5.5 三元一次方程组（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

北师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.

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级：8年级（

）班

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2026年8月2日

5.5三元一次方程组第五章

二元一次方程组5.5三元一次方程组

同步知识点+练习题【核心知识点精讲】一、三元一次方程组定义1.三元一次方程：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程。2.三元一次方程组：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组。3.方程组的解：同时满足方程组中三个方程的一组未知数的值$$\begin{cases}x=?\\y=?\\z=?\end{cases}$$。二、核心解题思想（重中之重）消元思想：三元

→

二元

→

一元通过代入消元或加减消元，先消去同一个未知数，把三元一次方程组转化为熟悉的二元一次方程组，再消元转化为一元一次方程，逐步求解。三、标准满分解题六步法第一步：观察：观察三个方程，挑选最容易消去的未知数（优先选系数为1、-1或系数最小的未知数）；第二步：首次消元：任选两个方程消去选定未知数，得到第一个二元一次方程；第三步：二次消元：再选另外两个方程，消去同一个未知数，得到第二个二元一次方程；第四步：解二元组：联立两个新二元方程，用代入/加减消元求出两个未知数；第五步：回代求元：将求出的两个未知数代入原简易方程，求出第三个未知数；第六步：写解+检验：大括号联立三组解，草稿代入三个原方程检验。四、消元选择最优技巧（提速关键）1.优先消系数为±1的未知数，无需配平，计算零难度；2.无±1系数时，消系数绝对值最小、最小公倍数最小的未知数；3.全程固定消同一个未知数，切忌一会消x、一会消y，导致无法联立；4.有缺项方程（某未知数系数为0），优先利用缺项方程，简化计算。五、高频易错扣分点1.消元不统一：两次消元消去不同未知数，无法组成二元方程组；2.配平系数时漏乘常数项，计算出错；3.回代时代入错误方程，导致第三个未知数求解错误；4.只检验两个方程，未代入第三个方程验证，解出错遗漏；5.书写不规范，未用大括号联立三个解，步骤残缺扣分。六、满分解题口诀三消二、二消一，固定消元不乱移；两次同消一个元，回代三数全解齐---【经典满分例题（课本标准题型）】例题：常规三元一次方程组求解解方程组：$$\begin{cases}x+y+z=6\\\\①\\x-y+z=2\\\\②\\2x+y-z=5\\③\end{cases}$$解：观察方程组，优先消去$$y$$①+②得：$$2x+2z=8$$，化简得：$$x+z=4$$④②+③得：$$3x+2z=7$$⑤联立④⑤组成二元一次方程组：$$\begin{cases}x+z=4\\3x+2z=7\end{cases}$$解得：$$\begin{cases}x=-1\\z=5\end{cases}$$把$$x=-1，z=5$$代入①得：$$-1+y+5=6$$，解得$$y=2$$∴方程组的解为$$\begin{cases}x=-1\\y=2\\z=5\end{cases}$$---【同步专项练习题】一、填空题1.解三元一次方程组的核心思想是________，转化顺序是三元→______→一元。2.消元时必须两次消去________的未知数，才能得到二元一次方程组。3.三元一次方程组的解需要求出________个未知数的值。二、解答题（按标准六步法规范解题）1.$$\begin{cases}x+y+z=12\\x+2y+z=14\\2x+y-z=18\end{cases}$$2.$$\begin{cases}x-y=1\\y-z=1\\x+y+z=6\end{cases}$$3.$$\begin{cases}2x+y+z=15\\x+2y+z=16\\x+y+2z=17\end{cases}$$---【参考答案与详细解析】一、填空题答案1.消元、二元2.同一个3.三二、解答题标准解析1.解：设$$\begin{cases}x+y+z=12\\\①\\x+2y+z=14\②\\2x+y-z=18\③\end{cases}$$②−①得：$$y=2$$④①+③得：$$3x+2y=30$$⑤把$$y=2$$代入⑤得：$$3x+4=30$$，解得$$x=\dfrac{26}{3}$$回代①得：$$z=\dfrac{4}{3}$$∴$$\begin{cases}x=\dfrac{26}{3}\\y=2\\z=\dfrac{4}{3}\end{cases}$$2.解：设$$\begin{cases}x-y=1\\\①\\y-z=1\\\②\\x+y+z=6\③\end{cases}$$由①得：$$x=y+1$$，由②得：$$z=y-1$$代入③：$$(y+1)+y+(y-1)=6$$，解得$$y=2$$回代得：$$x=3，z=1$$∴$$\begin{cases}x=3\\y=2\\z=1\end{cases}$$3.解：设$$\begin{cases}2x+y+z=15\①\\x+2y+z=16\②\\x+y+2z=17\③\end{cases}$$①−②得：$$x-y=-1$$④②$$\times2-$$③得：$$x+3y=15$$⑤联立④⑤解得：$$\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}$$回代①得：$$z=5$$∴$$\begin{cases}x=3\\y=4\\z=5\end{cases}$$【本节满分总结】1.三元方程组唯一思路：两次同消一个元，化三元为二元；2.优先消系数简单的未知数，最大程度减少计算量；3.解题核心禁忌：两次消元不统一，导致解题失败；4.最终必须三组解联立，代入三个原方程全部检验才算完整。知道三元一次方程组的定义，会解简单的三元一次方程组.会用三元一次方程组解决简单的实际问题.通过探索发现解三元一次方程组的基本思想仍是“消元”进一步体会数学的化归思想.旧识回顾1．什么是二元一次方程组？2．求解二元一次方程组的方法有哪些？共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组代入消元法、加减消元法问题导入1.什么叫二元一次方程组？什么叫“元”，什么叫“次”？2.解二元一次方程组有哪几种方法？3.它们的实质是什么？4.前面我们学习了一元一次方程，二元一次方程（组），今天我们继续学习三元一次方程（组）.

