5.1.1　任意角高一上学期必修一数学课件人教A版

第五章三角函数5.1任意角和弧度制5.1.1任意角【学习目标】1.理解任意角的概念,能区分正角、负角和零角.(数学抽象)2.理解象限角的概念.(数学抽象)3.理解并掌握终边相同的角的概念,会表示终边相同的角.(数学运算)一、任意角1.角的概念角可以看成_________绕着它的_____旋转所成的图形.2.角的表示如图,(1)始边:射线的_____位置OA;(2)终边:射线的_____位置OB;(3)顶点:射线的端点O;(4)记法:图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”,可以简记成“α”.一条射线端点起始终止3.角的分类:项目分类定义图示任意角正角一条射线绕其端点按_______方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按_______方向旋转形成的角零角一条射线_____做任何旋转形成的角逆时针顺时针没有二、角的相等与加减1.角的相等设角α由射线OA绕端点O旋转而成,角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的_____________且___________,那么就称α=β.2.角的加法设α,β是任意两个角,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是____.旋转方向相同旋转量相等α+β3.相反角把射线OA绕_______按不同方向旋转_________所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α.4.角的减法角的减法可以转化为角的加法,有α-β=α+(-β).端点O相同的量[思考]1.角的概念推广之后,思考60°+90°与90°-30°的几何意义是什么?提示:①如图(1)所示,射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为60°,OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°,则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为60°+90°=150°.

②如图(2)所示,射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为90°,OB顺时针方向旋转到OC所形成的角为-30°,则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°-30°=60°.三、象限角与终边相同的角条件:在直角坐标系中,角的顶点与_____重合,角的始边与x轴的_________重合(1)象限角:角的_____在第几象限,就说这个角是第几象限角.(2)轴线角:角的终边在_______上,就认为这个角不属于任何一个象限,可称为轴线角.(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=_________,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个_____的和.原点非负半轴终边坐标轴α+k·360°周角[思考]2.你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗?提示:在同一“参照系”下,可以使角的讨论得到简化,由此还能有效地表现出角的终边位置“周而复始”的变化规律,从而利用任意角、直角坐标系刻画周期性的变化现象.3.已知角α为锐角,那么角α的终边与角α+180°,α-180°,180°-α终边的几何关系分别是什么?如果角α是任意角呢?请画图说明.提示:若α是锐角.α与α+180°的终边互为反向延长线.α与α-180°的终边互为反向延长线.α与180°-α的终边关于y轴对称.α是任意角与α是锐角的规律一样.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)第一象限角都是锐角.()提示:第一象限角不一定是锐角,如390°.(2)相等的角的终边相同,终边相同的角相等.()提示:相等的角的终边相同,终边相同的角不一定相等,可能相差360°.××(3)第二象限角一定大于第一象限角.()提示:第二象限角不一定大于第一象限角,如第二象限角120°,第一象限角390°.(4)225°是第三象限角.()提示:225°=180°+45°,在第三象限,故正确.×√类型1终边相同的角(数学运算)【典例1】已知角α=2026°.(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限的角;(2)求θ,使θ与α终边重合,且-360°≤θ<720°.

【解题有招】终边相同的角的表示(1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式;(2)终边相同的角之间相差360°的整数倍.【即学即练】(2025·石嘴山高一检测)与-463°终边相同的角可以表示为(

)A.k·360°+463°(k∈Z) B.k·360°+103°(k∈Z)C.k·360°+257°(k∈Z) D.k·360°-257°(k∈Z)【解析】选C.因为-463°=-2×360°+257°,所以与-463°终边相同的角可以表示为k·360°+257°(k∈Z).√类型2终边在已知直线上的角(数学运算)【典例2】写出终边在如图所示直线上的角的集合.【解析】(1)由题图易知,在0°~360°内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=-45°+(2k+1)·180°,k∈Z}∪{β|β=-45°+2(k+1)·180°,k∈Z}={β|β=-45°+n·180°,n∈Z};(2)同理可得终边在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·90°,k∈Z},终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=-45°+n·180°,n∈Z}={β|β=-45°+2k·90°,k∈Z}={β|β=45°+(2k-1)·90°,k∈Z},所以终边在直线y=x上和在直线y=-x上的角的集合为S1={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k-1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+n·90°,n∈Z}.【解题有招】终边在已知直线上角的表示方法(1)终边在一条直线上的角的集合是终边分别在以原点为端点,构成直线的两条射线上的角的并集;(2)终边在一条直线上的角的差为k·180°,k∈Z.

√

√【解题有招】确定角所在象限的方法(1)给定角所在象限的判断:利用终边相同角的表示方法,将角转化到0°~360°内进行判断;(2)倍角与分角所在象限的判断:先表示出倍角或分角,再给k取不同的值,分别判断所在的象限,即为倍角或分角所在的象限.

角度2

区域角的表示【典例4】(易错·对对碰)(1)如图所示,终边落在阴影部分的角的集合为

.

(2)如图所示,终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合为

.

【解析】(1)设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成.①{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z}.②{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°,k∈Z}.所以角α的集合应当是集合①与②的并集:{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°,k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°,k∈Z}∪{α|(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°,k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°或(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°,k∈Z}={α|k·180°+30°≤α<k·180°+105°,k∈Z}.(2)由题图知,阴影部分下侧终边相同的角为-120°+360°·k且k∈Z,上侧终边相同的角为135°+360°·k且k∈Z,所以阴影部分(包括边界)的角α的集合为{α|-120°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.答案:(1){α|k·180°+30°≤α<k·180°+105°,k∈Z}(2){α|-120°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}【解题有招】表示区间角的三个步骤第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α<x<β},其中β-α<360°;第三步:起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.【即学即练】如图所示,终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是

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【解析】因为终边落在y轴上的角为90°+n·180°,n∈Z,终边落在图中直