六年级上册数学第五单元知识点北师大版

同学们，我们已经进入了小学阶段数学学习中较为关键的时期。第五单元的内容，主要围绕“分数除法”展开，这部分知识不仅是对前面分数乘法的延伸，也是后续学习更复杂数学知识的基础。理解分数除法的意义、掌握其计算方法并能灵活运用于解决实际问题，是本单元的核心目标。下面，我们就一起来系统梳理本单元的重点知识。一、分数除法的意义谈到分数除法，我们首先要理解它的意义。分数除法的意义与整数除法的意义是完全相同的，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。比如说，我们知道`2/3×4=8/3`，如果现在告诉我们积是`8/3`，其中一个因数是`2/3`，求另一个因数，就可以用除法计算：`8/3÷2/3=?`；同样，如果已知积是`8/3`，其中一个因数是4，求另一个因数，就是`8/3÷4=?`。二、分数除法的计算法则理解了意义，接下来就是掌握如何进行计算。分数除法有其特定的计算法则，我们需要分情况来学习。（一）分数除以整数当我们计算一个分数除以一个不为零的整数时，计算方法是：用这个分数乘这个整数的倒数。例如：计算`3/4÷2`。按照法则，就等于`3/4×1/2`，然后分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，得到`3/8`。这里需要思考一下：为什么可以这样算？我们可以把`3/4÷2`理解为“把3/4平均分成2份，求每份是多少”，这和求“3/4的1/2是多少”是同一个意思，所以用乘法计算。温馨提示：如果被除数的分子正好是除数的倍数，我们也可以直接用分子除以除数，分母不变。比如`4/5÷2`，可以直接算`(4÷2)/5=2/5`，结果与`4/5×1/2`是一致的。但第一种方法具有普遍性。（二）一个数除以分数这是本单元的重点，也是一个难点。一个数（可以是整数，也可以是分数）除以一个不为零的分数，等于乘这个分数的倒数。1.整数除以分数：例如：计算`5÷2/3`。根据法则，它等于`5×3/2`，结果是`15/2`。我们可以这样想：`2/3`意味着把一个整体平均分成3份，取其中的2份。那么5里面有多少个这样的2份呢？我们可以先求5里面有多少个1/3（即`5×3`），再除以2，就得到有多少个2/3，所以`5÷2/3=5×3÷2=5×3/2`。2.分数除以分数：例如：计算`2/5÷3/4`。根据法则，它等于`2/5×4/3`，结果是`8/15`。这个过程的算理与整数除以分数类似，都是将除法转化为我们熟悉的乘法来进行计算。温馨提示：*在计算过程中，能约分的要先约分，这样可以使计算更加简便。*一定要注意是“乘除数的倒数”，而不是被除数的倒数，也不是两个数的倒数相乘。三、分数混合运算分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序是相同的，这体现了数学知识的连贯性。1.同级运算：在没有括号的算式里，如果只有乘除法或者只有加减法，要从左往右依次计算。2.不同级运算：在没有括号的算式里，如果既有乘除法又有加减法，要先算乘除法，后算加减法。3.有括号的运算：在有括号的算式里，要先算括号里面的，再算括号外面的。括号里面的运算，同样遵循上述运算顺序。例如：计算`1/2÷(3/4×8/9)`，就需要先算括号里的乘法`3/4×8/9=2/3`，再算括号外的除法`1/2÷2/3=1/2×3/2=3/4`。温馨提示：整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法同样适用。在进行分数混合运算时，巧妙运用这些运算定律，可以使计算更简便。比如`(1/4+1/3)×12`，就可以用乘法分配律，得到`1/4×12+1/3×12=3+4=7`。四、运用分数除法解决实际问题学习数学的最终目的是为了解决生活中的实际问题。本单元涉及的实际问题主要有以下几类：（一）“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题这是分数除法应用中最基本也是最重要的类型。解题关键：找准题目中的单位“1”，并且明确单位“1”是未知的，这是我们判断用除法解答的重要依据。解题方法：1.方程法：设单位“1”的量为未知数`x`，根据“单位‘1’的量×几分之几=已知量”列出方程，再求解。2.算术法：直接用“已知量÷对应分率=单位‘1’的量”。例如：小明看一本故事书，已经看了60页，正好是这本书总页数的3/5，这本书一共有多少页？*分析：把这本书的总页数看作单位“1”，单位“1”未知，已知总页数的3/5是60页。*方程法：设这本书一共有`x`页。`3/5x=60`，解得`x=60÷3/5=60×5/3=100`。*算术法：`60÷3/5=60×5/3=100`（页）。（二）稍复杂的分数除法实际问题这类问题中，已知量所对应的分率往往不是直接给出的，需要我们通过分析题目中的数量关系，先求出已知量对应的分率，再求单位“1”的量。例如：学校图书馆有故事书120本，科技书比故事书少1/4，科技书有多少本？（此为分数乘法问题，单位“1”已知）如果题目改为：学校图书馆有科技书90本，比故事书少1/4，故事书有多少本？（此为分数除法问题，单位“1”未知）*分析：科技书比故事书少1/4，是把故事书的本数看作单位“1”，那么科技书的本数就是故事书的`1-1/4=3/4`。已知故事书的3/4是90本，求故事书的本数。*方程法：设故事书有`x`本。`(1-1/4)x=90`或`x-1/4x=90`，解得`x=90÷3/4=120`。*算术法：`90÷(1-1/4)=90÷3/4=120`（本）。温馨提示：*解决分数应用题，关键在于找准单位“1”和分析数量关系。可以通过画线段图等方式帮助理解题意。*要区分清楚是“已知单位‘1’，求它的几分之几是多少”（用乘法），还是“已知单位‘1’的几分之几是多少，求单位‘1’”（用除法或方程）。总结与建议分数除法的学习，核心在于理解“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”这一算理，并能熟练运用它进行计算。在解决实际问题时，要仔细审题，找准关键句，确定单位“1”，分析已知量和未知量之间的关系，选择合适的方