2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第三册+第七章++章末总结

章末总结知识网络·构建概括真题体验·素养升级题型一条件概率[例1]

(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为(

)A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4A题型二离散型随机变量的分布列及其数学期望与方差[例2]

(2022·北京卷)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;丙:9.85,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;解:(1)设甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖为事件A.因为比赛成绩达到9.50

m以上(含9.50

m)的同学将获得优秀奖,甲以往的比赛成绩中达到9.50

m以上(含9.50

m)的有9.80

m,9.70

m,9.55

m,9.54

m,共4个,所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率P(A)=0.4.解:(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.由(1)知,甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率P(A)=0.4.设乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖分别为事件B,C,则P(B)=0.5,P(C)=0.5,则P(X=0)=(1-0.4)×(1-0.5)×(1-0.5)=0.15,P(X=1)=0.4×(1-0.5)×(1-0.5)+(1-0.4)×0.5×(1-0.5)+(1-0.4)×(1-0.5)×0.5=0.4,P(X=2)=0.4×0.5×(1-0.5)+0.4×(1-0.5)×0.5+(1-0.4)×0.5×0.5=0.35,P(X=3)=0.4×0.5×0.5=0.1,所以E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4.(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望E(X);(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)解:(3)在校运动会铅球比赛中,按以往比赛成绩的平均数、方差来看,甲获得冠军的概率估计值最大;按以往比赛的最好成绩来看,丙获得冠军的概率估计值最大.求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义,写出ξ可能的全部取值.(2)求ξ取每个值的概率.(3)写出ξ的分布列.(4)由均值的定义求E(ξ).(5)由方差的定义求D(ξ).题组训练某学校组织知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列.解:(1)由题意得,X的所有可能取值为0,20,100,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8×0.6=0.48,所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.解:(2)当小明先回答A类问题时,由(1)可得E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.当小明先回答B类问题时,记Y为小明的累计得分,则Y的所有可能取值为0,80,100,P(Y=0)=1-0.6=0.4,P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,所以Y的分布列为E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.因为57.6>54.4,即E(Y)>E(X),所以为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答B类问题.Y080100P0.40.120.48题型三二项分布与超几何分布(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.(1)超几何分布的两个特点:①超几何分布是不放回抽样问题;②随机变量为抽到的某类个体的个数.(2)超几何分布的应用:超几何分布属于古典概型,主要应用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型.(3)二项分布满足的条件:①每次试验中,事件发生的概率是相同的;②各次试验中的事件是相互独立的;③每次试验只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生;④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.(4)如果ξ～B(n,p),则用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.题组训练1.(2018·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p等于(

)A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3B2.(2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?解:(1)由已知得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为

3∶2∶2.由于采用分层抽样的方法从中抽取

7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.题型四正态分布[例4]为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望.(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性.解:(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002

6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有

0.040

8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95解决正态分布问题的三个关键点若随机变量ξ～N(μ,σ2),则(1)对称轴x=μ.(2)标准差σ.(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值,由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.题组训练从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:解:(2)①由(1)知,Z～N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.682

6.解:②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682

6.依题意知X～B(100,0.682

6),所以E(X)=100×0.682

6=68.26.模拟演练题型一条件概率1.已知n是一个三位正整数,若n的十位数字大于个位数字,百位数字大于十位数字,则称n为三位递增数.已知a,b,c∈{0,1,2,3,4},设事件A为“由a,b,c组成的三位正整数”,事件B为“由a,b,c组成的三位正整数为递增数”,则P(B|A)等于(

)B2.在5道试题中有2道代数题和3道几何题,每次从中抽出1道题,抽出的题不再放回,则在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为(

)D题型二离散型随机变量的分布列53.某服装店每年春季以每件15元的价格购入M型号童裤若干,并开始以每件30元的价格出售,若前2个月内所购进的M型号童裤没有售完,则服装店对没卖出的M型号童裤将以每件10元的价格低价处理(根据经验,1个月内完全能够把M型号童裤低价处理完毕,且处理完毕后,该季度不再购进M型号童裤).该服装店统计了过去18年中每年该季度M型号童裤在前2个月内的销售量,制成如下表格(注:视频率为概率).前2个月内的销售量/件304050频数/年684(1)若今年该季度服装店购进M型号童裤40件,依据统计的需求量试求服装店该季度销售M型号童裤获取利润X的分布列和期望;(结果保留一位小数)所以X的分布列为(2)依据统计的需求量,求服装店每年该季度在购进多少件M型号童裤时所获得的平均利润最大.题型三二项分布与超几何分布1.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率;(2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为X,求随机变量X的分布列和均值.解:(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3,则X～B(3,0.3).所以P(X=0)=(1-0.3)3=0.343,P(X=1)=3×(1-0.3)2×0.3=0.441,P(X=2)=3×0.32×0.7=0.189,P(X=3)=0.33=0.027.X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027于是,E(X)=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9.(或E(X)=np=3×0.3=0.9)2.随着网络营销和电子商务的兴起,人们的购物方式更具多样化,某调查机构随机抽取10名购物者进行采访,5名男性购物者中有3名倾向于选择网购,2名倾向于选择实体店,5名女性购物者中有2名倾向于选择网购,3名倾向于选择实体店.(1)若从这10名购物者中随机抽取2名,其中男、女各1名,求至少1名倾向于选择实体店的概率;(2)若从这10名购物者中随机抽取3名,设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数,求随机变量X的分布列及数学期望.题型四正态分布1.已知随机变