购买奖品所需的费用为26400元．【详解】（1）解：（人）答：抽取的学生人数为人．A等级人数：（人），D等级人数：（人），补全条形统计图如答图．（2）解：，B．D等级所在扇形的圆心角度数为，一共抽取了人，中位数是第、人的平均成绩，将参赛同学的成绩按从小到大的顺序排列，A等级有人，B等级有人，（人），所以排在第、的两人的成绩均处于B等级，所以抽取的学生成绩的中位数落在B等级．（3）解：（人），（人）．（元）．答：估计购买奖品所需的费用为元．23．(1)；(2)见解析．【详解】（1）解：如图，连接，∵是的直径，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）证明：如图，连接，，∵点在弧的中点处，∴，∴，由（）可知：，∴，∵，，∴，∵是的一个外角，∴，∴，∴．24．(1)的值为；反比例函数的表达式为(2)【详解】（1）解：把代入中，得，解得，故点的坐标是；把代入，得，故反比例函数的表达式为．（2）解：设直线向下平移了个单位长度，则平移后的直线表达式为，∵点在反比例函数的图象上，令，解得，∴点的坐标为，将代入直线，可得，解得，∴直线向下平移的距离为．25．(1)见解析(2)4.5【详解】（1）证明：连接∵平分∴又∵∴∴∴又∵∴∴∵为半径∴直线是的切线（2）解：∵为的直径∴∴又∵∴∴∵∴，即的半径为4.5．26．(1)见解析(2)5【详解】（1）证明：在正方形中，，，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，解得：，在正方形中，，，∴，，，∴，∴，解得：，∴．27．(1)(2)①；②或【详解】（1）解：把点，点代入得，，解得，∴抛物线的解析式为．（2）解：如图，过点C作于点Q，∵点，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，设点，则，∵轴，∴，∴四边形为矩形，∴，，∵，∴，解得，（舍去），∴点P的坐标为．如图，过点作轴，交轴于点，