上海市2026届九年级中考模拟预测练习数学试卷（含解析）

2026年上海市中考数学模拟预测练习卷一、单选题1．下列运算结果正确的是（

）A． B． C． D．2．为了解某校九年级学生中长跑的成绩情况，随机抽取名学生的中长跑成绩（满分分）绘制成表：成绩分人数人关于中长跑成绩的统计量中，一定不随，的变化而变化的是（）A．众数，中位数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数3．下列说法中不正确的是（

）A．如果是一个实数，是向量，那么与的方向相同：B．如果与非零平行，那么存在唯一的实数，使：C．如果是单位向量，那么；D．如果是实数，那么．4．如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（）A．8 B．9 C．10 D．115．如图，已知与都是等边三角形，点、、在同一直线上，连结交于点，连结分别与、交于点、，下列结论不一定成立的是（

）

A． B． C． D．6．在中，，，，以点，点，点为圆心的的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（

）A．点在上 B．与内切C．与有两个公共点 D．直线与相切二、填空题7．在函数中，自变量的取值范围是______．8．分解因式：______．9．已知不等式组的解集是则的值是

________________．10．方程的根是_______．11．方程有两个实数根，则实数k的取值范围是_______．12．下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与的相同；乙：顶点在轴上；丙：对称轴是请写出这个二次函数解析式的一般式：_________．13．若一次函数的图象经过点和，则y随x的增大而______．14．一个不透明的口袋中有2个红球，1个黄球，个白球（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，摸出白球的概率大于，写出一个符合条件的的值为__________．15．如图1是武汉某地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机物体的最大宽度为_________．（参考数据：）16．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数…，以此类推，则______．17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，是函数图象上的两点，过点作轴的垂线与射线交于点若，则的值为______．

18．如图，在矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为______．三、解答题19．计算：．20．解方程组．21．如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：

第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为；第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为；第三步：测得小河宽BC为33米．已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度．（参考数据：，，，，，）22．如图，平行四边形中，已知，是边的中点，连接．，垂足在边上，连接并延长，交延长线于点．(1)求证：；(2)求证：．23．如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．

(1)求证：．(2)若，求的半径．24．感知定义：如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．尝试运用(1)若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为，请直接写出它的两个锐角的度数；(2)如图1，在钝角三角形中，的面积为15，求证：是“类直角三角形”．(3)如图2，在中，，在边上是否存在点D，使得是“类直角三角形”？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且．(1)求抛物线（）的表达式；(2)点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．参考答案1．B解：选项，，故错误，不符合题意；选项，，故正确，符合题意；选项，，故错误，不符合题意；选项，，故错误，不符合题意；故选：．2．A解：由题目已知，随机抽取的是名学生的中长跑成绩，根据图表可知：，，一定不随的变化而变化的是众数，中位数，故选A．3．A解：A、如果是一个实数，是向量，那么当时，与的方向相反，原说法错误，符合题意；B、如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使，原说法正确，不符合题意；C、如果是单位向量，那么，原说法正确，不符合题意；D、如果是实数，那么，原说法正确，不符合题意；故选：A．4．D解：设，∵BD⊥y轴∴S△BCD==5，解得：故选：D．5．C解：∵与都是等边三角形，∴，∴，∴，即，且相似比为1，∵，∴，∴，，∴不一定成立；故选C．6．D解：∵，∴，∵，的半径为5，∴点在上，选项A正确，不符合题意；∵的半径分别为5、10，且，∴与内切，选项B正确，不符合题意；∵，∴与相交，有两个公共点，选项C正确，不符合题意；如下图，过点作于点，∵，∴，解得，∵，∴直线与相交，选项D错误，符合题意．故选：D．7．解：函数中，，解得，故答案为：．8．解：．故答案为：．9．解：，由①得，x＜2a－1，由②得，x＞1＋b，∴1＋b＜x＜2a－1，∵不等式组的解集为2＜x＜3，∴1＋b＝2，2a－1＝3，解得a＝2，b＝1，∴ab＝2×1＝2．故答案为：2．10．【详解】方程两边平方得：∴，∵∴∴不符合题意，故舍去∴原方程的根为故答案为：．11．，且【详解】一元二次方程有两个实数根，则，且解得，，且.故答案为：，且．12．解：设函数解析式为，根据题意得，，二次函数解析式是：，故答案为：．13．减小解：根据题意，把代入得：，解得．，随的增大而减小．故答案为：减小．14．4（答案不唯一）解：由题意可得：，是正整数，解得：，则取；故答案为：4（答案不唯一）．15．解：如图2，作于，于，∴，，∴通过闸机物体的最大宽度为（），故答案为：．16．解：，，，，，∴这列数以，2，三个数依次不断循环出现；，，，，∴．故答案为：．17．解：如图，作轴于点，设直线与轴交于点，

点，，，点，，，∵轴，轴，∴，∴，∴，∴，，∴点，，点A，是函数图象上的两点，∴，解得，∴故答案为：．18．或解：如图，连接，过作于点，作于点，延长交于点，∴，∵四边形是矩形，∴，，∴四边形是矩形，∴，，，∵点的对应点落在的角平分线上，∴，，∴，∴，∴四边形是菱形，∵，∴四边形是正方形，设，则，，由折叠性质可知：，，∵，∴，解得：或，当时，则，，设，则，∵，∴，解得：，∴，当时，则，，设，则，∵，∴，解得：，∴，综上可知：的长为或，故答案为：或．19．解：；20．，解：整理得：，即或，解得：，．综上，原方程组的解为：，．21．山坡AB的坡度解：如图，过点A作，交的延长线于点H，

在中，，∵，∴，在中，，∵，∴，∵，∴，解得：，∴（米），∴，∴山坡的坡度为：．22．(1)见解析(2)见解析（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴//，，∵//，∴∵是边的中点，∴∴∵，∴，∵//，∴，在中，∵是斜边的中点，∴，∴∵，，是边的中点，∴，∴，∵，∴；（2）∵，，∴，又∵，∴∽，∴，即，∵，∴．23．(1)见解析(2)5（1）∵D是的中点，∴，∵，是的直径，∴，∴，∴，∴．（2）∵，是的直径，∴，∵，设，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，解得或（舍去），∴，∴的半径为5．24．(1)，(2)见解析(3)存在；或（1）解：∵某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为，∴，解得：，∴它的两个锐角的度数为，．（2）证明：过点A作于点D，如图所示：∵的面积为15，∴，∵，∴根据勾股定理得：，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴是“类直角三角形”；（3）解：当时，∵，∴，过点D作于点E，如图所示：∵，∴，∵，∴，∴，∴，根据勾股定理得：，设，则，根据勾股定理得：，即，解得：，∴；当时，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：；综上分析可知：或．25．(1)(2)(3)点T的坐标为或（1）解：∵，∴，∵，则，∴，∴，将和代入得，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：令，则，解得或，∵，则设直线的解析式为，代入，得，解得，∴直线的解析式为，设（），则，∴，∵，∴当时，最大，此时，∵点是线段上一动点，轴于点，∴当线段长度取得最大值时，∵，，点为线段的中点，∴将线段向左平移个单位得到，则当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度；∴的最小值为；（3）解：由（2）得，∴新抛