专题05 二次函数中的特殊三角形存在性问题（专项训练）（原卷版）

专题05二次函数中的特殊三角形存在性问题常考题型·精准突破题型1二次函数中的等腰三角形存在性问题（难）题型2二次函数中的直角三角形存在性问题（难）题型3二次函数中的等腰直角三角形存在性问题（难）综合攻坚·知能拔高常考题型·精准突破◆题型1二次函数中的等腰三角形存在性问题1．（2026·安徽宿州·三模）已知抛物线（a为常数），与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．(1)当时，求抛物线的解析式及点A，B的坐标；(2)已知点在该抛物线上．（i）若，求a的值；（ii）当时，设抛物线的顶点为P，点Q在抛物线的对称轴上，若是等腰三角形，求点Q的坐标．2．（25-26九年级下·河南周口·期中）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，D是其对称轴与x轴的交点．(1)求抛物线的表达式．(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得的值最小，求点M的坐标．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由．3．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．◆题型2二次函数中的直角三角形存在性问题4．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，已知抛物线经过，两点．(1)求的值．(2)若点为抛物线上一动点，的面积为8时，求点的坐标．(3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标．5．（25-26九年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为．(1)若直线经过，两点，求抛物线和直线的解析式；(2)在直线上方的抛物线上找一点，求点的坐标，使面积最大．(3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，是否存在点，使为直角三角形，直接写出点的坐标．6．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值；(3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．◆题型3二次函数中的等腰直角三角形存在性问题7．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标；(3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标．8．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数的图象与直线交于点和点，对称轴是直线，过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m．(1)求抛物线的函数关系式；(2)当点M在直线上方时，若，求m的值；(3)设N是直线上的点，是否存在点M和点N的位置，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求所有m的值；若不存在，请说明理由．9．（25-26九年级下·黑龙江绥化·开学考试）综合与探究如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线经过B、C两点，若点，，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）．(1)求抛物线的函数解析式；(2)过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求P点坐标；(3)若点F是直线上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．综合攻坚·知能拔高1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C．点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F．(1)求抛物线和直线的表达式；(2)求线段的最大值；(3)如图2，是否存在以点C，E，F为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，已知抛物线经过两点，与轴交于点，连接，．是线段上一动点，过点作轴，交抛物线于点，交线段于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当时，求出点和点的坐标；(3)连接，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．3．（25-26九年级上·四川德阳·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、．(1)求抛物线的解析式；(2)求出当的面积为3时，的值；(3)在轴上有一个点，恰好是等腰三角形，请直接写出点的坐标．4．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，、两点坐标为、．(1)求二次函数的表达式；(2)点在直线下方的抛物线上，连结、，求的最大面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点的坐标，若不存在请说明理由．5．（25-26九年级上·山东济南·期末）综合与探究，如图，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，．(1)求此抛物线的解析式；(2)已知在x轴上存在一点D，使得的周长最小，则点D的坐标为；(3)若点P在直线上，直线将的面积分成两部分，求点P坐标．(4)点Q在直线上，在抛物线上是否存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由．6．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，点，点，点P是线段上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)求面积的最大值；(3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．7．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为．(1)求抛物线的解析式和点的坐标；(2)点E在抛物线上，且在直线上方的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．8．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接和，当的面积为时，求点的横坐标；(3)若M为抛物线对称轴上一动点，，使得为直角三角形，请求出点M的坐标．9．（25-26九年级上·广东汕头·期末）已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，过点作轴交抛物线于点，的角平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当为何值时？四边形面积最大，并求出其最大值；(3)如图2，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点使为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．10．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点．设点为抛物线上的一点，其横坐标为．(1)直接写出坐标：点_______