直线与圆锥曲线的位置关系-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

人教B版(2019)选择性必修第一册2.8直线与圆锥曲线的位置关系第二章平面解析几何学习目标理解直线与圆锥曲线的位置关系，体现逻辑推理能力（重点）会求与圆锥曲线有关的弦长、最值、定点、范围等问题，体现逻辑推理能力（重难点）新课导入通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，而且这些问题都可以转化为方程组的解的题．类似地，因为平面直角坐标系中的点在椭圆、双曲线、抛物线上的充要条件是点的坐标满足对应的方程，所以我们同样可以通过方程组的解的问题来探讨直线与这些曲线的位置关系的问题．新课学习联立直线与椭圆的方程，可得方程组解方程组可得新课学习联立直线l的方程与椭圆C的方程得方程组消去y，整理得9x2+8mx+2m2−4=0，①因为①的判别式为∆=(8m)2−4×9×(2m2−4)=−8m2+144新课学习新课学习直线与椭圆的位置关系当直线与椭圆有两个公共点时，称直线与椭圆相交；当直线与椭圆有且只有一个公共点时，称直线与椭圆相切；当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆相离.如图所示的图中，l1与椭圆相交，l2与椭圆相切，l3与椭圆相离.新课学习例3：判断直线l:y=x+1与双曲线C:x2−y2=1是否有公共点.如果有，求出公共点的坐标.联立直线与双曲线的方程，可得方程组消去y，可得x2−(x+1)2=1，由此可解得x=−1.此时，y=0.因此直线与双曲线有一个公共点，且公共点的坐标为(-1,0)如图所示是例3中的直线与双曲线，图中还作出了双曲线的渐近线.从图中可以看出，直线l与双曲线C相交于双曲线的左顶点.此时，虽然直线l与双曲线C

只有一个公共点，但并不给人以“相切”的形象.新课学习直线与圆锥曲线相切的概念一般地，给定直线l与圆锥曲线C（圆、椭圆、双曲线、抛物线），如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解（即有两个相等的实数解），则称直线与圆锥曲线相切.新课学习注意：由定义可知，例3中的直线与双曲线不相切，而且可以看出，直线与圆、直线与椭圆只有一个公共点是直线与它们相切的充要条件；但直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点不是直线与它们相切的充分条件.新课学习拓展：直线与圆锥曲线相切的切线方程：新课学习例4：已知点A(0,2)和抛物线C:y2=6x，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程.当直线l的斜率不存在时，由直线l过点A(0,2)可知，直线l就是y轴，其方程为x=0.这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，所以直线x=0与抛物线C相切.如果直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=kx+2.新课学习例4：已知点A(0,2)和抛物线C:y2=6x，求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程.为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解，必须有k≠0且(−6)2−4×12k=0，综上可知，直线l的方程为x=0或3x−4y+8=0.新课学习圆锥曲线的弦长一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长．简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段．新课学习例5：已知直线l:y=x−2与抛物线C:x2=−6y相交于A，B两点，且O为坐标原点.(1)求弦长|AB|；设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|AB|2=(x2−x1)2+(y2−y1)2.因为A(x1,y1)，B(x2,y2)都是直线y=x−2上的点，所以第二式减去第一式可得y2−y1=x2−x1，从而|AB|2=(x2−x1)2+(x2−x1)2=2(x2−x1)2.新课学习例5：已知直线l:y=x−2与抛物线C:x2=−6y相交于A，B两点，且O为坐标原点.(1)求弦长|AB|；所以(x2−x1)2=(x2+x1)2−4x1x2=(−6)2−4×(−12)=84，因此|AB|2=2×84=168，新课学习例5：已知直线l:y=x−2与抛物线C:x2=−6y相交于A，B两点，且O为坐标原点.又因为由(1)可知x1+x2=-6，x1x2=-12，新课学习拓展：求弦长的步骤：设点联立公式代入设交点为A(x1,y1)，B(x1,y1)得到关于x的一元二次方程若方程形式简单，可直接求出交点坐标，否则，根据两根和与积的公式得到选择适当的弦