山东省日照实验高级中学2023-2024学年高二上学期第一次阶段性考试数学试题

2023-2024学年山东省日照实验高级中学高二（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本题共8小题、每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x﹣2y+1＝0的一个方向向量是（）A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）2．已知复数，则的虚部为（）A．2 B．﹣2i C．﹣2 D．2i3．两条不同直线l1，l2的方向向量分别为，则这两条直线（）A．平行 B．垂直 C．异面 D．相交或异面4．同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线（）A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直5．PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（）A． B． C． D．6．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．27．直线l过点P（﹣1，2）且与以点M（﹣3，﹣2）、N（1，0）为端点的线段恒相交，则l的斜率取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0）∪（0，2] C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1的中心，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．已知z1，z2均为复数，则下列结论中正确的有（）A．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 B．若，则z1+z2是实数 C． D．若z1+z2＝0，则是实数（多选）10．已知平面α的法向量为，点A（x2，2x+1，8），点P（0，1，2），若平面α，则x的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．﹣6（多选）11．下列说法正确的是（）A．直线的倾斜角为120° B．经过点P（2，1），且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为x﹣y﹣1＝0 C．直线l：mx+y+2﹣m＝0恒过定点（1，﹣2） D．已知直线l过点（2，1），且与x，y轴正半轴交于点A、B两点，则△AOB面积的最小值为4（多选）12．若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列结论正确的有（）A．AD与BC所成的角为45° B．AC与BD所成的角为90° C．BC与平面ACD所成角的正弦值为 D．平面ABC与平面BCD所成角的正切但是三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设z＝，则|z|＝．14．过点P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为．15．在四面体P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点，且点M到其他三个平面的距离分别是2，3，6，则点M到顶点P的距离是．16．已知正四面体ABCD的棱长为6，P是四面体ABCD外接球的球面上任意一点，则的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．①；②；③（i是虚数单位）．（Ⅰ）从三个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据三个式子的结构特征及（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论．18．（1）如果直线l经过点P（1，3），且直线l的法向量为，求直线l的方程；（2）已知直线ax+2y﹣1＝0与直线2x﹣3y+5＝0垂直，求a的值．19．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，求BD1与AC的夹角的余弦值．20．已知i是虚数单位，复数z满足|z﹣2|＝2．（1）求|z+1﹣4i|的最大值；（2）若为实数，求复数z．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AB∥CD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝DC＝1，E为PB上一点．（1）若E为PB中点，求证：CE∥平面PAD；（2）若点E不与P和B重合，且二面角E﹣AC﹣P的余弦值为，求AE与平面ABCD所成角的正切值．22．筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形ABCD是一个筝形，AB＝