二项式定理与杨辉三角-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

人教B版(2019)选择性必修第二册3.3二项式定理与杨辉三角第三章排列、组合与二项式定理学习目标理解二项式定理及二项展开式的通项公式，体现数学抽象能力（重点）会运用二项式系数的性质及杨辉三角解决问题，体现数学计算能力（难点）新课导入新课学习尝试与发现：从(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)出发，观察(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3中右边各项是如何形成的，由此总结出一般规律.注意到(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)①，而展开式中的任何一项都是在右边3个括号中各取一个字母相乘得到的（例如，第一个括号取a，第二个取b，第三个取a，则得到a2b），因此展开式中每一项都一定是3次项，即展开式中只能含有a3，a2b，ab2，b3新课学习尝试与发现：从(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)出发，观察(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3中右边各项是如何形成的，由此总结出一般规律.类似地，a3可以看成①式右边的3个括号中取0个b得到的结果，而b3可以看成①式右边的3个括号中取3个b得到的结果，因此新课学习二项式定理的概念新课学习例1：写出(2−x)5的展开式.在二项式定理中令a=2，b=−x，n=5，可得结论：展开式中某一项的系数与二项式系数，一般情况下并不相等.新课学习要使此项含x3，必须有9−2k=3，从而有k=3，新课学习要得到常数项，必须有3−k=0，从而有k=3，新课学习尝试与发现：在二项式定理中，分别令a，b为以下特殊值，写出所得到的等式：(1)a=b=1；(2)a=1，b=−1.新课学习例4：已知(x2−1)n的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求展开式中含x6的项.依题意可知2n=1024，因此n=10.从而可知展开式的通项为要使此项含x6，必须有20−2k=6，从而有k=7，新课学习杨辉三角的介绍：因为(a+b)0=1，所以可以把n=0对应的二项式系数看成是1.把n=0，1，2，3，4，5，6对应的二项式系数逐个写出，并排成数表的形式如下.新课学习我国古代数学家贾宪（北宋人）在1050年前后就给出了类似的数表，并利用数表进行高次开方运算，如图所示，这一成果在南宋数学家杨辉著的《详解九章算术》中得到摘录.因此，这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”.西方文献中，一般称其为“帕斯卡三角”，这些文献认为类似的数表是数学家帕斯卡于1654年发现的.新课学习杨辉三角的性质1.每一行都是对称的，且两端的数都是1；2.从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和；3.对于给定的n来说，其二项式系数满足中间大、两边小；新课学习思考一下：观察杨辉三角，还可以发现对于给定的

n来说，其二项式系数满足中间大、两边小的特点.这一结论是否具有普遍性呢？新课学习例5：求证：9998−1能被100整除.因为9998−1=(100−1)98−1，由二项式定理可知注意到上述右边的展开式中，前面98项都是100的倍数，最后一项为1，由此可知9998−1能被100整除.新课学习例6：当n是正整数且x>0时，求证：(1+x)n≥1+nx.由二项式定理可知因为x>0，所以上式右边的项都是正数，从而可知(1+x)n≥1+nx.新课学习上述例题结论的应用：例6的结论可以用在近似计算中.例如，假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为1.2%，那么6年后该地区的人口应为100(1+1.2%)6，直接计算这个数并不容易，但是利用例6的结果可知100(1+1.2%)6≥100(1+6×1.2%)=107.2，注意到(1.2%)n在n≥2时都是很小的数，因此，如果我们认为100(1+1.2%)6≈107.2的话，近似程度应该是比较好的.实际上，100(1+1.2%)6保留6位有效数字的近似值是10