知识点1三元一次方程组

知识点1三元一次方程组3x+2y+z=39，2x+3y+z=34和x+2y+3z=26都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程.知识点1三元一次方程组知识点1三元一次方程组

跟踪训练下列方程组中，不是三元一次方程组的是(

)．知识点1三元一次方程组B

A．B．

C．D．

.知识点1三元一次方程组三元一次方程组满足的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)含未知数的项的次数都是1；(3)必须是整式方程.怎样解上述这个三元一次方程组呢?解二元一次方程组的基本思路是什么?你认为用类似的思路可以求解这个三元一次方程组吗?解二元一次方程组的基本思路是消元，即“二元”化成“一元”，用类似的思路可以求解这个三元一次方程组.知识点2解三元一次方程组

知识点2解三元一次方程组

知识点2解三元一次方程组

知识点2解三元一次方程组

知识点2解三元一次方程组

知识点2解三元一次方程组知识点2解三元一次方程组三元一次方程组解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．消元一元一次方程二元一次方程组消元知识点2解三元一次方程组消元法解三元一次方程组的两点注意：(1)确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．(2)消去的未知数一定是同一个未知数，否则就达不到消元的目的．

返回D2.若(a＋1)x＋5yb＋1＋2z2－｜a｜＝10是一个三元一次方程，则a＝

，b＝

.返回10

返回(答案不唯一)2x＋y－z＝8

返回B

返回四

返回

返回

返回

返回

返回7.设

，

，

分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，右边应放“”的个数为(

)A.1

B.2

C.3

D.4返回B8.有A，B，C三种货物，甲购A3件，B5件，C1件，共200元.乙购A4件，B7件，C1件，共250元，则丙购A，B，C各1件，应付

元.返回100【点拨】设A，B，C的单价分别为x元、y元、z元.甲购A3件，B5件，C1件，共200元，即3x＋5y＋z＝200①，乙购A4件，B7件，C1件，共250元，即4x＋7y＋z＝250②，②－①，得x＋2y＝50③，①×2－②，得2x＋3y＋z＝150④，④－③，得x＋y＋z＝100，所以丙购A，B，C各1件，应付100元.返回9.已知xyz≠0，满足x＋4y－3z＝0且4x－5y＋2z＝0，则x:y:z为(

)A.1:2:3

B.1:3:2C.2:1:3

D.3:1:2